2023-2024學(xué)年重慶市高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年重慶市高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1．（5分）若復(fù)數(shù)z＝i（2+i），則|z|＝（）A．1 B． C．5 D．2．（5分）已知空間向量＝（3，1，3），＝（﹣1，λ，﹣1），且∥，則實(shí)數(shù)λ＝（）A．﹣ B．﹣3 C． D．63．（5分）設(shè)l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥β C．若l∥α，l⊥β，則α⊥β D．若α⊥β，l⊥α，則l∥β4．（5分）已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線MN上，且MP＝2PN，設(shè)向量＝，＝，＝，則＝（）A．++ B．++ C．++ D．++5．（5分）已知空間四面體ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則?的值為（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)26．（5分）在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（5分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P為側(cè)棱CC1上任意一點(diǎn)，Q為棱AB上任意一點(diǎn)，PQ與AB所成角為α，PQ與平面ABC所成的角為β，則α與β的大小關(guān)系為（）A．α＝β B．α＜β C．α＞β D．不能確定8．（5分）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（）A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)（﹣2，1，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1，4） B．到（1，0，0）的距離小于1的點(diǎn)的集合是{（x，y，z）|（x﹣1）2+y2+z2＜1} C．點(diǎn)（1，2，3）與點(diǎn)（3，2，1）的中點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2，2） D．點(diǎn)（1，2，0）關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2，0）（多選）10．（5分）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．向量，（≠，≠），若⊥，則?＝0 B．若空間四個(gè)點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線 C．已知向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9），若，則＜，＞為鈍角 D．任意向量，，滿足（?）?＝?（?）（多選）11．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則（）A．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC1與CA1所成的角為90° C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45° D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°（多選）12．（5分）若長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，E是DD1的中點(diǎn)，則（）A．B1E⊥A1B B．平面B1CE∥平面A1BD C．三棱錐C1﹣B1CE的體積為 D．三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為24π三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.第15題第一小問(wèn)2分，第二小問(wèn)3分.13．（5分）已知直線l與平面α平行，直線l的一個(gè)方向向量為，向量與平面α垂直，則z＝．14．（5分）如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S﹣ABCD，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為．15．（5分）如圖，空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是．16．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若MP∥平面A1BC1，則異面直線MP與A1C1所成角的取值范圍是．四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知復(fù)數(shù)z1＝1+2i，z2＝3﹣4i．（1）若復(fù)數(shù)z1+λz2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；（2）若復(fù)數(shù)z＝z1?（μ+z2）（μ∈R）為純虛數(shù)，求z的虛部．18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinC＝ccos（B﹣）．（1）求角B；（2）若b＝4，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，AD＝5，BC＝2AB＝4，M是PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；（2）若AM⊥PC，求四棱錐P﹣ABCD的體積．20．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面為菱形，AB＝AA1＝2，∠BAD＝，AC∩BD＝O，AO⊥平面A1BD，A1B＝A1D．（1）證明：B1C∥平面A1BD；（2）求鈍二面角B﹣AA1﹣D的余弦值．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝，AD＝2AB＝2BC＝2PA＝4，M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)．（1）求證：PD∥平面ACM；（2）求直線PD與平面ACM的距離．22．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD＝DC，F(xiàn)，G分別是PB，AD的中點(diǎn)．（1）求證：GF⊥平面PCB；?（2）在線段AP上是否存在一點(diǎn)M，使得DM與平面ADF所成角為30°？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：z＝i（2+i）＝﹣1+2i，則．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】由∥，可設(shè)k＝，可得，解出即可得出．【解答】解：∵∥，∴可設(shè)k＝，∴，解得λ＝k＝﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系，可判斷A；由線面的位置關(guān)系可判斷B；由線面平行與垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，可判斷C；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面的位置關(guān)系可判斷D．【解答】解：l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若l∥α，l∥β，可得α∥β或α、β相交，故A錯(cuò)誤；若α⊥β，l∥α，可得l∥β或l?β、l與β相交，故B錯(cuò)誤；若l∥α，可得過(guò)l的平面γ與α的交線m∥l，由l⊥β，可得m⊥β，又m?α，則α⊥β，故C正確；若α⊥β，l⊥α，可得l∥β或l?β，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則，把用、和線性表示即可．【解答】解：如圖所示，＝+，＝（+），＝，＝﹣，＝．∴＝+＝+＝+（﹣）＝+＝×（+）+×＝++＝++．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．5．【分析】由題意可得，?＝?＝，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得結(jié)果．【解答】解：由題意可得，?＝?＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．6．【分析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PN和BM所成角的余弦值．【解答】解：∵在三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝PB＝PC＝2，則P（0，0，0），N（1，1，0），B（0，2，0），M（1，0，1），＝（1，1，0），＝（1，﹣2，1），設(shè)異面直線PN和BM所成角為θ，則cosθ＝＝＝．∴異面直線PN和BM所成角的余弦值為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．7．【分析】作出兩個(gè)角，在直角三角形中表示出sinα，sinβ，根據(jù)它們的大小關(guān)系得出結(jié)論．【解答】解：連接CQ，PB，∵CC1⊥平面ABC，∴∠PQC為PQ與平面ABC所成的角，即∠PQC＝β，由CC1⊥平面ABC，可得CC1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CC1＝C，∴AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥PB，∴∠PQB為直線PQ與AB所成角，即∠PQB＝α，∵sinα＝，sinβ＝，且PB＞PC，∴sinα＞sinβ，∴α＞β，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角的計(jì)算與大小比較，作出要求的空間角是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則內(nèi)切球的半徑為1，所以?＝（+）?（+）＝（+）?（﹣）＝﹣1∈[0，2]．所以的取值范圍是[0，2]．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題以正方體為載體，考查了線面、面面位置關(guān)系，以及空間向量的數(shù)量積應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．【分析】對(duì)于A，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x，﹣y，﹣z）；對(duì)于B，由點(diǎn)到直線的距離公式求解；對(duì)于C，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；對(duì)于D，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣x，y，z）．【解答】解：對(duì)于A，∵在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x，﹣y，﹣z），∴點(diǎn)（﹣2，1，4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1，﹣4）．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由點(diǎn)到直線的距離公式得：到（1，0，0）的距離小于1的點(diǎn)的集合是{（x，y，z）|（x﹣1）2+y2+z2＜1}，故B正確；對(duì)于C，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn)（1，2，3）與點(diǎn)（3，2，1）的中點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2，2），故C正確；對(duì)于D，∵在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣x，y，z），∴點(diǎn)（1，2，0）關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2，0）．故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．【分析】由向量垂直的條件可判斷A；由向量共線定理可判斷B；取x＝﹣3，可得，共線，可判斷C；由向量運(yùn)算不滿足結(jié)合律，可判斷D．【解答】解：向量，（≠，≠），若⊥，則?＝0，故A正確；若空間四個(gè)點(diǎn)，可得﹣＝（﹣），即有＝，則A，B，C三點(diǎn)共線，故B正確；x＝﹣3時(shí)，＝（1，1，﹣3），＝（﹣3，﹣3，9），即＝﹣3，可得，共線，夾角為π，故C不正確；向量運(yùn)算不滿足結(jié)合律，D不正確．故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的共線定理和向量數(shù)量積的性質(zhì)，以及垂直的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】求出異面直線所成角判斷A；證明線面垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷B；分別求出線面角判斷C與D．【解答】解：如圖，連接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四邊形DA1B1C為平行四邊形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直線BC1與DA1所成的角為90°，故A正確；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1?平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直線BC1與CA1所成的角為90°，故B正確；設(shè)A1C1∩B1D1＝O，連接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO＝，∴直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30°，故C錯(cuò)誤；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角為45°，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中異面直線所成角與線面角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．【分析】在A中，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法推導(dǎo)出B1E與A1B不垂直；在B中，求出平面B1CE的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1CE與平面A1BD相交；在C中，三棱錐C1﹣B1CE的體積為＝；在D中，三棱錐C1﹣B1CD1的外接球就是長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，從而三棱錐C1﹣B1CD1的外接球半徑R＝＝，由此求出三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為24π．【解答】解：長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，E是DD1的中點(diǎn)，在A中，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B1（2，0，4），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），＝（﹣2，2，﹣2），＝（2，0，﹣4），∵＝﹣4+0+8＝4≠0，∴B1E與A1B不垂直，故A錯(cuò)誤；在B中，B1（2，0，4），C（2，2，0），E（0，2，2），A1（0，0，4），B（2，0，0），D（0，2，0），＝（0，﹣2，4），＝（﹣2，0，2），＝（﹣2，0，4），＝（﹣2，2，0），設(shè)平面B1CE的法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，2，1），設(shè)平面A1BD的法向量＝（a，b，c），則，取x＝1，得＝（1，1，），∵不共線，∴平面B1CE與平面A1BD相交，故B錯(cuò)誤；在C中，三棱錐C1﹣B1CE的體積為：＝＝，故C正確；在D中，三棱錐C1﹣B1CD1的外接球就是長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，∴三棱錐C1﹣B1CD1的外接球半徑R＝＝，∴三棱錐C1﹣B1CD1的外接球的表面積為S＝＝24π，故D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.第15題第一小問(wèn)2分，第二小問(wèn)3分.13．【分析】推導(dǎo)出向量與向量垂直，從而＝0，由此能求出z．【解答】解：∵直線l與平面α平行，直線l的一個(gè)方向向量為，向量與平面α垂直，∴＝4﹣6+z＝0，解得z＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．【分析】利用半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S﹣ABCD，該四棱錐的體積為，求出球的半徑，利用體積公式，求出半球的體積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則底面ABCD的面積為2R2，∵半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S﹣ABCD，該四棱錐的體積為，∴＝，∴R3＝2，∴該半球的體積為V＝π＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查半球的體積，考查四棱錐的體積，求出球的半徑是關(guān)鍵．15．【分析】過(guò)A作AO⊥BD于O點(diǎn)，得出∠ADO即為AD與平面BCD所成的角，進(jìn)而可求出結(jié)果．【解答】解：過(guò)A作AO⊥BD于O點(diǎn)，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°．故答案為：45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，取AD中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，利用向量共線得出直線平行C1B∥ME，同理EF∥A1C1，得線面平行后再得面面平行，從而得P在線段EF上，由異面直線所成角的定義得MP與EF所成的銳角或直角即為異面直線所成的角，易得其范圍．【解答】解：如圖，以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），M（0，0，1），取AD中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，連接ME，EF，MF，則E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），＝（1，0，﹣1），＝（2，0，﹣2）＝2，所以C1B∥ME，同理EF∥A1C1，又C1B?平面A1BC1，BC1?平面A1BC1，所以C1B∥平面A1BC1，同理MF∥平面A1BC1，而MF∩ME＝M，MF，ME?平面MEF，所以平面MEF∥平面A1BC1，P是底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若MP∥平面A1BC1，則P在線段EF上，因?yàn)镋F∥A1C1，所以MP與A1C1所成的角，就是MP與EF所成的銳角或直角，△MEF是等邊三角形，MP與EF所成角最大為（P為EF中點(diǎn)時(shí)），最小為（P與E或F重合時(shí)），所以所求角的范圍是[，]．故答案為：[，]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成角的范圍問(wèn)題，屬于中檔題．四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)和虛部的定義，即可求解．【解答】解：（1）∵z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，∴z1+λz2＝1+2i+λ（3﹣4i）＝1+3λ+（2﹣4λ）i，∵復(fù)數(shù)z1+λz2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，解得，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（﹣∞，﹣）．（2）z＝z1?（μ+z2）＝（1+2i）（μ+3﹣4i）＝μ+3+8+[2（μ+3）﹣4]i，∵z為純虛數(shù)，∴，解得μ＝﹣11，∴z＝﹣20i，∴z的虛部為﹣20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)和虛部的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角差的余弦公式與輔助角公式，得解；（2）結(jié)合余弦定理與基本不等式，推出a+c≤8，得解．【解答】解：（1）由正弦定理及bsinC＝ccos（B﹣），知sinBsinC＝sinCcos（B﹣），因?yàn)閟inC≠0，所以sinB＝cos（B﹣）＝cosB+sinB，即sin（B﹣）＝0，因?yàn)锽∈（0，π），所以B＝．（2）由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，所以16＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2﹣3?（a+c）2≥（a+c）2，所以（a+c）2≤64，即a+c≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝4時(shí)，等號(hào)成立，所以△ABC周長(zhǎng)為a+b+c≤8+4＝12，故△ABC周長(zhǎng)的最大值為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式，兩角差的余弦公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用勾股定理及其逆定理得到CD⊥AC，根據(jù)PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，然后利用線面垂直的判定定理證得CD⊥平面PAC，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理證得平面PAC⊥平面PCD；（2）由已知條件，利用中垂線的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用體積公式計(jì)算．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AB⊥AD，AD＝5BC＝2AB＝4，∴，，∴AD2+CD2＝20+5＝25＝AD2，∴CD⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD?平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD；（2）解：∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，AM⊥PC，∴，所以四棱錐P﹣ABCD的體積．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查面面垂直的證明，錐體體積的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）連結(jié)AB1，交A1B于點(diǎn)Q，連結(jié)OQ，推導(dǎo)出OQ，由此能證明B1C∥平面A1BD．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出鈍二面角B﹣AA1﹣D的余弦值．【解答】解：（1）證明：連結(jié)AB1，交A1B于點(diǎn)Q，由題意得Q是AB1中點(diǎn)，連結(jié)OQ，∵O為AC中點(diǎn)，∴在△AB1C中，OQ，∵OQ?平面A1BD，B1C?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（2）解：∵AO⊥平面A1BD，∴AO⊥A1O，∵A1B＝A1D，且O為BD的中點(diǎn)，∴A1O⊥BD，∵AO、BD?平面ABCD，且AO∩BD＝O，∴A1O⊥平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），∴＝（﹣，0，1），＝（﹣，1，0），設(shè)平面A1AB的一個(gè)法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，），同理得平面A1AD的一個(gè)法向量＝（1，﹣），∴cos＜＞＝＝，∴鈍二面角B﹣AA1﹣D的余弦值為﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．【分析】（1）以線面平行的判定定理即可證明PD∥平面AC