第二十七章相似單元測試卷2023-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十七章相似單元測試卷一、選擇題1．下列兩個圖形一定是相似圖形的是（）A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等邊三角形2．如圖，在△ABC中，DE∥AB，且＝，則的值為（）A． B． C． D．3．若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：4 B．1：2 C．1：8 D．1：164．如圖，△ABC與ΔA′B′C′位似，位似中心為點O，A'A． B．6 C．4 D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，連接CD，若∠ACD=2∠B，，則的值是（）A． B． C． D．6．如圖所示，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是（）A．B．C． D．7．如圖，四邊形ABCD是矩形，點E、F是矩形ABCD外兩點，AE⊥CF于H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，則DF的長是（）A． B． C． D．8．如圖，放映幻燈片時通過光源把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，若光源到幻燈片的距離為20cm，到屏幕的距離為60cm，且幻燈片中的圖形的高度為6cm，則屏幕上圖形的高度為()A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm9．如圖，和△是以點為位似中心的位似三角形，若為的中點，，則的面積為A．15 B．12 C．9 D．610．已知一個三角形的其中一個內(nèi)角是它另外一個內(nèi)角的兩倍，且它的其中一邊長是另外一邊長的兩倍，若它最短的邊長為1，則這個三角形的周長不可能是（）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，位似圖形由三角尺與其燈光下的中心投影組成，相似比為2：5，且三角尺的一邊長為8cm，則投影三角形的對應(yīng)邊長為㎝．12．在一張比例尺為1︰50000的地圖中，小明家到動車站的距離有0.2米，則小明家到動車站的實際距離是米．13．已知，AD與BC相交于點O.若，AD=10，則AO=．14．如圖，中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFB：S四邊形FEDC的值為三、解答題15．如圖，由邊長為1的25個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中有一個△ABC，請在網(wǎng)格中畫一個頂點在小正方形的格點上，且與△ABC相似的面積最大的△A'B'C'，并求出它的面積S．16．如圖所示，點D在三角形ABC的邊AB上，DE交AC于點E，∠ADE=∠B，點F在AD上，且AD2=AF·AB.求證：（1）=；（2）△AEF∽△ACD.17．如圖所示，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD.（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC∶S△DEC=4∶9，BC=6，求CE的長.18．已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為A（1，0）、B（3，2）、C（0，1）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．（1）沿x軸向左平移2個單位，得到△A1B1C1，不畫圖直接寫出發(fā)生變化后的B1點的坐標(biāo)．點B1的坐標(biāo)是；（2）①以A點為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1..②點B2的坐標(biāo)是；（3）△A2B2C2的面積是平方單位．19．如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經(jīng)過池塘可以直接到達點A和B，連結(jié)AC并延長到點D，使CD=AC，連結(jié)BC并延長到點E，使CE=BC，連結(jié)DE．量得DE的長為15米，求池塘兩端A，B的距離．20．如圖，過點的直線與軸，軸分別交于點，兩點，且，過點作軸，垂足為點，交反比例函數(shù)的圖象于點，連接，的面積為6.（1）求k的值和點D的坐標(biāo)；（2）如圖，連接，，點在直線上，且位于第二象限內(nèi)，若的面積是面積的2倍，求點的坐標(biāo).21．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．22．如圖①，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，動點P在線段BC上（不含點B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．（1）如圖②，當(dāng)點P與點C重合時，求證：△BOG≌△POE；（2）通過觀察、測量、猜想：=，并結(jié)合圖①證明你的猜想；（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖②），若∠ACB=a，直接寫出的值，為．（用含a的式子表示）23．如圖，在中，，．點是延長線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點．（1）求證：；（2）如圖1，若，，，求的大??；（3）如圖2，若點為中點，，，求的長（用含的代數(shù)式表示）．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、兩個菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不一定相等，不一定是相似圖形，故此選項不符合題意；B、兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定相等，不一定是相似圖形，故此選項不符合題意；C、兩等腰三角形不一定相似，故此選項不符合題意；D、兩個等邊三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角一定相等，故兩個等邊三角形一定相似，故此選項符合題意.故答案為：D.【分析】利用相似多邊形的判定：所有的對應(yīng)邊成比例，且所有的對應(yīng)角分別相等的兩個多邊形相似，可對A，B作出判斷；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性質(zhì)，可對C，D作出判斷.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵DE//AB，∴∴的值為.故答案為：A.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，據(jù)此解答.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形周長的比為1：4，

∴這兩個三角形對應(yīng)邊的比是1：4.故答案為：A.【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的周長比等于相似比.”可求解.4．【答案】C【解析】【解答】解：△ABC與ΔA′B′C′位似，位似中心為點O，，S△A△ABC的面積為9，ΔA′B′C′面積為.

故答案為：C.【分析】根據(jù)位似的兩個圖形一定相似，進而根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進行計算即可.5．【答案】B【解析】【解答】

取AB中點為點E設(shè)∠B=，則∠ACD=2∠B=2

設(shè)AD=x

又∵

∴BD=4x

∵E為AB中點

∴∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO

∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC

∴

∴

又∵AC=5xsin，AE=2.5x

∴

∴sin=

cos=

BC=

在中，

解得CD=

∴

故答案為：B【分析】取AB中點，設(shè)∠B=，則∠ACD=2∠B=2設(shè)AD=x，BD=4x根據(jù)∠ECB=，∠AEC=2=∠ACO，得出；根據(jù)AC=5xsin，AE=2.5x，得出，進而得出sin=，cos=，BC=，在中，，解得CD=

因此，6．【答案】B【解析】【解答】解：小正方形的邊長均為1，根據(jù)圖形可知：BC=2，AC=，∠ACB=135°，

由選項中圖形可知：A、C、D中的三角形中都不含有135°，故A、C、D三個選項都不符合題意；

由B選項圖形可知：含有135°，且135°角的兩邊分別為1和，

，且夾角相等，

B選項符合題意.

故答案為：B.

【分析】觀察圖像可得∠ACB=135°，再根據(jù)選項中的圖形可知A、C、D中均不含135°，不符合題意，再驗證B選項即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)DF和AE相交于O點，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，即∠FDC=∠ADE，∵AE⊥CF于點H，∴∠F+∠FOH=90°，∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，∴∠F=∠E，∴△ADE∽△CDF，∴AD：CD=DE：DF，故答案為：A.【分析】設(shè)DF和AE相交于O點，由矩形的性質(zhì)和已知條件可證明∠E＝∠F，∠ADE＝∠FDC，根據(jù)“有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出DF的長．8．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)屏幕上圖形的高度xcm，為根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比可得，解得x=18cm，即屏幕上圖形的高度18cm，故答案為：C.【分析】根據(jù)題意刻畫出圖形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例解答。9．【答案】B【解析】【解答】解：∵點C1是OC的中點，

∴OC=2OC1，

∴，

∵△ABC與△A1B1C1是以點O為位似中心的位似三角形，

∴△ABC∽△A1B1C1，且相似比為，

∴，

∵，

∴S△ABC=12故答案為：B.【分析】根據(jù)位似圖形一對對應(yīng)點與位似中心連線的比值等于位似比，而位似圖形一定相似，且相似比等于位似比，進而再根據(jù)相似圖形的面積之比等于相似比的平方可得答案.10．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示，在中，，過點A作的角平分線交于D，∴，∴，又∵，∴，∴，當(dāng)時，設(shè)，則，∴，∴，∴，解得，∴此時三角形的周長為，故B不符合題意；當(dāng)時，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時，設(shè)，則，∴∴，∴，解得，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時，設(shè)，則，∴∴，∴，解得，∵，∴此時不能構(gòu)成三角形；同理可得當(dāng)，即，可得滿足題意的，∴此時三角形的周長為，故A不符合題意；同理當(dāng)，即，可得，∴此時，不符合題意，即三角形的周長不能為，故D符合題意；同理當(dāng)，即，可得，∴此時三角形的周長為，故C不符合題意；故答案為：D.【分析】在△ABC中，∠BAC=2∠B，過點A作∠BAC的角平分線交BC于D，則BD=AD，∠ADC=2∠B=∠BAC，證明△ACD∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，①當(dāng)AC=1、AB=2時，設(shè)BC=z，CD=y，則BD=z-y，代入并求解可得z的值，據(jù)此可判斷B；②當(dāng)AC=1、BC=2時，設(shè)AB=z，CD=y，則BD=AD=2-y，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得y、z的值，此時不能構(gòu)成三角形；③當(dāng)AC=1、BC=2AB時，設(shè)AB=z，CD=y，則BD=AD=2z-y，代入求出z的值，此時不能構(gòu)成三角形；④當(dāng)AC=1、AB=2BC時，設(shè)AB=2z，CD=y，則BD=AD=z-y，同理求出z的值，此時不能構(gòu)成三角形；⑤當(dāng)AB=1、BC=2時，設(shè)AC=z，CD=y，代入求出AC的值，得到周長，進而判斷A；同理判斷C、D.11．【答案】20cm【解析】【解答】解：∵位似圖形由三角尺與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2：5，三角尺的一邊長為8cm，∴投影三角形的對應(yīng)邊長為：8÷=20cm．故答案為：B．【分析】根據(jù)位似圖形對應(yīng)邊的比等于位似比，即可得出答案。12．【答案】10000【解析】【解答】因為比例尺為1︰50000，小明家到動車站的圖上距離有0.2米，所以實際距離為：0.2×50000=10000（米）．

故答案是10000．

【分析】考查比例尺．13．【答案】4【解析】【解答】解：根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥CD可得，∵AD=10，∴OD=10-OA，代入可得，解得OA=4，經(jīng)檢驗，符合題意；故答案為：4．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，再將數(shù)據(jù)代入解得，再求出OA的長即可。14．【答案】【解析】【解答】四邊形是平行四邊形，是邊AD的中點，設(shè)，則，S四邊形FEDCS△AFB：S四邊形FEDC的值為

【分析】證明三角形相似，根據(jù)三角形相似性質(zhì)得到三角形面積比，設(shè)置一個最簡值，求出題目中所要求的面積，即可得到最后答案15．【答案】解：如圖所示：△A'B'C'即為所求，可得△ABC與△A′B′C′的相似比為：1：，則△ABC與△A′B′C′的面積比為：1：5，∵△ABC的面積為：×1×2=1，∴S△A′B′C′=5．【解析】【分析】直接利用相似圖形的性質(zhì)得出最大三角形，進而得出相似比以及面積比，即可得出答案．16．【答案】（1）解：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC.∴=.（2）證明：∵AD2=AF·AB，∴=.由(1)，得=.∴=.∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD.【解析】【分析】（1）由∠ADE=∠B可得DE∥BC，再根據(jù)平行線分線段成比例即可得到=；

（2）由AD2=AF·AB可得=，結(jié)合（1）中=，可得=，利用兩邊成比例且夾角相等即可判定△AEF∽△ACD.17．【答案】（1）證明：∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE.∴∠ACB=∠DCE.∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC.（2）解：∵△ABC∽△DEC，∴=()2=.∴=.∵BC=6，∴CE=9.【解析】【分析】（1）由∠BCE=∠ACD，先證得∠ACB=∠DCE，再利用兩角相等的兩個三角形相似即可判斷△ABC∽△DEC；

（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得△ABC與△DEC的相似比為2：3，再代入數(shù)值即可解答.18．【答案】（1）（1，2）（2）；（﹣3，﹣4）（3）8【解析】【解答】解：（1.）根據(jù)平移規(guī)律，將點B（3，2）左平移2個單位，得到點B1的坐標(biāo)是（1，2），故答案為：（1，2）；（2.）如圖所示，△A2B2C2即為所求，B2（﹣3，﹣4）；故答案為：（﹣3，﹣4）；（3.）△A2B2C2的面積是：×4×2+×4×2=8．故答案為：8【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)，得出各對應(yīng)點位置進而得出答案；（2）利用位似圖形的性質(zhì)，得出對應(yīng)點位置進而得出答案；（3）直接利用割補法，求得△A2B2C2面積即可，將該三角形看成上下兩部分即可得出答案．19．【答案】解：∵CD=AC，CE=BC，∴，∴，∵∠DCE=∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴∵DE=15，∴AB=30（米）．【解析】【分析】由CD=AC，CE=BC，可得，結(jié)合∠DCE=∠ACB，可證△DCE∽△ACB，再利用相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合DE=15，即可求得AB的長.20．【答案】（1）解：設(shè)點坐標(biāo)為，由題意得，，點在的圖象上，，直線的圖象與軸交于點，點的坐標(biāo)為，軸，軸，，，點的橫坐標(biāo)為4.點在反比例函數(shù)的圖象上點坐標(biāo)為；（2）解：由（1）知軸，，，，過點作，垂足為點，交軸于點，，，，，點的橫坐標(biāo)為點在直線上，點的坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）設(shè)D（m，n），由三角形的面積公式可得mn=6，求出mn的值，結(jié)合點D在反比例函數(shù)圖象上可得k的值，令直線解析式中的y=0，求出x的值，可得點A的坐標(biāo)，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得OH=AO=4，即點D的橫坐標(biāo)為4，將x=4代入反比例函數(shù)解析式中求出y的值，據(jù)此可得點D的坐標(biāo)；

（2）由（1）可知CD∥y軸，則S△BCD=S△OCD，由題意可得S△BDE=2S△OCD，則S△EDC=3S△BCD，過點E作EF⊥CD，垂足為點F，交y軸于點M，根據(jù)△EDC、△BCD的面積公式可得EF=3OH=12，則EM=8，即點E的橫坐標(biāo)為-8，將x=-8代入直線解析式中求出y的值，據(jù)此可得點E的坐標(biāo).21．【答案】（1）解：如圖1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD為等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線（2）解：①當(dāng)AD=CD時，如圖2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②當(dāng)AD=AC時，如圖3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③當(dāng)AC=CD時，如圖4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．∴∠ACB=96°或114°．（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴，設(shè)BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣【解析】【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)AD=CD時，②如圖3中，當(dāng)AD=AC時，③如圖4中，當(dāng)AC=CD時，分別求出∠ACB即可．（3）設(shè)BD=x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解決問題．22．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，在△BOG和△POE中，∠GBO=∠EPOOB=OP∴△BOG≌△POE（ASA）（2）（3）tanα【解析】【解答】（2.）解：猜想=．證明：如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，∴∠MBN=∠NPE，在△BMN和△PEN中，∠MBN=∠NPENB=NP∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE