2023-2024學年泉州市南安市高一數(shù)學下學期期中考試卷附答案解析

-2024學年泉州市南安市高一數(shù)學下學期期中考試卷考試時間：120分鐘；滿分：150分2024.4一、選擇題（本大題8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若：：：2：3，則a：b：（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：23．能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是A． B． C． D．4．在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，DE交AC于F，則（

）A． B． C． D．5．如圖，是一個平面圖形的直觀圖，若，則這個平面圖形的面積是（

）A．1 B． C． D．6．已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形．其中頂角為36°的等腰三角形的底與腰之比為，這種黃金三角形被認為是最美的三角形．根據(jù)這些信息，則（

）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”其大意為現(xiàn)有水池丈見方（即丈尺），蘆葦生長在水池的中央，長出水面部分的長度為尺．將蘆葦向池岸牽引，牽引至恰巧與水岸齊接的位置（如圖所示）．試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？若將蘆葦均視為線段，在蘆葦移動的過程中，設(shè)其長度不變，則（

）．A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對得部分分．9．下列說法中錯誤的是（

）A．單位向量都相等B．向量與是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上C．兩個非零向量，若，則與共線且反向D．已知向量，若與的夾角為銳角，則10．已知i為虛數(shù)單位，則以下四個說法中正確的是（

）A． B．復數(shù)的虛部為C．若復數(shù)為純虛數(shù)，則 D．11．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”，半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，如圖是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，則正確的有（）A．則該半正多面體有12個頂點 B．則該半正多面體有14個面C．則該半正多面體表面積為3 D．則該半正多面體體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知球的表面積為，則它的體積為.13．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m.14．在中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若（，），則的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．設(shè)向量滿足，．(1)求向量的夾角；(2)求．16．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位，），且·為純虛數(shù).(1)求；(2)設(shè)復數(shù)，對應的點分別為A，B，若四邊形OABC為平行四邊形（O為復平面的原點），求點C對應的復數(shù).17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長.18．如圖所示的圓錐，頂點為O，底面半徑是5cm，用一個與底面平行的平面截得一圓臺，圓臺的上底面半徑為2.5cm，這個平面與母線OA交于點B，線段AB的長為10cm．(1)求圓臺的側(cè)面積；(2)把一根繩從線段AB的中點M開始沿著側(cè)面繞到點A，求這根繩的最短長度；(3)在（2）的條件下，這根繩上的點和圓臺上底面上的點的距離中，最短的距離是多少？19．如圖，在圓O的內(nèi)接四邊形中，，記的面積為，的面積為，.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，求的最大值，并寫出此時的值.1．D【詳解】分析：將復數(shù)化為最簡形式，求其共軛復數(shù)，找到共軛復數(shù)在復平面的對應點，判斷其所在象限.詳解：的共軛復數(shù)為對應點為，在第四象限，故選D.點睛：此題考查復數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導致馬虎丟分.2．D【分析】根據(jù)題意利用正弦定理進行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為運算求解.【詳解】∵：：：2：3，且，∴，，，則，故故選：3．A【解析】將A、B、C、D選項圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)可知A選項符合題意.【詳解】此幾何體自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構(gòu)成，是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.故選：A.【點睛】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體，考查空間想象能力和推理能力，屬于簡單題.4．D【分析】由題可得，再根據(jù)向量運算法則即可表示.【詳解】因為是BC的中點，，所以，所以.故選：D.5．C【分析】結(jié)合斜二測法的轉(zhuǎn)化關(guān)系，求出平面圖形的底和高，即可求解.【詳解】由已知得中，直角邊，，則平面圖中該三角形，對應底面邊長不變?yōu)?，三角形的高應為，則平面三角形的面積為.故選：C6．C【分析】根據(jù)投影向量的計算公式，計算出投影向量.【詳解】依題意向量在向量方向上的投影向量為.故選：C7．B【分析】由已知條件，根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，．設(shè)，，則．故選：B8．C【分析】設(shè)（尺），利用勾股定理可構(gòu)造方程求得，以為坐標原點可建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（尺），則（尺），（尺），，解得：．以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系（單位：尺），則，，，，，，（平方尺）．故選：C.9．ABD【分析】根據(jù)向量相等判斷A；根據(jù)向量共線判斷BC；根據(jù)向量夾角得，解不等式可判斷D.【詳解】解：對于A選項，單位向量方向不同，則不相等，故A錯誤；對于B選項，向量與是共線向量，也可能是，故B錯誤；對于C選項，兩個非零向量，若，則與共線且反向，故C正確；對于D選項，向量，若與的夾角為銳角，則且與不共線，故，解得且，故D錯誤；故選：ABD10．AD【分析】根據(jù)復數(shù)的運算可得A,C,D的正誤，根據(jù)復數(shù)虛部的概念可知B的正誤.【詳解】因為，A正確；復數(shù)的虛部為，B不正確；若，則，，C不正確；設(shè)，所以，，D正確.故選：AD.11．ABD【分析】由圖形即可判斷AB；由半正多面體的所有頂點都在同一個正方體的棱上，可得正方形和正三角形的邊長，計算即可判斷C；利用割補法計算可得半正多面體的體積，即可判斷D，【詳解】該半正多面體的所有頂點恰為正方體各棱的中點，其棱長為，有12個頂點，14個面（6個正方形，8個正三角形），故AB正確；半正多面體的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為1，可得該半正多面體所有頂點都為正方體的棱的中點，它可由正方體去掉8個三棱錐所剩部分，所以該半正多面體的棱長為，故半正多面體的面積為，故C錯誤；半正多面體的體積為，故D正確.故選：ABD..12．【分析】先計算球的半徑，再求體積【詳解】設(shè)球的半徑為R,則故答案為：13．【詳解】試題分析:由題設(shè)可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應填.考點：正弦定理及運用．14．【分析】根據(jù)題意，設(shè)，然后分與討論，結(jié)合三點共線定理代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，設(shè)，，當時，，所以，所以，從而有；當時，因為（，），所以，即，因為、、三點共線，所以，即.綜上，的取值范圍是.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）直接利用數(shù)量積求夾角即可；（2）由，展開后代入已知得答案．【詳解】（1）因為，，所以，又，所以.（2）.16．(1)；(2)【分析】（1）先由·為純虛數(shù)求出，再計算，求模即可；（2）先由四邊形OABC為平行四邊形求出的坐標，即可求出.【詳解】（1）由題意知：，又·為純虛數(shù)，故，解得.則，；（2）易知，設(shè)，由四邊形OABC為平行四邊形可得，解得，即，故.17．(1)或；(2)當時，周長為；當時，周長為；【分析】（1）利用正弦定理和三角變換求出角；（2）利用余弦定理求出，即可求出周長.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，所以可化為：.因為，所以，所以.因為，所以或.（2）因為的面積為，所以,即，解得：.由余弦定理得：.當時，有，所以，解得：符合題意，所以的周長為.當時，有，所以，解得：符合題意，所以的周長為.18．(1)；(2)25cm；(3)2cm【分析】（1）作出圓錐的軸截面和沿OA剪開的側(cè)面展開圖，求出大圓錐和小圓錐的母線長，用大圓錐側(cè)面積減去小圓錐側(cè)面積得圓臺側(cè)面積；（2）將繩長的最小值轉(zhuǎn)化為求的長，只要求得側(cè)面展開圖的圓心角即可得到結(jié)果；（3）由側(cè)面展開圖可知，距離最短時，就是點O到直線的距離減OB的長【詳解】（1）作出圓錐的軸截面和沿OA剪開的側(cè)面展開圖，如圖所示：由圓臺的下底面半徑是5cm，上底面半徑是2.5cm，AB的長是10cm，可得，∴，所以圓臺的側(cè)面積；（2）由圓錐的底面周長可得側(cè)面展開圖的弧長為，以為半徑的圓周長為，所以剛好占了，所以側(cè)面展開圖的圓心角為90°，在直角三角形中，，所以，所以這根繩的最短長度為25cm；（3）由側(cè)面展開圖可知，當距離最短時，就是點O到直線的距離減OB的長，即，故最短的距離是2cm19．(1)；(2)；(3)32.【分析】（1）利用同一圓內(nèi)，相等弧