第五章 三角函數(shù) 尖子生必刷卷 - 2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第五章三角函數(shù)尖子生必刷卷一、單選題。本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。1．設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)不同的零點(diǎn)，至多有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①是奇函數(shù)；②是周期函數(shù)；③在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④3．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一個(gè)解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在中，已知，其中（其中），若為定值，則實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C． D．5．已知，，且，，則（）A． B． C． D．6．若不等式．對(duì)x∈恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)及直線對(duì)稱，且在不存在最值，則的值為（）A． B． C． D．8．已知，若在區(qū)間上單調(diào)時(shí)，的取值集合為，對(duì)不等式恒成立時(shí)，的取值集合為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項(xiàng)或以上符合題意。9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)是的對(duì)稱中心B．直線是的對(duì)稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)減D．的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象10．如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，.則下列說(shuō)法正確的有（）A．的最小正周期為12 B．C．的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知函數(shù)（其中，，），，恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在，使得是偶函數(shù) B．C．是奇數(shù) D．的最大值為312．已知集合，若對(duì)于，使得成立則稱集合是“互垂點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合．其中是“互垂點(diǎn)集”集合的為（）A． B． C． D．三、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對(duì)任意都有，若在上的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是_____．15．已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.16．已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則______.四、解答題。本大題共6小題，共70分，解答過(guò)程必修有必要的文字說(shuō)明，公式和解題過(guò)程。17．已知函數(shù)，．(1)若圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位，得到的圖象在上單調(diào)遞增，求的最大值；(2)若函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．18．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值；（2）求的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．19．已知函數(shù)在內(nèi)取得一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,且當(dāng)時(shí),有最大值3,當(dāng)時(shí),有最小值

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)是否存在實(shí)數(shù)m滿足若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由．20．函數(shù)在內(nèi)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式.（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（3）是否存在實(shí)數(shù)，滿足不等式？若存在，求出的范圍（或值）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．設(shè)函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）若的最小值為，求的最大值及此時(shí)的取值；（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，其中.已知在處取得最小值并且點(diǎn)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，試求的最小值.22．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）求函數(shù)的定義域，并求其奇偶性；（3）若存在，使得不等式能成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案1．A【解析】解：函數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)不同的零點(diǎn)，至多有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即在區(qū)間上至少有2個(gè)不同的根，至多有3個(gè)不同的根．，，當(dāng)，則，求得；當(dāng)，，方程在區(qū)間上有1個(gè)根，不滿足題意；當(dāng)，，求得；當(dāng)，則，方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的根，滿足條件，此時(shí)，，當(dāng)，，方程在區(qū)間上有5個(gè)不同的根，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上至少有5個(gè)不同的根，不滿足題意．綜上，可得，故選：A．2．A【解析】對(duì)于①中，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，所以是奇函數(shù)，所以①正確.對(duì)于②中，假設(shè)存在周期，則，，所以①，存在，使得，而，，，由于，故，所以所以，，可得，，，所以，矛盾，所以函數(shù)，沒(méi)有周期，所以②錯(cuò)誤.對(duì)于③中，函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為方程，可得或，即，所以在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，故③正確.對(duì)于④中，函數(shù)，若，則，，若，則，，所以，和，兩者不會(huì)同時(shí)成立，即和不可能同時(shí)成立，故的最大值不是，所以④錯(cuò)誤；則四個(gè)命題中正確的為①③；故選：A.3．D【解析】令，解得，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個(gè)解，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D.4．A【解析】由，可得，，因?yàn)?，得，即，又由（定值），即，即恒成立，可得，解得?故選：A．5．A【解析】且，，.又，，.當(dāng)時(shí)，，，，不合題意，舍去；當(dāng)，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.6．D【解析】由，則，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故選：D.7．C【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)及直線對(duì)稱.則.在不存在最值，則，故時(shí)滿足條件，，.，則.當(dāng)時(shí)滿足條件，故.故選：.8．A【解析】，可知函數(shù)周期，由題可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，故該區(qū)間長(zhǎng)度需小于等于半個(gè)周期，及，∴，對(duì)于不等式，；設(shè)，，；∴不等式等價(jià)于恒成立，及，對(duì)于，，∴，及集合，∴，“”是“”的充分非必要條件，故選：A9．CD【解析】由圖知：且，則，∴，可得，又過(guò)，∴，得，又，∴當(dāng)時(shí)，.綜上，.A：代入得：，故錯(cuò)誤；B：代入得：，故錯(cuò)誤；C：由，故在上單調(diào)遞減，則上遞減，而，故正確；D：，故正確；故選：CD10．ACD【解析】由題意可得：，，，，，，，，，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不對(duì)，，，解得，函數(shù)，可知正確.時(shí)，，可得：函數(shù)在單調(diào)遞增.綜上可得：ACD正確.故選：ACD11．BCD【解析】，，則，，故，，，，則，故，，，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)，故，故，即，，故，故，綜上所述：或，故CD正確；或，故或，，不可能為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故；當(dāng)時(shí)，，，故，綜上所述：，B正確；故選：BCD.12．BD【解析】由題意，對(duì)于，，，，使得成立即對(duì)于任意點(diǎn)，，在中存在另一個(gè)點(diǎn)，使得．中，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，不存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．所以所以不是“互垂點(diǎn)集”集合，的圖象中，將兩坐標(biāo)軸進(jìn)行任意旋轉(zhuǎn)，均與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，所以在中的任意點(diǎn)，，在中存在另一個(gè)點(diǎn)，使得．所以是“互垂點(diǎn)集”集合，中，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，不存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．所以不是“互垂點(diǎn)集”集合，的圖象中，將兩坐標(biāo)軸進(jìn)行任意旋轉(zhuǎn)，均與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，所以所以是“互垂點(diǎn)集”集合，故選：BD．13．【解析】解：，其中，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意，都有，所以的最大值為，所以，即，，所以，所以，因?yàn)?，所以，若在，上的值域?yàn)?，所以結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．14．【解析】．由，可得，解得，．因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以，且，即且，因?yàn)椋謩e取，1,2,3，，∴的取值范圍是，故答案為：．15．或【解析】解:令.則由可得則.要使其既有最小值又有最大值若最大值為則,解得若最大值為,則,解得.綜上所述:或.故答案為:或.16．【解析】對(duì)任意實(shí)數(shù),都有令則因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)所當(dāng)時(shí),函數(shù)值唯一,即代入可得,即化簡(jiǎn)可得,經(jīng)檢驗(yàn)可知為方程的解而為單調(diào)遞減函數(shù),為單調(diào)遞增函數(shù)所以兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),即只有一個(gè)根為所以而所以故答案為:17．(1)5π/6；(2)（2,3√2/2）．【解析】(1)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈玫降膱D象在上單調(diào)遞增，所以，解，所以的最大值為.(2)，令，因?yàn)?，所以，，所以，，令，顯然不是其方程的解，所以得，，畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如下圖，則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，而當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的只有一個(gè)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)沒(méi)有的值對(duì)應(yīng)，所以此時(shí)無(wú)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，而當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的有兩個(gè)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，，而此時(shí)對(duì)應(yīng)的只有兩個(gè)解，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，得或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的，，而當(dāng)對(duì)應(yīng)的時(shí)，對(duì)應(yīng)一個(gè)的值，而當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)的值，所以此時(shí)有三個(gè)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，而此時(shí)對(duì)應(yīng)的只有一個(gè)解，不滿足題意；故的取值范圍為.18．（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為；（2）的圖像的對(duì)稱軸為，要使在區(qū)間上單調(diào)，那么，或，即或，又，所以.19．（1）；（2）.【解析】(1)由題意可知:,,

,

則,

,

因?yàn)辄c(diǎn)在此函數(shù)圖象上,

,

,

;

(2),?,

?,

?,

而在上是增函數(shù)

,

,

且且,

,解得:

的取值范圍是,

解得:

的取值范圍是20．（1）；（2）.（3）存在，【解析】（1）由題意，可得，，所以，所以，所以.由點(diǎn)在函數(shù)圖象上，得，因?yàn)椋?，所?（2）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）由題意，實(shí)數(shù)滿足，解得.因?yàn)椋?，同理，由?）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，只需，即成立即可，所以存在，使成立.21．（1）；（2）最大值為，此時(shí)的取值為；（3）【解析】（1）因?yàn)?，是偶函?shù)，所以對(duì)一切恒成立，所以.（2）由（1）知，因?yàn)槠渥钚≈禐椋?，所以，?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；（3）由（2）知：，，，因?yàn)樵谔幦∽钚≈担尹c(diǎn)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,所以，所以，，所以，則，即，又因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，，，在處取得最大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，在取不到最小值，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，在處取得最小值，，的圖