第02講 因式分解-【初升高暑假銜接】2022年新高一數(shù)學(xué)【贏在暑假】同步精講精練系列（人教A版2019）

第02講：因式分解【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、公式法(立方和、立方差公式)這就是說，兩個數(shù)的立方和(差)，等于這兩個數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)．運(yùn)用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．考點(diǎn)二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．考點(diǎn)三、十字相乘法1．型的因式分解(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個因數(shù)之和．.因此，.2．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，．反過來，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【專題突破】一、單選題1．把多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果是（

）A． B．C． D．2．因式分解（

）A． B．C． D．3．把多項(xiàng)式分解因式得結(jié)果是（

）A． B．C． D．4．下列因式分解完全正確的是A． B．C． D．5．下列各式運(yùn)算正確的是A．B．C．D．6．閱讀材料：對于多項(xiàng)式可以直接用公式法分解為的形式.但對于多項(xiàng)式就不能直接用公式法了，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在中先加上一項(xiàng)，再減去這項(xiàng)，使整個式子的值不變.解題過程如下：（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）根據(jù)上述材料，回答問題.上述因式分解的過程，從第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（

）A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法7．把分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．8．下列分解不正確的是（

）A．B．C．D．9．二次三項(xiàng)式分解因式為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，10．多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是（）.A．

B．C． D．11．若多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果中有一個因式為，則的值為（

）A．20 B．-20 C．13 D．-1312．下列分解因式錯誤的是（

）A．a(chǎn)-5a+6=(a-2)(a-3) B．1-4m+4m=(1-2m)C．-4x+y=-(2x+y)(2x-y) D．3ab+ab+9=(3+ab)13．多項(xiàng)式可分解為，則的值分別為（

）A．和 B．和 C．和 D．和14．已知正數(shù)m，滿足m4﹣7m2+1＝0，則m+的值為（）A．2 B． C． D．315．的值最接近（

）A． B． C． D．二、填空題16．因式分解：_______.17．因式分解________18．因式分解______.19．已知為實(shí)數(shù)，且，則的值是________.20．分解因式：_________.21．因式分解________.三、解答題22．分解因式（1）

（2）

（3）（4）（5）（6）（7）（8）23．因式分解：（1）；（2）.24．分解因式（1）

（2）

（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）25．選用適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴剑?）

（2）

（3）26．分解因式：(1)(y﹣1)2﹣10(y﹣1)+25；

(2)(x+2)(x+4)+1；(3)x4﹣18x2y2+81y4；

(4)(y2﹣1)2﹣6(y2﹣1)+9；(5)2a3b﹣4a2b2+2ab3；

(6)(m2﹣4m)2+8(m2﹣4m)+16．27．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．28．選用適當(dāng)?shù)姆椒ǚ纸庖蚴剑?）；

（2）.參考答案：1．B【解析】先利用分組分解法得，再利用平方差公式分解因式即可【詳解】解：，故選：B2．A【解析】【分析】利用平方差公式以及提公因式法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式的因式分解，考查平方差公式以及提公因式法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】提取公因式，再由完全平方可得解.【詳解】.故選：C.4．D【解析】【分析】將選項(xiàng)右邊表達(dá)式展開，由此判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】對于A選項(xiàng)，右邊左邊，所以A不正確.對于B選項(xiàng)，右邊左邊，所以B選項(xiàng)不正確.對于C選項(xiàng)，右邊左邊，所以C選項(xiàng)不正確.對于D選項(xiàng)，右邊=左邊，所以D選項(xiàng)正確.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查判斷因式分解的結(jié)果是否正確，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】【分析】利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，右邊左邊，故A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，右邊左邊，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，根據(jù)立方和公式可知，C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，根據(jù)立方差公式可知，正確的運(yùn)算是，故D選項(xiàng)錯誤.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】【分析】根據(jù)第二步到第三步，前面三項(xiàng)合成完全平方公式，后面兩項(xiàng)為指數(shù)運(yùn)算，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題知從第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查因式分解方法的識別，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】【分析】提公因式，再利用完全平方公式，即得解【詳解】由題意，故選：D8．B【解析】利用完全平方公式，對選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得答案；【詳解】完成平方公式的運(yùn)用：，，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】【分析】利用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則去括號合并同類項(xiàng)得出即可.【詳解】解:,,.故選:D【點(diǎn)睛】此題主要考查了多項(xiàng)式乘法以及合并同類項(xiàng),正確運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則是解,也可用一元二次方程的根的關(guān)系來解.10．D【解析】【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案.【詳解】故選：D.11．B【解析】依題意設(shè)，再根據(jù)多項(xiàng)式相等得到方程組，解得即可；【詳解】解：設(shè)所以所以，解得故選：B12．B【解析】根據(jù)等式左右兩邊是否相等及右邊是否為因式相乘即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】A選項(xiàng)根據(jù)十字相乘分解因式可知正確；B選項(xiàng)中的1+4m-4m=(1-2m)，左右兩邊不相等，所以B是錯的；C選項(xiàng)根據(jù)平方差公式可知正確；D選項(xiàng)根據(jù)完全平方公式可知正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，屬于容易題.13．B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，即可得到答案.【詳解】由題知：，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，屬于簡單題.14．D【解析】【分析】已知等式整理后，求出m2+的值，利用完全平方公式及平方根定義求出所求即可．【詳解】解：已知等式整理得：m2+＝7，∴m2++2＝9，即（m+）2＝9，∵m＞0，∴m+＝3，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，靈活意義完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．B【解析】【分析】首先根據(jù)立方和、立方差公式得到，再將分式化簡即可得到答案.【詳解】由立方和、立方差公式得：，.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查立方和、立方差公式，熟記公式為解題的關(guān)鍵，同時考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.16．【解析】先由完全平方公式得，再由平方差公式化簡可得.【詳解】.故答案為：17．【解析】【分析】將看做一個整體，利用十字相乘法化為乘積的形式；再次利用十字相乘法可得到結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用十字相乘法進(jìn)行因式分解的問題，屬于基礎(chǔ)題.18．【解析】【分析】解：故答案為：【詳解】本題考查分組分解法因式分解，屬于基礎(chǔ)題.19．【解析】【分析】計(jì)算，再根據(jù)，帶入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，故，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的運(yùn)算，屬于簡單題.20．【解析】【分析】前三項(xiàng)用十字相乘法分解因式，后兩項(xiàng)提公因數(shù)，在對其提公因式得答案.【詳解】利用分組分解法（前三項(xiàng)與后兩組）故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查十字相乘法的應(yīng)用，屬于中檔題.21．【解析】【分析】先設(shè),則原式可變形為,將其分解后，再代入后再將每一個因式分解，可得答案..【詳解】設(shè),則原式可化為:，而，所以，而，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用換元法,即把某個式子看作一個整體,用一個字母去代替它,實(shí)行等量替換進(jìn)行因式分解，注意在分解后一定要再每一個因式能否再分解，分解到不能再分解為止，屬于中檔題.22．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【解析】【分析】十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)?！驹斀狻浚?）當(dāng)24分成時，有符合要求，（2）當(dāng)36分成時，有符合要求，（3）當(dāng)分成時，有符合要求，（4）當(dāng)分成時，有符合要求，（5）當(dāng)分成時，有符合要求，（6）當(dāng)分成時，有符合要求，（7）當(dāng)分成時，有符合要求，（8）當(dāng)分成時，有符合要求，【點(diǎn)睛】本題考查用十字相乘法來分解因式.十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式。（2）用十字相乘法來解一元二次方程。23．（1）；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)十字相乘法分解因式即可;(2)將看作整體，利用十字相乘法分解即可.【詳解】解：（1）；（2）.24．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.【解析】【分析】（1）~（6）、（8）運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解；（7）運(yùn)用提公因式法和十字相乘法進(jìn)行因式分解；（9）運(yùn)用換元法、十字相乘法、公式法進(jìn)行因式分解.【詳解】（1）；

（2）；

（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）令，所以有【點(diǎn)睛】本題考查了用十字相乘法、換元法、公式法、提公因式法進(jìn)行因式分解，考查了代數(shù)式恒等變形能力.25．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）運(yùn)用提公因式法，結(jié)合換元法、十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（2）運(yùn)用提公因式法，結(jié)合換元法、十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（3）運(yùn)用提公因式法，結(jié)合換元法、十字相乘法、公式法進(jìn)行因式分解即可.【詳解】（1）原式==設(shè)，則∴原式=====（2）解：原式==設(shè)，則∴原式=====（3）解：原式==設(shè)，則∴原式=====【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用提公因式法、換元法、十字相乘法進(jìn)行因式分解，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.26．(1)(y﹣6)2；(2)(x+3)2；(3)(x﹣3y)2(x+3y)2；(4)(y+2)2(y﹣2)2；(5)2ab(a﹣b)2；(6)(m﹣2)4.【解析】【分析】(1)原式利用完全平方公式分解即可；(2)原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后利用完全平方公式分解即可；(3)根據(jù)完全平方公式和平方差公式因式分解；(4)利用完全平方公式進(jìn)行分解，再次利用平方差進(jìn)行二次分解即可；(5)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；(6)直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【詳解】解：(1)原式＝(y﹣1﹣5)2＝(y﹣6)2；(2)原式＝x2+6x+8+1＝(x+3)2；(3)原式＝(x2﹣9y2)2＝(x﹣3y)2(x+3y)2；(4)原式＝(y2﹣1﹣3)2＝(y2﹣4)2＝(y+2)2(y﹣2)2；(5)原式＝2ab(a2﹣2ab+b2)＝2ab(a﹣b)2；(6)原式＝(m2﹣4m+4)2＝(m﹣2)4．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．27．(1