2023-2024學(xué)年北京通州區(qū)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年北京通州區(qū)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國(guó)致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來(lái)，全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升，中國(guó)更是發(fā)展迅猛，2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了，達(dá)到，中國(guó)的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國(guó)的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國(guó)新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是（）A．截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B．10年來(lái)全球新增裝機(jī)容量連年攀升C．10年來(lái)中國(guó)新增裝機(jī)容量平均超過D．截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過2．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．3．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為4．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．5．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．A． B． C． D．7．已知奇函數(shù)是上的減函數(shù)，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．48．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖，則此函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．9．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題10．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（）A． B．C． D．11．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.14．已知，則展開式的系數(shù)為__________．15．已知橢圓與雙曲線（,）有相同的焦點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且,則雙曲線的離心率為__________．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線過且與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在第一象限，那么_______________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線:，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線的距離為，焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，且.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若軸上存在點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）某企業(yè)現(xiàn)有A．B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1：A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1：B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）請(qǐng)估計(jì)A．B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品，每件利潤(rùn)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品，每件利潤(rùn)180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤(rùn)120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤(rùn)的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對(duì)哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模？19．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍．21．（12分）某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)）.年份年份代號(hào)年利潤(rùn)（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤(rùn)；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將（Ⅰ）中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式：，.22．（10分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國(guó)累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增，A錯(cuò)誤；全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，B錯(cuò)誤；經(jīng)計(jì)算，10年來(lái)中國(guó)新增裝機(jī)容量平均每年為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量，全球累計(jì)裝機(jī)容量，占比為，選項(xiàng)D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析：通過對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn)：三視圖3、C【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題，屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)，將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合，解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得，，作出的圖象，又由易知．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，方程的根的問題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.6、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù)，則，且，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，表示直線與軸截距的相反數(shù)，根據(jù)平移得到：當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，有最小值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】

由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，通過圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出，從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點(diǎn)應(yīng)對(duì)應(yīng)正弦曲線中的點(diǎn)，所以，解得，故函數(shù)表達(dá)式為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對(duì)值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對(duì)于命題q，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，由，得，無(wú)解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯(cuò)誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯(cuò)誤；為真命題，D錯(cuò)誤．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.10、C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù)，，的零點(diǎn)為與，，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為與，，的交點(diǎn)，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個(gè)面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m，n即可進(jìn)行判斷．【詳解】如圖，取長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令A(yù)D1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)有兩個(gè)：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？?jī)煞矫孢M(jìn)行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長(zhǎng)方體為載體進(jìn)行分析．12、C【解析】

根據(jù)題意可知當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時(shí)橢圓的離心率，進(jìn)而確定離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時(shí)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】.14、【解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)展開式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故展開式中的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開式公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題目.15、【解析】

先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實(shí)半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因?yàn)闄E圓,則焦點(diǎn)為,又因?yàn)闄E圓與雙曲線（,）有相同的焦點(diǎn),橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為:,實(shí)半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.16、2【解析】

如圖所示，先證明，再利用拋物線的定義和相似得到.【詳解】由題得,.因?yàn)?所以,過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,設(shè)|BF|=m，|AF|=n，則|BN|=m，|AM|=n，所以|AE|=n-m，因?yàn)?所以|AB|=3(n-m)，所以3(n-m)=n+m，所以.所以.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先分別表示出，然后根據(jù)求解出的值，則的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）設(shè)出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達(dá)定理形式，然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達(dá)定理形式，由此判斷出為定值時(shí)的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得，焦點(diǎn)，，則，，∴解得.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，設(shè)點(diǎn)，，顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程，整理可得，，∴，∴要使為定值，必有，解得，∴為定值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題，難度一般.（1）處理直線與拋物線相交對(duì)應(yīng)的定值問題，聯(lián)立直線方程借助韋達(dá)定理形式是常用方法；（2）直線與圓錐曲線的問題中，直線方程的設(shè)法有時(shí)能很大程度上起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。18、（1）30.2，29；（2）B設(shè)備【解析】

（1）平均數(shù)的估計(jì)值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注意指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品，列出A、B設(shè)備利潤(rùn)分布列，算出期望即可作出決策.【詳解】（1）A設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)41640121810.根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.B設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為29.（2）A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為X，B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為Y，X240180120PY240180120P若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)作為決策依據(jù)，企業(yè)應(yīng)加大B設(shè)備的生產(chǎn)規(guī)模.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的估計(jì)值、離散隨機(jī)變量的期望，并利用期望作決策，是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)綜合題，本題是一道中檔題.19、(1)(2)見證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.20、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，①②②①得，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）∴，∴，，.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理