量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式

量子力學(xué)的表象變換與矩陣形式5.1.1坐標(biāo)表象通過坐標(biāo)變換,以引進量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念.表象:量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象.x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面坐標(biāo)系x1和x2的基矢e1和e2，長度為1，彼此正交，即（1）平面上的任何一個矢量都可用它們來展開,（2）A1和A2表示矢量A在兩個分量坐標(biāo)上的投影。5.1量子態(tài)的不同表象，幺正變換第2頁,共98頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)另一個x’1x’2直角坐標(biāo)系，由原來的坐標(biāo)系順時針旋轉(zhuǎn)θ角,其基矢為e’1e’2,滿足（1’）在此坐標(biāo)中，矢量A表示成（2’）（3）對上式分別用e’1,e’2點乘（4）第3頁,共98頁，2024年2月25日，星期天寫成矩陣的形式（5）R（θ）稱為變換矩陣元，是兩個坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。當(dāng)R確定后，任何兩個坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。其轉(zhuǎn)置矩陣表示為（6）x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO第4頁,共98頁，2024年2月25日，星期天變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因為R＊=R，（7）第5頁,共98頁，2024年2月25日，星期天5.1.2RepresentationTheory(表象理論)

一個粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)ψ(r,t)來描述，將ψ(r,t)稱為坐標(biāo)表象。下面將討論用動量為變量描述波函數(shù)。將ψ(r,t)還可表示成在整個動量空間積分。c(p,t)為展開系數(shù)，ψp(r)是動量的本征函數(shù)。（11）（12）

第6頁,共98頁，2024年2月25日，星期天顯然，c(p,t)描述的粒子態(tài)與ψ(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一樣。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子態(tài)同一個狀態(tài)。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動量表象。

如果已知ψ(r,t)就可以通過上式得到c(p,t)，反過來也成立。（13）（14）第7頁,共98頁，2024年2月25日，星期天那么在動量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測量的平均值類似可表示出。第8頁,共98頁，2024年2月25日，星期天如果ψ(x,t)描述的狀態(tài)是動量p’的自由粒子的狀態(tài)在動量表象中，具有確定動量p’

的粒子波函數(shù)是函數(shù)。第9頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：一維粒子運動的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對波函數(shù)進行歸一化求1）粒子動量的幾率分布；2）粒子的平均動量第10頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共98頁，2024年2月25日，星期天動量的幾率分布為動量的平均值為第12頁,共98頁，2024年2月25日，星期天

考慮任意力學(xué)量Q本征值為

1,

2,…,

n…,對應(yīng)的正交本征函數(shù)u1(x),u

2(x),…u

n(x)

…,則任意波函數(shù)（x）按Q的本征函數(shù)展開為下標(biāo)n表示能級，上式兩邊同乘以u*m(x),并積分粒子態(tài)完全由an完全集確定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象第13頁,共98頁，2024年2月25日，星期天因為所以是對應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率第14頁,共98頁，2024年2月25日，星期天可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因為波函數(shù)是歸一化的，表示成第15頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0:n=1:因為系統(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為第16頁,共98頁，2024年2月25日，星期天直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個分量（基矢的系數(shù)）決定。在量子力學(xué)中，選定一個F表象，將Q的本征函數(shù)u1(x),u2(x),…un(x),…看作一組基矢，有無限多個。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系數(shù)決定。所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.常用的表象有坐標(biāo)表象、動量表象、能量表象和角動量表象總結(jié)第17頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題2質(zhì)量為m的粒子在均勻力場f(x)=-F(F>0)中運動，運動范圍限制在x0,試在動量表象中求解束縛態(tài)能級和本征函數(shù)。解：勢能為V（x）＝Fx，總能量為在動量表象中，x的算符表示為第18頁,共98頁，2024年2月25日，星期天定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級為第19頁,共98頁，2024年2月25日，星期天習(xí)題4.1求在動量表象中角動量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元解：Lx在動量表象中的矩陣元第一項第20頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第二項也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元第21頁,共98頁，2024年2月25日，星期天4.2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系：在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，…Qn…,對應(yīng)的本征函數(shù)分別為u1(x),u2(x),…un(x),….將(x,t)和(x,t)分別在Q表項中由Q的本征函數(shù)展開代入上式，第22頁,共98頁，2024年2月25日，星期天兩邊同乘以u*n(x),并在整個空間積分利用本征函數(shù)un(x)的正交性第23頁,共98頁，2024年2月25日，星期天引進記號這就是在Q表項中的表述方式。表示成矩陣的形式：第24頁,共98頁，2024年2月25日，星期天（23）矩陣Fnm的共軛矩陣表示為因為量子力學(xué)中的算符都是厄米算符，即將滿足該式的矩陣稱為厄米矩陣第25頁,共98頁，2024年2月25日，星期天若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來代替，得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣Fnm的轉(zhuǎn)置矩陣為根據(jù)厄米矩陣的定義所以例如例如第26頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題（習(xí)題4.2）求一維無限深勢阱中粒子的坐標(biāo)和動量在能量表象中的矩陣元能量表象第27頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共98頁，2024年2月25日，星期天Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐標(biāo)空間中可表示為動量p在動量空間中表示為結(jié)論：算符在自身的表象中是一個對角矩陣第29頁,共98頁，2024年2月25日，星期天一維無限深勢阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量的矩陣元第30頁,共98頁，2024年2月25日，星期天

兩個矩陣的和為兩個矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和

Cmn=Amn＋Bmn（42）兩矩陣之積矩陣Fpp’是動量空間。矩陣F＝（Fmnδmn）稱為對角矩陣（diagonalmatrix）,當(dāng)Fmn=1,稱為單位矩陣（unitmatrix）,表示為I＝(δmn).在動量空間中，算符F的矩陣元第31頁,共98頁，2024年2月25日，星期天4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述1.平均值公式第32頁,共98頁，2024年2月25日，星期天寫成矩陣形式（51）簡寫為第33頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題求一維無限深勢阱中，當(dāng)n=1和n=2時粒子坐標(biāo)的平均值解：第34頁,共98頁，2024年2月25日，星期天2.TheEigenvalueProblem

在量子力學(xué)中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。首先，算符F的本征函數(shù)滿足（54）（55）第35頁,共98頁，2024年2月25日，星期天有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個線性齊次代數(shù)方程組這是一個久期（secular）方程。將有

1，2….n

n個解,就是F的本征值。第36頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：求算符x在下面波函數(shù)中的本征值,[-a,a]區(qū)間解：則第37頁,共98頁，2024年2月25日，星期天該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個本征值分別為第38頁,共98頁，2024年2月25日，星期天3.矩陣形式的薛定諤方程TheSchr?dingerEquationinMatrixForm薛定諤方程（77）不顯含時間的波函數(shù)的能量表象（78）波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開（79）代入薛定諤方程（80）第39頁,共98頁，2024年2月25日，星期天兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。第40頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總能量為解法一：在動量表象中，x的算符表示為：則H算符表示為定態(tài)的薛定諤方程寫為第41頁,共98頁，2024年2月25日，星期天c（p）是動量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出c(p)。解法二第42頁,共98頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)n＝0時，第43頁,共98頁，2024年2月25日，星期天討論從一個表象變換到另一個表象的一般情況。設(shè)算符A的正交歸一的本征函數(shù)ψ1(r)，ψ2(r)，…ψn(r);設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)

1(r)，

2(r)，…

n(r);（64）（66）1.UnitaryTransformation（幺正變換）（65）算符F在A表象中（67）算符F在B表象中第44頁,共98頁，2024年2月25日，星期天確定Fmn與F

之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將算符B的本征函數(shù)(x)用算符A的本征函數(shù)

n(x)展開。兩邊同乘以并積分得（69）（68）同理第45頁,共98頁，2024年2月25日，星期天（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)第46頁,共98頁，2024年2月25日，星期天得到算符在兩個表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變換到B表象的變換公式。（72）第47頁,共98頁，2024年2月25日，星期天因為ψ和φ都是正交歸一的波函數(shù)，（68）第48頁,共98頁，2024年2月25日，星期天S與S+的積等于單位矩陣。即SS+＝I,S+＝S-1（74）

將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣,由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.物理意義:在不同的表象中幾率是守恒的。如果一個粒子在態(tài)φn中的幾率為1，在態(tài)ψn中的幾率為

Sμn

2,那么,

Sμ1

2,Sμ2

2,…,Sμn

2,…給出粒子在態(tài)ψn中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。（75）第49頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：求轉(zhuǎn)動矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.解：設(shè)在A表象中B表象中特征矢為本征值為

代入原方程，求解b1、b2

第50頁,共98頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)＝＝變換矩陣第51頁,共98頁，2024年2月25日，星期天下面討論態(tài)矢量u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S+a第52頁,共98頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在A表項中的本征值方程為a為態(tài)矢將F和a從A表象變換到B表象在B表象中因為b=S+a＝S－1a第53頁,共98頁，2024年2月25日，星期天2）幺正變換下，矩陣的跡（trace)不變。用TrF表示，定義為矩陣的對角單元之和。那么TrFA=TrFB,矩陣的積不依賴于特別的表象。第54頁,共98頁，2024年2月25日，星期天5.4狄喇克符號在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運動規(guī)律與所選取的坐標(biāo)是無關(guān)的，坐標(biāo)是為了處理問題方便才引進的。同樣，在量子力學(xué)中，粒子的運動規(guī)律與選取的表象無關(guān)，表象的選取是為了處理問題方便。在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)系。這樣一套符號稱為狄喇克符號。第55頁,共98頁，2024年2月25日，星期天1.右矢

(ket)>和左矢（bra）<

左矢<

表示右矢的共軛，例如ψ

＊，表示為<ψ

，是ψ>的共軛態(tài)矢。<x′

是x′>的共軛態(tài)矢。

量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個Hilbert空間，Hilbert是一個以復(fù)量為基的一個有限的或無限的、完全的矢量空間。<ψ

φ>＊＝<φ

ψ>2.標(biāo)積在Hilbert空間中。一個標(biāo)積(scalarproduct)定義為一對函數(shù)ψ和φ的乘積。標(biāo)積記為<ψφ>

一個量子態(tài)用右矢>來表示。例如用

ψ>表示波函數(shù)ψ描述的狀態(tài)。第56頁,共98頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)積運算規(guī)則：若<ψφ>＝0，則稱<ψ

與φ>正交。若<ψ

ψ>＝1，則稱ψ>為歸一化態(tài)矢。表示態(tài)矢是正交歸一的完備系第57頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：軌道角動量l=rp，證明在lz的任何一個本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零證明：設(shè)

m為lz=的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為m

因為對易關(guān)系第58頁,共98頁，2024年2月25日，星期天類似地，利用對易關(guān)系可以證明第59頁,共98頁，2024年2月25日，星期天|A>在Q表象中的分量為a1(t),a2(t),..,<B|在Q表象中的分量為b1(t)＊,b2(t)＊,..,顯然，若算符F的本征組態(tài)矢是正交歸一的，本征值分別為Fi,Fj,…若算符F的本征態(tài)矢是連續(xù)譜，2.態(tài)矢在具體表象中的狄喇克表示方法第60頁,共98頁，2024年2月25日，星期天坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動量p的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，波函數(shù)的歸一化性表示為因為波函數(shù)（x,t）可以用一組基矢展開第61頁,共98頁，2024年2月25日，星期天因為這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)為第62頁,共98頁，2024年2月25日，星期天將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)換為積分第63頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：兩個態(tài)矢|A>和|B>在同一個表象Q中的標(biāo)記第64頁,共98頁，2024年2月25日，星期天3.算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將態(tài)矢A、B分別在Q表象中展開用|m>左乘上式，再利用正交性第65頁,共98頁，2024年2月25日，星期天則稱為算符F在Q表象中的矩陣元第66頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題薛定諤方程表示為兩邊左乘以<k|,第67頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題：對于（l2,lz）的共同本征態(tài)Ylm(,),計算lx2ly2的平均值，對易關(guān)系解：第68頁,共98頁，2024年2月25日，星期天由于第69頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題設(shè)算符F和G為任意算符，且證明，對于F的本征態(tài)，證明設(shè)為F的本征態(tài)，本征值為，則有兩邊取復(fù)共軛第70頁,共98頁，2024年2月25日，星期天5.5諧振子的升降算符一維諧振子的歸一化本征函數(shù)為（43）（44）H多項式有如下關(guān)系存在第71頁,共98頁，2024年2月25日，星期天（46）（45）（47）得到減去（44）式（44）（44）與（47）式相加減，得第72頁,共98頁，2024年2月25日，星期天（48）做如下替代（49）(48)式變?yōu)椋?0）將a稱為降冪算符(loweringoperator),將a+稱為升冪算符.第73頁,共98頁，2024年2月25日，星期天由于本征值n是諧振子波函數(shù)的指數(shù)因子,因而我們定義一個數(shù)算符N(numberoperator)（52）的本征值是n,本征函數(shù)是ψn,

（51）第74頁,共98頁，2024年2月25日，星期天2.PropertiesoftheOperatorsaanda+算符a和a+相互共軛的.（51）

a和a+是實數(shù),存在a=a*,a+=(a+)*（52）（53）用狄喇克算符表示為（54）第75頁,共98頁，2024年2月25日，星期天通過進行a

+ψn運算,我們可以計算從基態(tài)開始的所有本征函數(shù)（56）對n＝0,（57）第76頁,共98頁，2024年2月25日，星期天兩式相加、減第77頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第78頁,共98頁，2024年2月25日，星期天第79頁,共98頁，2024年2月25日，星期天由此可計算出能量本征值第80頁,共98頁，2024年2月25日，星期天例題對于諧振子的能量本征態(tài)|n>，計算x,p，x2，p2的平均值及x、p。解：因為利用正交性，同樣得到第81頁,共98頁，2024年2月25日，星期天利用正交性，得到第82頁,共98頁，2024年2月25日，星期天對于基態(tài)，n=0，剛好是測不準(zhǔn)關(guān)系的下限第83頁,共98頁，2024年2月25日，星期天4.Interpretationofaanda+我們知道諧振子的能量是等間隔的,ψn所具有的能量大于n?ω,將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons),那么將ψn稱為n聲子態(tài)(n-phononstate),中表示聲子數(shù),零聲子態(tài)(zero-phononstate)，稱為真空.（66）解釋:如果a

作用于波函數(shù),則湮滅(annihilate)了一個聲子,因而稱為a湮滅算符;a+作用于函數(shù),則產(chǎn)生一個聲子,a+產(chǎn)生算符.第84頁,共98頁，2024年2月25日，星期天由于稱為聲子數(shù)算符(phononnumberoperator),（67）諧振子波場中的量子正是聲子.如果與光子相類比的話,就更清楚了.a|3>Annihilationofaphonona+2|1>Creationoftwoohonons諧振子的能級和聲子的湮滅、產(chǎn)生示意圖En/?ω7/25/23/21/2x第85頁,共98頁，2024年2月25日，星期天計算［a,a+］,［a,a+a］,［a+,a+a］第86頁,共98頁，2024年2月25日，星期天5.6力學(xué)量隨時間的演化厄米算符

L其平均值為（1）

因為波函數(shù)和算符都是時間相關(guān)的，則平均值也是時間相關(guān)的。（2）第一項表示算符L的瞬時偏導(dǎo)數(shù)的平均值，第二項積分則利用（3）應(yīng)用算符H的厄密性得到H

=E

第87頁,共98頁，2024年2月25日，星期天（4）簡化為（5）結(jié)論：平均值隨時間的變化就等于的平均值。若L不顯含時間，即（6）如果則第88頁,共98頁，2024年2月25日，星期天6.2Ehrenfest’sTheorem考慮坐標(biāo)、動量的時間導(dǎo)數(shù)都不顯含時間，則下式成立對其它分量，有類似的成立。為了考察它們的對易性，我們考慮粒子在一個勢壘中，其哈密頓量為第89頁,共98頁，2024年2月25日，星期天位置和動量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)與動量之間的關(guān)系一致。第90頁,共98頁，2024年2月25日，星期天形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。對三維的位置和動量，有這就是Ehrenfest’stheorem

第91頁,共98頁，2024年2月25日，星期天6.3LawsofConservation則該算符對時間的導(dǎo)數(shù)為零，其運動可視為常數(shù),即勻速運動。如果一個算符本身不顯含時間，即它又與H對易，算符H是總能量算符，顯然H與它本身對易。即使它顯含時間,其運動仍為常量，這就是能量守恒定律。勻速運動的算符對我們量子力學(xué)的進一步學(xué)習(xí)非常重要。1.守恒量第92頁,共98頁，2024年2月25日，星期天動量算符P不顯含時間，如果V／x=0,則稱為動量守恒定律.對中心力,勢能只是半徑r的函數(shù),角動量算符與勢能V(r)對易。整個哈密頓量為因此有角動量守恒定律成立