集中趨勢和離中趨勢的度量

集中趨勢和離中趨勢的度量集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢即要尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。

第一節(jié)集中趨勢指標(biāo)概述

集中趨勢指標(biāo)即統(tǒng)計平均數(shù)，是反映若干統(tǒng)計數(shù)據(jù)一般水平或集中趨勢的綜合指標(biāo)。它可能表現(xiàn)為總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志的一般水平，也可能表現(xiàn)為總體在某一段時期內(nèi)的數(shù)量一般水平。第2頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

統(tǒng)計平均數(shù)的特點

統(tǒng)計平均數(shù)是一個代表值

統(tǒng)計平均數(shù)是一個抽象值

第一節(jié)集中趨勢指標(biāo)概述數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x第3頁,共53頁，2024年2月25日，星期天統(tǒng)計平均數(shù)的作用

兩個同類現(xiàn)象而范圍不同的總體一般水平。

將同一總體、同一性質(zhì)的平均數(shù)按時間先后順序排列起來可以反映現(xiàn)象發(fā)展變化的過程、趨勢、規(guī)律性。

和統(tǒng)計分組結(jié)合，揭示現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。

第一節(jié)集中趨勢指標(biāo)概述第4頁,共53頁，2024年2月25日，星期天類型

第一節(jié)集中趨勢指標(biāo)概述動態(tài)平均數(shù)靜態(tài)平均數(shù)統(tǒng)計平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)眾數(shù)分位數(shù)第5頁,共53頁，2024年2月25日，星期天一、算術(shù)平均數(shù)

基本公式

由于掌握的資料不同，在實際計算時又可以分別采用簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法。第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第6頁,共53頁，2024年2月25日，星期天簡單算術(shù)平均數(shù)

資料未分組時可以采用簡單算術(shù)平均數(shù)的方法。第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第7頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

∑和號第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)算術(shù)平均數(shù) 變量值的個數(shù)

變量值第8頁,共53頁，2024年2月25日，星期天(三）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

當(dāng)資料已經(jīng)分組則采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的方法

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第9頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（四）需要注意的幾個問題⒈加權(quán)算術(shù)平均數(shù)不僅受各個變量值大小的影響，而且受權(quán)數(shù)大小的影響。⒉權(quán)數(shù)可以用比重形式。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第10頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（四）需要注意的幾個問題⒊簡單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第11頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（五）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)⒈各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和為零。這一性質(zhì)說明算術(shù)平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的重心。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第12頁,共53頁，2024年2月25日，星期天（五）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)

⒉各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第13頁,共53頁，2024年2月25日，星期天二、調(diào)和平均數(shù)

又叫倒數(shù)平均數(shù)，即各變量值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。調(diào)和平均數(shù)用表示。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第14頁,共53頁，2024年2月25日，星期天調(diào)和平均數(shù)

上述公式是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的公式。若各變量值的權(quán)數(shù)都相等時，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)簡化為簡單調(diào)和平均數(shù)。即:

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第15頁,共53頁，2024年2月25日，星期天調(diào)和平均數(shù)公式中的權(quán)數(shù)是各組的標(biāo)志總量（算術(shù)平均數(shù)的分子數(shù)據(jù)）。當(dāng)已知各組的變量值和算術(shù)平均數(shù)的分子數(shù)據(jù)，而缺乏分母數(shù)據(jù)時，可以采用調(diào)和平均數(shù)的形式來計算。調(diào)和平均數(shù)

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第16頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例：某車間各班組工人勞動生產(chǎn)率和實際產(chǎn)量資料如下：班組勞動生產(chǎn)率實際產(chǎn)量

(件工時)(件)

一101000

二122400

三154500

四206000

五306000合計—19900要求：計算五個班組工人的平均勞動生產(chǎn)率。xmmx1002003003002001100解：平均勞動生產(chǎn)率為：（總工時）第17頁,共53頁，2024年2月25日，星期天幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根，適應(yīng)于計算平均比率和平均速度。根據(jù)掌握的資料不同，有簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。簡單幾何平均數(shù)適應(yīng)于已知每個比率或每個速度求平均數(shù)的情況。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第18頁,共53頁，2024年2月25日，星期天幾何平均數(shù)

加權(quán)幾何平均數(shù)適應(yīng)于比率或速度已分組的情況。

第二節(jié)數(shù)值平均數(shù)第19頁,共53頁，2024年2月25日，星期天1、2001年某月份甲、乙兩農(nóng)貿(mào)市場某農(nóng)產(chǎn)品價格和成交量、成交額資料如下：品種價格甲市場成交額（萬元）乙市場成交量（萬斤）甲乙丙1.21.41.51.22.81.5211合計-5.54試問哪一個市場農(nóng)產(chǎn)品的平均價格高？并說明原因。第20頁,共53頁，2024年2月25日，星期天2、已知某企業(yè)有如下資料：按計劃完成百分比分組（%）實際產(chǎn)值（萬元）80——9090——100100——110110——120986105718601846計算該企業(yè)平均計劃完成百分比。第21頁,共53頁，2024年2月25日，星期天某廠生產(chǎn)某種機床配件，要經(jīng)過三道工序，現(xiàn)生產(chǎn)一批該產(chǎn)品在各道生產(chǎn)工序上的合格率分別為95.74%、93.48%、97.23%。根據(jù)資料計算三道生產(chǎn)工序的平均合格率。第22頁,共53頁，2024年2月25日，星期天一、眾數(shù)

第三節(jié)位置平均數(shù)

眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。一、眾數(shù)第23頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

眾數(shù)不僅適應(yīng)于變量數(shù)列，也適應(yīng)于品質(zhì)數(shù)列。如銷售量最多的服裝款式或色彩，即通常所講的“流行款式”，就屬于這種意義上的眾數(shù)。

第三節(jié)位置平均數(shù)第24頁,共53頁，2024年2月25日，星期天眾數(shù)的確定⒈如果各標(biāo)志值分布很均勻，無明顯的變化，則數(shù)列無眾數(shù)。2.如果是單項式數(shù)列或未分組的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那一個標(biāo)志值就是眾數(shù)。3.由組距式數(shù)列確定眾數(shù)，先根據(jù)次數(shù)的多少確定眾數(shù)組，然后可按下述公式之一計算：

第三節(jié)位置平均數(shù)第25頁,共53頁，2024年2月25日，星期天計算公式

第三節(jié)位置平均數(shù)第26頁,共53頁，2024年2月25日，星期天二、中位數(shù)（Median）

第三節(jié)位置平均數(shù)中位數(shù)是指將總體各單位標(biāo)志值按照大小順序排列后，處于中間位置的那個標(biāo)志值，用Me表示。第27頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

第三節(jié)位置平均數(shù)

中位數(shù)將變量數(shù)列分為相等的兩部分，一部分的標(biāo)志值小于中位數(shù)，另一部分的標(biāo)志值大于中位數(shù)。如何確定中位數(shù)？1.由未分組的數(shù)據(jù)確定中位數(shù)2.由單項數(shù)列確定中位數(shù)3.由組距數(shù)列確定中位數(shù)第28頁,共53頁，2024年2月25日，星期天1.由未分組的數(shù)據(jù)確定中位數(shù)

根據(jù)未分組的數(shù)據(jù)確定中位數(shù)時，首先將總體各單位的標(biāo)志值資料按大小順序排列，然后按照（n表示資料的項數(shù)）來確定中位數(shù)的位次，再根據(jù)中位數(shù)的位次找出對應(yīng)的標(biāo)志值即可。

第三節(jié)位置平均數(shù)第29頁,共53頁，2024年2月25日，星期天2.由單項數(shù)列確定中位數(shù)由單項數(shù)列確定中位數(shù)時，先向上或向下累計次數(shù)，然后按下式確定中位數(shù)的位次：根據(jù)中位數(shù)的位次，將累計次數(shù)剛好超過中位數(shù)位次組確定為中位數(shù)組，該組所對應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。

第三節(jié)位置平均數(shù)第30頁,共53頁，2024年2月25日，星期天3.由組距數(shù)列確定中位數(shù)由組距數(shù)列確定中位數(shù)，先向上或向下累計頻數(shù)，然后按確定中位數(shù)的位次，再用公式計算中位數(shù)的近似值。

方法同單項數(shù)列

第三節(jié)位置平均數(shù)第31頁,共53頁，2024年2月25日，星期天計算公式

第三節(jié)位置平均數(shù)第32頁,共53頁，2024年2月25日，星期天

一、離中趨勢：含義離中趨勢是指一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)值以不同程度的距離偏離其中心（平均數(shù)）的趨勢，又稱標(biāo)志變動度。

第四節(jié)離中趨勢的度量離中趨勢指標(biāo)是用來綜合反映數(shù)據(jù)的離中程度的一類指標(biāo)。極差分位差平均差方差標(biāo)準(zhǔn)差離散系數(shù)第33頁,共53頁，2024年2月25日，星期天極差（Range）極差＝最大變量值-最小變量值組距數(shù)列極差可近似值為：極差＝最大組的上限-最小組的下限

第四節(jié)離中趨勢的度量第34頁,共53頁，2024年2月25日，星期天優(yōu)點

計算簡便含義清楚

缺點沒有考慮到中間變量值的變動情況，測定離中趨勢時不準(zhǔn)確。

第四節(jié)離中趨勢的度量第35頁,共53頁，2024年2月25日，星期天分位差是從一組數(shù)據(jù)中剔除了一部分極端值之后重新計算的類似于極差的指標(biāo)。常用的有四分位差、八分位差和十分位差等

四分位差是第三個四分位數(shù)減去第一個四分位數(shù)的差的一半

第四節(jié)離中趨勢的度量第36頁,共53頁，2024年2月25日，星期天平均差

平均差（Meandeviation）是數(shù)據(jù)組中各數(shù)據(jù)值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，常用符號“M.D”表示。簡單平均式

加權(quán)平均式由于平均差是根據(jù)數(shù)列中所有數(shù)值計算出來的，受極端值影響較小，所以對整個統(tǒng)計數(shù)列的離中趨勢有較充分的代表性。但是在計算過程中，數(shù)學(xué)處理方法不夠理想，所以，其應(yīng)用受限

第四節(jié)離中趨勢的度量第37頁,共53頁，2024年2月25日，星期天方差Variance與標(biāo)準(zhǔn)差Standarddeviation方差是數(shù)據(jù)組中各數(shù)據(jù)值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)。方差的平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差。簡單平均式加權(quán)平均式標(biāo)準(zhǔn)差是應(yīng)用最廣泛的離中趨勢指標(biāo)

第四節(jié)離中趨勢的度量第38頁,共53頁，2024年2月25日，星期天離散系數(shù)（Coefficientofvariation）上述三個指標(biāo)帶有計量單位，而且其離中趨勢大小與變量平均水平的高低有關(guān)。要比較數(shù)據(jù)平均水平不同的兩組數(shù)據(jù)的離中程度的大小，就有必要計算它們的相對離中程度指標(biāo)，即離散系數(shù)。常用的離散系數(shù)指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。

第四節(jié)離中趨勢的度量第39頁,共53頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是將一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)對比的結(jié)果。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

第四節(jié)離中趨勢的度量第40頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例已知甲乙兩個水稻品種分別在五塊田里試種,資料如下,試計算有關(guān)指標(biāo),比較甲乙兩個水稻品種的收獲率哪一個具有較強的穩(wěn)定性,可以推廣.

甲乙平均畝產(chǎn)量面積平均畝產(chǎn)面積

(千克/畝)(畝)(千克/畝)(畝)4592.24392.34522.14452.0440

2.04502.54531.94611.94611.84782.3

合計10.0合計11.0

第41頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共53頁，2024年2月25日，星期天例

甲平均畝產(chǎn)x面積fxf

x-x

（x-x）2

（x-x)2f

4592.2101063679.24522.1950-112.1440

204531.98600004611.8830864115.2

合計10.04530--534.5第43頁,共53頁，2024年2月25日，星期天乙平均畝產(chǎn)x面積fxf

x-x

（x-x)2

（x-x)2f

4392.31010-16256588.8445204502.51125-52562.54611.987563668.44782.31100235291216.7

合計11.05000--2136.4

第44頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共53頁，2024年2月25日，星期天第46頁,共53頁，2024年2月25日，星期天∵∴甲水稻品種的收獲率具有較強的穩(wěn)定性,可以推廣.第47頁,共53頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1、加權(quán)算術(shù)平均式轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵嗡阈g(shù)平均式的條件是各組變量值完全相等。（）2、三種水果，每公斤價格分別為5元、4元和2.5元。各買2公斤和各買10元的平均價格都是每公斤4元。（）3、在變量數(shù)列中，若標(biāo)志值較小的組，而權(quán)數(shù)大時，計算出來的平均數(shù)（）

A、接近標(biāo)志值較大的一組B、接近標(biāo)志值較小的一組

C、不受權(quán)數(shù)影響D、僅受標(biāo)志值影響第48頁,共53頁，2024年2月25日，星期天4、若單項式數(shù)列的所有標(biāo)志值都減少一倍，而權(quán)數(shù)都增加一倍，則其算術(shù)平均數(shù)（）

A、增加一倍B、不變

C、減少一倍D、無法判斷5、比較兩個單位的資料，甲的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙的標(biāo)準(zhǔn)差，則（）

A、兩個單位的平均數(shù)代表性相同

B、甲單位的平均數(shù)代表性大于乙單位

C、乙單位的平均數(shù)代表性大于甲單位

D、不能確定哪個單位的平均數(shù)代表性大第49頁,共53頁，2024年2月25日，星期天6、將未分組資料整理成組距變量數(shù)列，然后，分別按未分組資料和組距變量數(shù)列計算平均數(shù)，其結(jié)果（）

A、一定相同B、不一定相同

C、往往相差很大D、無法比較