3 微專題：平面向量模的最值（范圍）之求法 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊(cè)

【學(xué)生版】微專題：平面向量模的最值（范圍）之求法向量既有大小又有方向，具有數(shù)和形的特征。因此，在解題時(shí)要注意利用數(shù)形結(jié)合的方法。尤其是當(dāng)題目中涉及動(dòng)點(diǎn)，變量的最值或范圍問題時(shí)，應(yīng)該重視平面向量的符號(hào)、坐標(biāo)與有向線段的表示多樣性，通過數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想相融合；求向量模的最值（范圍）的方法，通常有：（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用均值不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法），弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直，平行，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡(jiǎn)單；結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解；【典例】例1、已知，是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【提示1】；【答案】；【解析1】；【說明1】；【提示2】；【答案】；【解析2】；【拓展】求：的最大值；則，其中表示在方向上的數(shù)量投影．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，在方向上的數(shù)量投影最大，最大投影為2，故的最大值為2,故答案為：2；【說明2】；【提示3】．【答案】；【解析3】；【說明3】例2、已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．【提示1】；【答案】；【解析1】【說明1】【提示2】【解析2】；【注：學(xué)習(xí)了解析幾何后，又解：不妨以為例，則的最小值是到直線的距離減1.即】【說明2】例3、若平面向量，滿足，則在方向上數(shù)量投影的最大值是________【歸納】1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有：（1）若共起點(diǎn)，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線（2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個(gè)三角形2、向量數(shù)乘的幾何意義：對(duì)于（1）共線（平行）特點(diǎn)：與為共線向量，其中時(shí)，與同向；時(shí)，與反向（2）模長(zhǎng)關(guān)系：3、與向量模長(zhǎng)問題相關(guān)的定理：（1）三角形中的相關(guān)定理：設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為①正弦定理：②余弦定理：（2）菱形：對(duì)角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線特別的，對(duì)于底角的菱形，其中一條對(duì)角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形。（3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對(duì)角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長(zhǎng)的條件：條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識(shí)處理模長(zhǎng)5、求向量的模的拓展與技巧：不等式法：（左邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，反向等號(hào)成立；右邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，同向等號(hào)成立）；（左邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，同向等號(hào)成立；右邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，反向等號(hào)成立）；.【即時(shí)練習(xí)】1、已知向量，的夾角為，與共線，的最小值為A．1B． C．D．2、已知向量，滿足，，若，且，則的最小值為A．1B． C．D．3、已知向量與單位向量所成的角為，且滿足對(duì)任意的，恒有，則的最小值為4、設(shè)，，其中，則的最大值是．5、若平面向量，滿足，則，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值是．6、已知向量，滿足，，求：的最大值【教師版】微專題：平面向量模的最值（范圍）之求法向量既有大小又有方向，具有數(shù)和形的特征。因此，在解題時(shí)要注意利用數(shù)形結(jié)合的方法。尤其是當(dāng)題目中涉及動(dòng)點(diǎn)，變量的最值或范圍問題時(shí)，應(yīng)該重視平面向量的符號(hào)、坐標(biāo)與有向線段的表示多樣性，通過數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想相融合；求向量模的最值（范圍）的方法，通常有：（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用均值不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法），弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直，平行，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡(jiǎn)單；結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解；【典例】例1、已知，是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【提示1】注意：由題設(shè)等價(jià)等待關(guān)于的不等式；可考慮；以及“單位向量”、“”；【答案】；【解析1】由兩邊同時(shí)平方，得，再由，是單位向量，，則，變形得（等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)成立），整理得，即；故選C；【說明1】以上解法主要利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題設(shè)構(gòu)建了與三角函數(shù)的最值的關(guān)聯(lián)與整合；【提示2】先作出圖形，利用求出點(diǎn)的軌跡，數(shù)形結(jié)合即可得到的最大值，再將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用向量數(shù)量積的幾何意義求解的最大值；【答案】C；【解析2】如圖，作，由題意知，故以為鄰邊作正方形，則，作；則由，得，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓；因此當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，最大，最大值為；【拓展】求：的最大值；則，其中表示在方向上的數(shù)量投影．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，在方向上的數(shù)量投影最大，最大投影為2，故的最大值為2,故答案為：2；【說明2】本題考查了向量線性運(yùn)算的幾何意義與數(shù)量積的幾何表示；主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的模、平面向量的幾何意義，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力；【提示3】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件求得滿足的關(guān)系式，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和距離公式，再根據(jù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合即可求解．【答案】C；【解析3】由已知；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則由題意，不妨設(shè)，，；所以，；由，所以，化簡(jiǎn)整理，可得，所以點(diǎn)在以（1,1）為圓心，半徑為1的圓上．所以；【說明3】由于向量具有數(shù)形二重性，因此研究向量的問題時(shí)可借助于幾何圖形進(jìn)行，利用數(shù)形結(jié)合可以增強(qiáng)解題的直觀性，同時(shí)也使得對(duì)向量的研究簡(jiǎn)單化，進(jìn)而可提高解題的效率；例2、已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．【提示1】注意：構(gòu)建與三角不等式的關(guān)聯(lián)，用好用對(duì)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律；【答案】A；【解析1】由，得；設(shè)，，，所以，由向量的三角形法則，得，，所以，，取的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上；如圖，設(shè)，作射線，使得∠，所以，【注：圓心到直線的距離減去圓的半徑1，為】故選A；【說明1】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法；【提示2】把等式變形，可得，即，設(shè)，則的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，再由已知得到的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線上，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案；【解析2】等式變形，可得，即；如圖，不妨設(shè)，則的終點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓周上，又非零向量與的夾角為，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)O的兩條射線（）上.如圖，數(shù)形結(jié)合可知；【注：學(xué)習(xí)了解析幾何后，又解：不妨以為例，則的最小值是到直線的距離減1.即】【說明2】本題（2018·浙江卷)）本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想；例3、若平面向量，滿足，則在方向上數(shù)量投影的最大值是________【提示】注意：結(jié)合題設(shè)與“數(shù)量投影”的概念進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；【答案】；【解析】由，可得：所以，在方向上數(shù)量投影為：；故最大值為：；【說明】本題通過向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合“數(shù)量投影”的概念，建立了與基本不等式的聯(lián)系與交匯；【歸納】1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有：（1）若共起點(diǎn)，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線（2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個(gè)三角形2、向量數(shù)乘的幾何意義：對(duì)于（1）共線（平行）特點(diǎn)：與為共線向量，其中時(shí)，與同向；時(shí)，與反向（2）模長(zhǎng)關(guān)系：3、與向量模長(zhǎng)問題相關(guān)的定理：（1）三角形中的相關(guān)定理：設(shè)三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為①正弦定理：②余弦定理：（2）菱形：對(duì)角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線特別的，對(duì)于底角的菱形，其中一條對(duì)角線將此菱形分割為兩個(gè)全等的等邊三角形。（3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對(duì)角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長(zhǎng)的條件：條件中的向量運(yùn)算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識(shí)處理模長(zhǎng)5、求向量的模的拓展與技巧：不等式法：（左邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，反向等號(hào)成立；右邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，同向等號(hào)成立）；（左邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，同向等號(hào)成立；右邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，反向等號(hào)成立）；.【即時(shí)練習(xí)】1、已知向量，的夾角為，與共線，的最小值為A．1B． C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，即的最小值為，2、已知向量，滿足，，若，且，則的最小值為A．1B． C．D．【答案】D；【解析】由，，又，到直線的距離，，且，，在直線上，的最小距離為．故選：．3、已知向量與單位向量所成的角為，且滿足對(duì)任意的，恒有，則的最小值為【答案】；【解析】，，即，整理得，