第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 綜合練習-2022-2023學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合練習共22道題，滿分150分一、單項選擇題（每道題5分，共40分）1.已知函數(shù)y=ax-4+1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P,若點P在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則冪函數(shù)f(x)的圖象大致是().2.函數(shù)f(x)=1-x+A.(-∞,0) B.(0,1]C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1]3.在下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是().A.f(x)=x-1,g(x)=xB.f(x)=|x+1|,g(x)=x+1C.f(x)=1,g(x)=(x+1)0D.f(x)=(3x)3,g(x)=4.已知函數(shù)f(x)=x+1,A.2 B.23 C.2或43 5.已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:x123f(x)131x123g(x)321則滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值是().A.1 B.2 C.3 D.1和26.已知函數(shù)f(x)=x,A.x B.-xC.-x D.-7.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-1,2a]上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,2a]上單調(diào)遞增,則不等式f(x-1)<f(a)的解集為().A.[-1,3] B.(0,2)C.(0,1)∪(2,3] D.[-1,0)∪(1,2)8.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出了如下規(guī)定:每位職工每月用水量不超過10立方米的,按每立方米m元收費;用水量超過10立方米的,超過部分按每立方米2m元收費.某職工某月繳水費16m元,則該職工這個月實際用水量為().A.13立方米 B.14立方米C.18立方米 D.26立方米二、多項選擇題（每道題5分，共20分）9.若函數(shù)f(x)=(3m2-10m+4)xm是冪函數(shù),則f(x)一定().A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞減D.在x∈(-∞,0)上單調(diào)遞增10.已知函數(shù)f(x)的圖象由如圖所示的兩條線段組成,則().A.f(f(1))=3B.f(2)>f(0)C.f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4]D.?a>0,不等式f(x)≤a的解集為111.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x≥0時,f(x)=x-x2,則下列說法正確的是().A.f(-1)=0B.f(x)在(-1,0)上是增函數(shù)C.f(x)>0的解集為(0,1)D.f(x)的最大值為112.把定義域為[0,+∞)且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為“Ω函數(shù)”:(1)對任意的x∈[0,+∞),總有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,則有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判斷錯誤的是().A.若f(x)為“Ω函數(shù)”,則f(0)=0B.若f(x)為“Ω函數(shù)”,則f(x)在[0,+∞)上一定是增函數(shù)C.函數(shù)g(x)=0,D.函數(shù)g(x)=[x]在[0,+∞)上是“Ω函數(shù)”([x]表示不大于x的最大整數(shù))三、填空題（每道題5分，共20分）13.函數(shù)f(x)=x-3414.某建材商場國慶期間搞促銷活動,規(guī)定:如果顧客選購物品的總金額不超過600元,則不享受任何折扣優(yōu)惠;如果顧客選購物品的總金額超過600元,則超過600元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠,折扣優(yōu)惠按下表累計計算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣優(yōu)惠率不超過1100元部分5%超過1100元部分10%某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元,則他實際所付金額為元.

15.已知偶函數(shù)f(x)=x2+bx+c,寫出一組使得f(x)≥2恒成立的b,c的取值:b=,c=.

16.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-2ax+a,其中a∈R.①f-12=②若f(x)的值域是R,則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題（17題10分，18-22題12分，共70分）17.給出關(guān)于函數(shù)f(x)的一些限制條件:①在(0,+∞)上單調(diào)遞減;②在(-∞,0)上單調(diào)遞增;③是奇函數(shù);④是偶函數(shù);⑤f(0)=0.在這些條件中,選擇必需的條件,補充在下面的問題中.定義在R上的函數(shù)f(x),若滿足(填寫你選定的條件的序號),且f(-1)=0,求不等式f(x-1)>0的解集.

(1)若不等式的解集是空集,請寫出選定條件的序號,并說明理由;(2)若不等式的解集是非空集合,請寫出所有可能性的條件序號;(不必說明理由)(3)求解問題(2)中選定條件下不等式的解集.

18.已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),f(-1)=-1,當x>0時,f(x)=x2-ax+4.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求不等式f(x)<12x+1

19.對于任意的實數(shù)a,b,min{a,b}表示a,b中較小的那個數(shù),即min{a,b}=a,a≤b,(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值;(2)設(shè)h(x)=min{f(x),g(x)},x∈R,求函數(shù)h(x)的最大值.

20.已知函數(shù)f(x)=ax-b9(1)確定f(x)的解析式;(2)判斷f(x)在(-3,3)上的單調(diào)性,并用定義證明;(3)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.

21.某地空氣中出現(xiàn)污染,須噴灑一定量的去污劑進行處理.據(jù)測算,每噴灑1個單位的去污劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=1+x(1)若一次噴灑4個單位的去污劑,則去污時間可達幾天?(2)若第一次噴灑2個單位的去污劑,6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的去污劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效去污,試求a的最小值.

22.已知f(x)的定義域為R,對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,當x>0時,f(x)<1,f(1)=0.(1)求f(-1).(2)試判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并證明.(3)解不等式:f(2x2-3x-2)+2f(x)>4.參考答案1.B【解析】由x-4=0,得x=4,y=2,即定點為P(4,2).設(shè)冪函數(shù)f(x)=xα,則4α=2,得α=12,所以f(x)=x2.D【解析】要使函數(shù)f(x)有意義,則1-3.B【解析】對于A,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x≠-1},兩個函數(shù)的定義域不相同,所以A不是同一函數(shù);對于B,f(x),g(x)的定義域都為R,而f(x)=x+1對于C,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x≠-1},兩個函數(shù)的定義域不相同,所以C不是同一函數(shù);對于D,f(x)的定義域為R,g(x)的定義域為{x|x≠0},兩個函數(shù)的定義域不相同,所以D不是同一函數(shù).4.D【解析】結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論.當x≥1時,f(x)=x+1=3,∴x=2,滿足題意;當x<1時,f(x)=4x=3,∴x=34綜上可得,x的值是2或345.B【解析】當x=1時,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不符合題意;當x=2時,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合題意;當x=3時,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不符合題意.綜上,滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值為2.6.D【解析】因為f(x)=x當x<0時,-x>0,所以f(-x)=-x又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),故f(x)=--x7.B【解析】因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a-1,2a]上的偶函數(shù),所以-a-1+2a=0,解得a=1,所以不等式f(x-1)<f(a)可化為f(|x-1|)<f(1).因為f(x)在區(qū)間[0,2a]上單調(diào)遞增,所以|x-1|<1,解得0<x<2.8.A【解析】設(shè)該職工這個月的用水量為x立方米,需要繳納的水費為f(x)元,當0≤x≤10時,f(x)=mx,當x>10時,f(x)=10m+(x-10)×2m=2mx-10m,故f(x)=mx據(jù)此分類討論:當0≤x≤10時,令mx=16m,解得x=16,不符合題意,舍去;當x>10時,令2mx-10m=16m,解得x=13,符合題意.綜上可得,該職工這個月實際用水量為13立方米.9.BD【解析】因為函數(shù)f(x)=(3m2-10m+4)xm是冪函數(shù),所以3m2-10m+4=1,解得m=3或m=13,所以f(x)=x3或f(x)=x10.AC【解析】因為f(1)=0,f(0)=3,所以f(f(1))=3,所以A正確.因為f(0)=3,0<f(2)<3,所以f(2)<f(0),所以B錯誤.由題圖得,當x∈[0,1]時,設(shè)解析式為y1=k1x+b1(k1≠0),因為圖象經(jīng)過(1,0),(0,3)兩點,所以k1+b1=0當x∈[1,4]時,設(shè)解析式為y2=k2x+b2(k2≠0),因為圖象經(jīng)過(1,0),(4,3)兩點,所以k2+b2=0故f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4],所以C正確.由選項C得f(2)=2-1=1,f12=3-32=3211.AD【解析】由題意得f(-1)=f(1)=1-1=0,故A正確;當x≥0時,f(x)=x-x2在0,12上是增函數(shù),在12,當x≥0時,由f(x)=x-x2>0,可得0<x<1,因為函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以當x<0時,由f(x)>0,可得-1<x<0,所以f(x)>0的解集為(-1,0)∪(0,1),故C不正確;當x≥0時,由f(x)=x-x2=-x-122+14可知,當x=12時,f(x)12.BC【解析】若函數(shù)f(x)為“Ω函數(shù)”,若滿足條件(1),則f(0)≥0,若滿足條件(2),當x=y=0時,f(0)≥f(0)+f(0),解得f(0)≤0,若同時滿足條件(1)(2),則f(0)=0,故A正確;若函數(shù)f(x)是常函數(shù),如f(x)=0,x∈[0,+∞),同時滿足條件(1)(2),但不是增函數(shù),故B不正確;當x=2,y=3時,g(2)=1,g(3)=1,g(2+3)=1,g(2+3)<g(2)+g(3),不滿足條件(2),所以g(x)在[0,+∞)上不是“Ω函數(shù)”,故C不正確;g(x)=[x]的最小值是0,顯然符合條件(1),設(shè)[0,+∞)上的每一個數(shù)都由整數(shù)部分和小數(shù)部分兩部分構(gòu)成,設(shè)x的整數(shù)部分是m,小數(shù)部分是n,即x=m+n,則[x]=m,設(shè)y的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,即y=a+b,[y]=a,當n+b沒有進到整數(shù)位時,[x+y]=m+a,若n+b進到整數(shù)位時,[x+y]=m+a+1,所以[x+y]≥[x]+[y],所以函數(shù)g(x)=[x]滿足條件(2),所以g(x)=[x]在[0,+∞)上是“Ω函數(shù)”,故D正確.13.[3,4)∪(4,+∞)【解析】由x-14.1120【解析】由題意可知,折扣金額y元與購物總金額x元之間的解析式為y=0∵y=30>25,∴x>1100,∴0.1(x-1100)+25=30,解得x=1150,由1150-30=1120知,此人購物實際所付金額為1120元.15.04(答案不唯一)【解析】由題意,函數(shù)f(x)=x2+bx+c為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,可得b=0,所以f(x)=x2+c,又由f(x)≥2恒成立,所以f(x)min≥2,即c≥2.16.-14(-∞,0]∪[1,+∞)【解析】①由題意,函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-2ax+a,則f-12=-f12=-②若函數(shù)f(x)的值域為R,由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,可得當x>0時,函數(shù)f(x)=x2-2ax+a的圖象與x軸有交點,則Δ=(2a)2-4a≥0,解得a≤0或a≥1,即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪[1,+∞).17.【解析】(1)若不等式f(x-1)>0的解集為空集,即f(x-1)≤0恒成立.因為f(-1)=0,所以函數(shù)f(x)不可能單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,所以①②都不能選.選③④時,f(x)的表達式為f(x)=0,不等式f(x-1)>0的解集為空集.所以選③④.(2)若不等式f(x-1)>0的解集是非空集合,可選擇條件:①③;①④⑤;②③;②④⑤.(3)若選擇①③:因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),又f(-1)=0,所以f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,由f(x-1)>0,得x-1<-1或0<x-1<1,解得x<0或1<x<2,所以不等式f(x-1)>0的解集為(-∞,0)∪(1,2).若選擇①④⑤:由于f(x)是偶函數(shù),f(-1)=0,則f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,由f(x-1)>0,得-1<x-1<0或0<x-1<1,解得0<x<2且x≠1,所以不等式f(x-1)>0的解集為(0,1)∩(1,2).若選擇②③:因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),又f(-1)=0,所以f(1)=0,又f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由f(x-1)>0,得-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2,所以不等式f(x-1)>0的解集為(0,1)∪(2,+∞).若選擇②④⑤:由于f(x)是偶函數(shù),f(-1)=0,則f(1)=0,又f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.由f(x-1)>0,得-1<x-1<0或0<x-1<1,解得0<x<2且x≠1,所以不等式f(x-1)>0的解集為(0,1)∪(1,2).18.【解析】(1)因為函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),f(-1)=-1,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=1,所以1-a+4=1,解得a=4,所以當x>0時,f(x)=x2-4x+4.令x<0,則-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,因為函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-x2-4x-4.綜上可知,f(x)=x(2)當x>0時,原不等式可化為x2-4x+4<12x+1整理并化簡,得(x-1)(2x-7)<0,解得1<x<72當x=0時,原不等式可化為0<12當x<0時,原不等式可化為-x2-4x-4<12x+1整理并化簡,得(x+3)(2x+3)>0,解得x<-3或-32綜上,原不等式的解集為(-∞,-3)∪-32,19.【解析】(1)因為f(x)=3-x2在[-1,0]上單調(diào)遞增,在(0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[-1,1]上的最小值為f(-1)=f(1)=2.(2)當g(x)=1-x≤3-x2=f(x),即-1≤x≤2時,h(x)=1-x;當g(x)=1-x>3-x2=f(x),即x<-1或x>2時,h(x)=3-x2.作出函數(shù)h(x)的圖象如圖所示,由圖可知,h(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在[-1,+∞)上單調(diào)遞減,即h(x)≤h(-1)=2.所以當x=-1時,h(x)取得最大值,最大值為2.20.【解析】(1)由函數(shù)f(x)=ax-b9-x又f(1)=a9-1故f(x)=x9(2)f(x)在(-3,3)上為增函數(shù).證明如下:在(-3,3)內(nèi)任取x1,x2,且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=x29-x2∵x2-x1>0,9+x1x2>0,9-x12>0,9-∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(-3,3)上為增函數(shù).(3)∵f(t-1)+f(2t)<0,∴f(t-1)<-f(2t),又