高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)上第3習(xí)題課省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習(xí)題課一、微分中值定理及其應(yīng)用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三章1/27拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系羅爾定理柯西中值定理泰勒中值定理機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2/272.微分中值定理主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)性態(tài)(2)證實(shí)恒等式或不等式(3)證實(shí)相關(guān)中值問題結(jié)論機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3/273.相關(guān)中值問題解題方法利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù).普通解題方法:證實(shí)含一個中值等式或根存在,(2)若結(jié)論中包括到含中值兩個不一樣函數(shù),(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上中值,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.必須屢次應(yīng)用中值定理.(4)若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù),多考慮用泰勒公式,(5)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束4/27例1.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證實(shí)在內(nèi)有界.證:取點(diǎn)再取異于點(diǎn)對為端點(diǎn)區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對任意即得所證.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5/27例2.

設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證實(shí)最少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在證:問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至使即有少存在一點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束6/27例3.且試證存在證:欲證因f(x)在[a,b]上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有將①代入②,化簡得故有①②即要證機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束7/27例4.

設(shè)實(shí)數(shù)滿足下述等式證實(shí)方程在(0,1)內(nèi)最少有一個實(shí)根.證:令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點(diǎn)使即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束8/27例5.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且分析:所給條件可寫為(03考研)試證必存在想到找一點(diǎn)c,使證:因f(x)在[0,3]上連續(xù),所以在[0,2]上連續(xù),且在[0,2]上有最大值M與最小值m,故由介值定理,最少存在一點(diǎn)由羅爾定理知,必存在9/27例6.

設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證實(shí)證:由泰勒公式得兩式相減得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束10/27二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1.研究函數(shù)性態(tài):增減,極值,凹凸,拐點(diǎn),漸近線,曲率2.處理最值問題目標(biāo)函數(shù)建立與簡化最值判別問題3.其它應(yīng)用:求不定式極限;幾何應(yīng)用;相關(guān)改變率;證實(shí)不等式;研究方程實(shí)根等.4.補(bǔ)充定理(見下頁)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束11/27設(shè)函數(shù)在上含有n階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)時證:令則利用在處n－1階泰勒公式得所以時定理.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束12/27連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所表示,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提醒:正負(fù)作f(x)示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;13/27

.在區(qū)間

上是凸弧;拐點(diǎn)為提醒:正負(fù)作f(x)示意圖.形在區(qū)間

上是凹弧;則函數(shù)f(x)圖(2)

設(shè)函數(shù)圖形如圖所表示,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束14/27例8.

證實(shí)在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故當(dāng)x>0時,從而在上單調(diào)增.得15/27例9.

設(shè)在上可導(dǎo),且證實(shí)f(x)至多只有一個零點(diǎn).

證:設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點(diǎn).又因所以也至多只有一個零點(diǎn).思索:若題中改為其它不變時,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束16/27例10.

求數(shù)列最大項(xiàng).證:設(shè)用對數(shù)求導(dǎo)法得令得因?yàn)樵谥挥形ㄒ粯O大點(diǎn)所以在處也取最大值.又因中最大項(xiàng).極大值機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束列表判別:17/27例11.證實(shí)證:設(shè),則故時,單調(diào)增加,從而即思索:

證實(shí)時,怎樣設(shè)輔助函數(shù)更加好?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束提醒:18/27例12.設(shè)且在上存在,且單調(diào)遞減,證實(shí)對一切有證:設(shè)則所以當(dāng)令得即所證不等式成立.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束19/27例13.

證:只要證機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用一階泰勒公式,得故原不等式成立.20/27例14.證實(shí)當(dāng)x>0時,證:令則法1由在處二階泰勒公式,得故所證不等式成立.與1之間)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束21/27法2列表判別:即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束22/27法3利用極值第二判別法.故也是最小值,所以當(dāng)時即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束23/27例15.求解法1利用中值定理求極限原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束24/27解法2利用泰勒公式令則原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束25/27解法3利