華師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)全冊(cè)教案

基礎(chǔ)義務(wù)教育資料

第1課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用&(a>0)的意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如夜(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用(a>0)"解決具體問題.

教學(xué)方法：講解

教學(xué)過程

一、回顧

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，、石表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，、后等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，人沒有意義.

概括

(a>0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，、石(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平

方等于a.即有：(1)及20(a1);(2)(右尸=a(a>0).

形如石(a20)的式子叫做二次根式.

注意在二次根式G中，字母a必須滿足a>0,即被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

例x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式H萬(wàn)有意義？

思考：行等于什么？

概括:當(dāng)時(shí)，必=。；當(dāng)a<0時(shí)，籽=—a.

這是二次根式的又一重要性質(zhì).如果二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)完全平方，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì),

可以將它"開方”出來(lái)，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.例如：

=J（2X）2=2X（X2。）；7Z=yl（x2）2=x2.

練習(xí)

1.x取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義.

（］）J3-4x.（2）J3x_2.（3）J0-3）.（4）J3x-4+-x/4—3x

拓展

例當(dāng)x是多少時(shí)，j2x+3+一］在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

x+1

例⑴已知y=萬(wàn)不++5,求二的值.（答案:2）

y

（2）^V^+1+揚(yáng)=i=0,求a2004+b2004的值.（答案:不）

歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

布置作業(yè)教材P41.2

教學(xué)后記：

第2課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

1.(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(Va)2=a(a>0).

教學(xué)目標(biāo)

理解&(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(&)2=a(a20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體

數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(&)2=a(a20);最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)健

1.重點(diǎn)：后(a20)是T非負(fù)數(shù)；(&)2=a()及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；?

教學(xué)方法用探究的方法導(dǎo)出(后)2=a(a“).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動(dòng))口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)時(shí)，瓜叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，&有意義嗎？[老師點(diǎn)評(píng)(略).]

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

(a>0)是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：|&(aNO)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

(V?)2=;(V2)2=；(?)2=；(73)2=；

(J)2=一；(島2=-------；(C)2=-------.

總結(jié)：|(6)2=a(a20)

例1計(jì)算

1.(Jf)22.(3石)23.(Jf)24.(2)2

V2v62

解：略

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值：

(南2(J|)2(，)2(Vo)2(41)2(3后_(5后

V34v8

四、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.(4x+l)2(x>0)2.(萬(wàn)尸3.(，/+2a+l產(chǎn)4.(“x2-E9)

2

解：略

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4-4⑶2x2-3

五、歸納小結(jié)

1.AA?(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(&)2=a(a");反之:a=()2(a>0).

六、布置作業(yè)

1.教材P4.3.4

教學(xué)后記：

第3課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容V?=a(a>0)

教學(xué)目標(biāo)理解V7=a(a>0)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究V7=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：77=a(a“).2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a>0時(shí)，C=a才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式;

2.&(a“)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

3.(Va)2=a(a>0).

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，"7=a是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動(dòng))填空：

V?=；Too?=；^7=____；

符二——,?病=——；后二一?

(老師點(diǎn)評(píng))：一般地：7?=a(a>0)

例1化簡(jiǎn)

(1)79(2)7^7(3)725(4)7^37

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材P4.3.4.

四、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，"=—;當(dāng)a<0時(shí)，J7=并根據(jù)這T4質(zhì)

回答下列問題.

(1)若后=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

解：略

例3當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)7(X-2)2-7(1-2x)2.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：V7=a(a20)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，"=-a的應(yīng)用拓

展.

六、布置作業(yè)

1,先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl-2a+/的值，甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l-?)2=a+(1-a)=1;

乙的解答為：原式=a+4-)2=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若11995-a|+Ja-2000=a,求a-19952的值.

(提示：先由a-2000>0,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值)

3.若-34X42時(shí)，試化簡(jiǎn)|x-2|+J(x+3>+V/-10X+25。

教學(xué)后記：

第4課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

y/a-y/b=4ab(a>0,b>0),4ab=4a-\[b(a>0,b>0)及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

理解&?揚(yáng)=(a>o,b>0),而=&?赤(a>0,b>0)，并利用它們進(jìn)

行計(jì)算和化簡(jiǎn)

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：=y/ab(a>0,b>0),4ab=4a->/b(a>0,b>0)及它們的運(yùn)用.

難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出石?癡=/"(a1,b").

關(guān)鍵：要講清4ab(a<O,b<O)=北，如J(-2)xT=J-(-2)x—(―3)或

J(-2)x(-3)=V2X3=5/2x6.

教學(xué)方法探究練習(xí)

教學(xué)過程

、

1.(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.填空并比較左右兩邊式子的大小

(1)V4x79=74^9=;

(2)716x725=716x25=.

(3)x/100x736=,J1OO<3=.

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)72x73瓜,(2)72x75710,

(3)75x76730,(4)74x75而，

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

\[a?4b=\[ab.(a>0,b>0)

反過來(lái)：[=&?血(a20,bN0)

1.計(jì)算

(1)x/5xV7(2)區(qū)x也(3)79x^7(4)/±x76

V3V5

2化簡(jiǎn)

(1),9x16(2)716x81(3)781x100

(4)s]9x2y2(5)V54

二、質(zhì)疑：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：

(1)"(T)x(-9)=Cx。

(2)V25=4712=873

四、鞏固練習(xí)（1）計(jì)算（學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng)）

①716x78@3V6x2V10③氐.

（2）化簡(jiǎn)：同；V24;V54;Jl2a2必

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課應(yīng)掌握:(1)y/a-y/b=>Jab=(a>0,b>0),\[ab=4a-\[b(a>0,b>

0)及其運(yùn)用.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)略

教后后記：

第5課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

正=fE(a>0,b>0),反過來(lái)回=正(a"，b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和

?JbVbVbJb

化簡(jiǎn).

教學(xué)目標(biāo)

理解正=叵(，b>0)和叵=①(a1,b>0)及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

4bNb\bTfb

利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆

向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：理解正=回(a1,b>0),叵=四(a1,b>0)及利用它們進(jìn)行

計(jì)算和化簡(jiǎn).

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)方法探究、練習(xí)

教學(xué)過程

1.(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.填空并比較每一組的大小

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

探究：二次根式的除法規(guī)定:

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：

[a_4a

反過來(lái)，(a>0,b>0)

4廠存

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來(lái)計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目.

2.化簡(jiǎn)：

三、探究：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下!

四、應(yīng)用拓展

已知但三=巫三，且X為偶數(shù)，求（1+X）片一5…的值.

VX—6y/x—6VX2—1

分析:式子Jf4

,只有,b>0時(shí)才能成立.

因此得到9-x>0且x-6>0,即6<x<9,又因?yàn)閤為偶數(shù),所以x=8.

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課要掌握正=叵（a"，b>0）和叵=①（a1，b>0）及其運(yùn)用.

■JbVbVby/b

六、作業(yè)設(shè)計(jì)略

教后反思：

第6課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)

理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

通過計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來(lái)提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)最后結(jié)果

是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的要求.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)方法置疑探究

教學(xué)過程

一、1.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書）

計(jì)算（1）正，（2）372,（3）次（老師點(diǎn)評(píng)略）

V5V27sT2a

2.觀察上面計(jì)算題的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有什么特點(diǎn)？（有如

下兩個(gè)特點(diǎn)：1.被開方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.）

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

1.把下面的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式:

(1)3梧；(2)AP7+^7；(3)府F

2.如圖，在RtAABC中，zC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm，求AB的

長(zhǎng).AB=+6?=J(|)2+36==今=6.5(cm)

因此AB的長(zhǎng)為6.5cm.

三、總結(jié)：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式：

1_lx(Gl)層1_6

V2+1-(72+1)(72-1)-2-1-，

1_1x(73-V2)_>/3-V2_rr￡

及至二e+0)(百一揚(yáng)"Th一一7'

同理可得：?=V4-V3，……

V4+V3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

(J+]+]+……])(V2002+1)的值.

A/2+I>/3+>/26+6>/2002+—2001

五、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)略

教后反思：

第7課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)理解和掌握二次根式加減的方法.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)方法探究練習(xí)

教學(xué)過程

一、1、(學(xué)生活動(dòng))：計(jì)算下列各式.

(1)272+372(2)2&-3&+5次

(3)幣+2幣+3際i(4)3>/3-2^+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2&與強(qiáng)表面上看是不相同的，

但它們可以合并嗎？可以的.

(板書)3行+次=3忘+2夜=5血

373+727=373+3^=673

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，?再將被開方數(shù)相同的

二次根式進(jìn)行合并.

1.計(jì)算

(1)V8+718(2)V16X+V64X

2.計(jì)算

（1）3A/48-9^L+3V12（2）（例+亞）+（g-石）

三、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求（2》反+y2/Z）-（x2/1-5x/V）的值.

34尸7xVx

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)

二次根式進(jìn)行合并.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)略

教后反思：

第8課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).

教學(xué)方法探究、練習(xí)

教學(xué)過程

一、上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步,

先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我

們研究三道題以做鞏固.

1.如圖所示的RtMBC中，NB=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度

向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問：幾

秒后WBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？(結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示)

C

ApB

解：設(shè)x后WBQ的面積為35平方厘米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：-x-2x=35x2=35x=V35

2

所以屈秒后APBQ的面積為35平方厘米.

PQ=+BQ2=Vx2+4x2=\[5x^=J5x35=5幣

答：V35秒后SBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5萬(wàn)厘米.)

2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材(精確至U0.1m)?

解：由勾股定理，得AB=^Alf+BD2=A/42+22=向=2后

BC=^B^+CD2=V22+l2=下所需鋼材長(zhǎng)度為

AB+BC+AC+BD=2岔+石+5+2=3石+7*3x2.24+7813.7(m)

答：要焊接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.)

三、同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

若最簡(jiǎn)根式W4a+3b與根式〈加"+6b2是同類二次根式，求a、b的值.(?

同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式）

解：首先把根式h曲-46H化為最簡(jiǎn)二次根式:

，-b'+61，-~\jb~（J2.ci-1+6）=|b|-J2a—Z?+6

由題意彳導(dǎo)「4。+3"=2“-6+6[2?+4/7=6,-.a=l,b=l

[3?-Z?=2[3?-Z?=2

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡(jiǎn)二次根式的合并原理解決實(shí)際問題.

六、作業(yè)略

教后反思：

第9課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的乘除

教學(xué)目標(biāo)

含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；

難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算.

教學(xué)方法置疑探究練習(xí)

教學(xué)過程

1.（學(xué)生活動(dòng)）：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題:

(1)(2x+y)zx(2)(2x2y+3xy2)+xy

(3)(2x+3y)(2x-3y)(4)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn).它主要有(1)?單項(xiàng)式x單項(xiàng)式；

(2)單項(xiàng)式x多項(xiàng)式；(3)多項(xiàng)式+單項(xiàng)式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運(yùn)

用.

思考：如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？?(仍

成立.)

2.計(jì)算：

(1)(76+78)x73(2)(4卡-3逝)+20

3.計(jì)算：

(1)(V5+6)(3-V5)(2)(710+>/7)(V10-V7)

總結(jié)：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立.

五、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算.

六、作業(yè)略

教后記：

第10課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程

教學(xué)目標(biāo):

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式ax:+bx+c^Q

("0)

2、在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過

程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí)。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

一元二次方程的意義及一般形式，會(huì)正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)"及"系數(shù)"。

教學(xué)方法：講解練習(xí)

教學(xué)過程：

一、導(dǎo)入：

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開辟面積為900平方米的一

塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？

分析：設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整理可得x2+10x-900=0.(1)

2.問題2

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬(wàn)冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬(wàn)冊(cè).求這兩年的年平均增

長(zhǎng)率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬(wàn)冊(cè)，則今年年底的

圖書數(shù)是5(1+x)萬(wàn)冊(cè)；同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的(1+x)倍，即5(1

+x)(1+x)=5(1+x)2萬(wàn)冊(cè).可列得方程

5(1+x)2=7.2,

整理可得5x2+10x-2.2=0.(2)

3.思考討論：?jiǎn)栴}1和問題2分別歸結(jié)為解方程(1)和(2).顯然，這兩個(gè)方程都不是

一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

二、一元二次方程的概念

上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的方程叫做一

元二次方程).通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑?/p>

ax2+bx+c=0(a、b、c是已知數(shù)，a/0)。其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；公

叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，。叫做常數(shù)項(xiàng)。.

三、例題講解與練習(xí)鞏固

1?例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

X_21_2

-71=X2A/C\2

(1)3x+2=5x-3(2)%2=4(3)x+1(4)x—4=(x+2)-

2?例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

1)6丁=y2)(x-2)(x+3)=83)U+3)(3^-4)=(x+2)2

2

說明：一元二次方程的一般形式ax+bx+c=O(?^o)具有兩個(gè)特征：一是方程的

右邊為0；二是左邊的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識(shí)到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、

一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的。

3.例3方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條

件下此方程為一元一次方程？

本題先由同學(xué)討論，再由教師歸納。

解：當(dāng)。聲2時(shí)是一元二次方程；當(dāng)。=2,匕H0時(shí)是一元一次方程；

4.例4已知關(guān)于x的一元二次方程(m-l)x2+3x-5m+4=0有一根為2,求m。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習(xí)一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)

項(xiàng)

2D=2—3X2X(X-1)=3(X-5)-4Qy-1)一一(y+1)-=(y+-2)

練習(xí)二關(guān)于*的方程(m-3)，+〃x+加=0,在什么條件下是一元二次方程？在什么

條件下是一元一次方程？

本課小結(jié)：

1、只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為ad+W+c=°(。#0),一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是

根據(jù)一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的。

布置作業(yè)：課本第27頁(yè)習(xí)題1、2、3

教學(xué)后記：

第11課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的解法(一)

教學(xué)目標(biāo)：

二

1、會(huì)用直接開平方法解形如"(X—8(a^0,ab>0)的方程；

2、靈活應(yīng)用因式分解法解一元二次方程。

3、使學(xué)生了解轉(zhuǎn)化的思想在解方程中的應(yīng)用，滲透換遠(yuǎn)方法。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程，理解一元二次方程無(wú)實(shí)根的

解題過程。

教學(xué)方法：置疑、講解、練習(xí)

教學(xué)過程：

問：怎樣解方程(x+l)-=256的？

讓學(xué)生說出作業(yè)中的解法，教師板書。

解：1、直接開平方，得x+l=±16

所以原方程的解是xl=15,x2=-17

2、原方程可變形為

(X+1)2-256=0

方程左邊分解因式，得

(x+1+16)(x+1-16)=0

即可(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0,x-15=0

原方程的蟹xl=15,x2=-17

二、例題講解與練習(xí)鞏固

1、例1解下列方程

(1)(x+l)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0.

分析兩個(gè)方程都可以轉(zhuǎn)化為“熾一人尸=〃(a=0,ab20)

的形式，從而用直接開平方法求解.

解：(略)

2、說明：(1)這時(shí)，只要把(、+0看作一個(gè)整體,就可以轉(zhuǎn)化為X：=b(%o)型的方

法去解決，這里體現(xiàn)了整體思想。

3、練習(xí)解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0;(2)(x-1)2-18=0;

(3)(l-3x)2=l;(4)(2x+3)2-25=0.

三、讀一讀

本課小結(jié)：

1、對(duì)于形如“（》一幻2=b（a=o,ab>0）的方程，只要把“一口看作一個(gè)整體，就可轉(zhuǎn)

化為V="（n"）的形式用直接開平方法解。

2、當(dāng)方程出現(xiàn)相同因式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）時(shí)，切不可約去相同因式，而應(yīng)用因式分解法

解。

布置作業(yè)：課本第31頁(yè)習(xí)題1（5、6）、習(xí)題2（1、2）

教后記：

第12課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的解法（二）

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

2、使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應(yīng)用過程中體會(huì)"轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

使學(xué)生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程轉(zhuǎn)化為@+PY=q

教學(xué)方法：設(shè)疑、講解、練習(xí)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問

解下列方程，并說明解法的依據(jù)：

(1)3-2》2=1(2)(x+iy-6=0(3)(x-2)2—1=0

通過復(fù)習(xí)提問，指出這三個(gè)方程都可以轉(zhuǎn)化為以下兩個(gè)類型：

X2=〃(〃20)和(x-a)2=/?(/?>0)

根據(jù)平方根的意義，均可用〃直接開平方法〃來(lái)解，如果b<0,方程就沒有實(shí)數(shù)解。

如(X-1)”

請(qǐng)說出完全平方公式。

(x+a)~=x2+2OT+Q2

(x-6f)2=x2-2ax-^-a2

o

二、引入新課

我們知道，形如--A=°的方程，可變形為一=A(A>0),再根據(jù)平方根的意義，

用直接開平方法求解.那么，我們能否將形如％?+灰+。=°的一類方程，化為上述形式求

解呢？這正是我們這節(jié)課要解決的問題.

三、探索：

1、例L解下列方程：

f+2x=5；(2)f-4x+3=0.

思考

能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化為

()=a的形式，應(yīng)用直接開方法求解？

2

解(1)原方程化為x+2x+l=6,(方程兩邊同時(shí)加上1)

(2)原方程化為％-4x+4=-3+4（方程兩邊同時(shí)加上4）

三、歸納

上面，我們把方程f-4x+3=0變形為（"-2）=i,它的左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的完全

平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接開平方的方法求解.這種解一元二次方程

的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程兩邊同時(shí)加上了一個(gè)數(shù)后，左邊可以用完全平方公式從而轉(zhuǎn)化為用直接

開平方法求解。那么，在方程兩邊同時(shí)加上的這個(gè)數(shù)有什么規(guī)律呢？

四、試一試：對(duì)下列各式進(jìn)行配方：

x2+8%=(%+孑.x2-10x=(x+)2

例2、用配方法解下列方程：

(1)-6x-7=0;(2)?+3x+1=0.

五、作業(yè)：

1、填空：

x?+6x+()=(『

(1)(2)丁-8x+()=(x-/

(3)/+x+()=(x+)2;(4)4》2_6x+()=4(x-)2

2用配方法解方程：

(1)+8x-2=0(2)爐-5x-6=0.

(3)f+7=-6x

教后記：

第13課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的解法（三）

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

2、使學(xué)生掌握配方法的推導(dǎo)過程，熟練地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應(yīng)用過程中體會(huì)"轉(zhuǎn)化”的思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

使學(xué)生掌握配方法解一元二次方程。

把一元二次方程轉(zhuǎn)化為a+=q

教學(xué)方法：設(shè)疑、講解、練習(xí)

教學(xué)過程：一、練習(xí)

試一試：對(duì)下列各式進(jìn)行配方：

x2+8x_____=(x+____y.x2-io%——=(x+_____)2

i

-5x+x2—9x+=(x-_____)2

=(x-1.1

23

X——x+_=(x___)2

.x2+hx+______=(x+_____)2

2f

二、試一試

用配方法解方程x2+px+q=0(p2-4q>0).

先由學(xué)生討論探索，教師再板書講解。

解：移項(xiàng)，得x2+px=-q,

P_P_P_

配方，得x2+2x-2+(2)2=(2)2,q(

P_-4q

即(x+2)2=4.

因?yàn)閜2-4q>0時(shí),直接開平方，得

P_J.2—4q

x+2=±2.

￡J/-4q

所以x=-2±2,

一〃±J/一句

即x=2

思考：這里為什么要規(guī)定p2-4q>0?

七、討論

1、如何用配方法解下列方程？

4x2.I2x-1=0;

請(qǐng)你和同學(xué)討論一下：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，如何應(yīng)用配方法？

2、關(guān)鍵是把當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程。

先由學(xué)生討論探索，再教師板書講解。

解：(1)將方程兩邊同時(shí)除以4，得X2-3X-y=0

4

移項(xiàng)，得x2-3x=y

4

313

配方，得X2.3x+(1)2=-+(1)2

35

即(X-y)2=-

直接開平方，得x一：=±4匹

22

MI3上V10

所以x=-±-----

22

3+而3-回

所以xi=2,X2=2

3,練習(xí)：用配方法解方程：

（i）2x2-7x-2=0（2）3x2+2x-3=0.

（3）2x2-4%+5=0

本課小結(jié)：讓學(xué)生反思本節(jié)課的解題過程，歸納小結(jié)出配方法解一元二次方程的步驟：1、

把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，用二次項(xiàng)系數(shù)除方程的兩邊使新方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1；2、在方

程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；

如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，用直接開平方法解之，如果右邊是個(gè)負(fù)數(shù)，則指出原方程

無(wú)實(shí)根。

布置作業(yè)：P31頁(yè)習(xí)題2.（3）、（4）、（5）、（6）

教后記：

第14課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程的解法（四）

教學(xué)目標(biāo)：

1、熟練地應(yīng)用求根公式解一元二次方程。

2、使學(xué)生經(jīng)歷探索求根公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力。

3、在探索和應(yīng)用求根公式中，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特殊與一般的關(guān)系，滲透辯證唯物廣義觀

點(diǎn)。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

1、難點(diǎn)：掌握一元二次方程的求根公式，并應(yīng)用它熟練地解一元二次方程;

2、重點(diǎn)：對(duì)文字系數(shù)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方

教學(xué)方法：推導(dǎo)、練習(xí)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)舊知，提出問題

1、用配方法解下列方程：

,3X2-12X+-=0

（1）+15=1Ox⑵3

2、用配方解一元二次方程的步驟是什么？

3、用直接開平方法和配方法解一元二次方程，計(jì)算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，

迅速求得一元二次方程的實(shí)數(shù)根呢？

二、探索

問題1:能否用配方法把一般形式的一元二次方程"2+加+°=°（。工0）轉(zhuǎn)化為

.h.->b~-4ac

a4a呢？

bc_

X2d---XH---0

因?yàn)??！?方程兩邊都除以。，得。。

b

X2—x=一

移項(xiàng)，得aa

2cb,b，b、2c

x+2x—+(—)=(—)----

配方，得2a2a2aa

b2-4ac

U/+—b)■

即2a4a2

b1-4ac

問題2:當(dāng)4acN°,且a#（）時(shí)，4a2大于等于零嗎？

,"4"一

得出結(jié)論：當(dāng)力一4比20時(shí)，因?yàn)閍w（）,所以4礦＞°,從而4/o

問題3:在研究問題1和問題2中，你能得出什么結(jié)論?

讓學(xué)生討論、交流，從中得出結(jié)論，當(dāng)〃一4公2°時(shí)，一般形式的一元二次方程

+b_+J/??-4ac_-b+y/b2-4ac

62+法+c=0（a。。）的根為'2。一—2a，即2a。

由以上研究的結(jié)果，得到了一元二次方程",+法+仁="“*。）的求根公式：

-b±yfi^~-4~ac

X-r

2a（b~0）

這個(gè)公式說明方程的根是由方程的系數(shù)。、b、。所確定的，利用這個(gè)公式，我們

可以由一元二次方程中系數(shù)。、'、。的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公

式法。

思考：當(dāng)b2-4acN0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根嗎？

三、例題

例1、解下列方程：

1、2x2+x—6=0；2、爐+4%=2-

3、5x2—4x—12=0；4、4x2+4x+10=l-8x5x2—x+1=0

讓學(xué)生反思以上解題過程，歸納得出：

當(dāng)〃-4ac＞°時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)〃-4ac=°時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)〃一4。。＜°時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

四、課堂練習(xí)

1、P35練習(xí)。

2、閱讀P32"閱讀材料"。

小結(jié)：

根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會(huì)，小結(jié)一下解一元二次方程一般有哪幾種方法？通常你是如何選擇的？和

同學(xué)交流一下。

作業(yè)：P38習(xí)題4.（3）、（4）、（5）、（6）、

教后記：

第15課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：實(shí)踐與探索（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生能根據(jù)量之間的關(guān)系，列出一元二次方程的應(yīng)用題。

2、提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

3、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

認(rèn)真審題，分析題中數(shù)量關(guān)系，適當(dāng)設(shè)未知數(shù)，尋找等量關(guān)系，列方程是本節(jié)課的重點(diǎn)，也

是難點(diǎn)。

教學(xué)方法：練習(xí)合作交流

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)舊知，提出問題

L敘述列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟。

2、用多種方法解方程（3xT）W+6x+9

讓學(xué)生嘗試用多種方法解方程。

3、現(xiàn)在，你能解決§23.1的問題1了嗎？

二、解決問題

請(qǐng)同學(xué)們先看看P26頁(yè)問題1，要想解決§23.1的問題1，首先要解方程90°=°,

同學(xué)傘能解這個(gè)方程嗎？

讓學(xué)生動(dòng)手解題并口答結(jié)果：玉=-5-5后,％=-5+5歷

提問：

1、所求玉、乙都是所列方程的解嗎？

2、所求內(nèi)、%都符合題意嗎？

讓學(xué)生思考、分析，真正理解負(fù)數(shù)根不符合題意，應(yīng)舍去.

3.1和2說明了什么問題？

讓學(xué)生交流討論、體會(huì)到把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來(lái)解決，求得方程的解，不一定是原問

題的解答，因此，要注意是檢驗(yàn)解是否符合題意；作為應(yīng)用題，還應(yīng)作答。

三、例題

例1.如圖，一塊長(zhǎng)和寬分別為60厘米和40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，要在它的四角截去四個(gè)

相等的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形

的邊長(zhǎng)。

解：設(shè)截去正方形的邊長(zhǎng)x厘米，底面（圖中虛線線部分）長(zhǎng)等于厘米，寬等

于厘米,$底面=。

請(qǐng)同學(xué)們自己列出方程并解這個(gè)方程，討論它的解是否符合題意。nn

由學(xué)生回答解題過程，教師板書：

四、課堂練習(xí)

P36練習(xí)1、2

小結(jié)：

讓學(xué)生反思、歸納、總結(jié)，應(yīng)用一元二次方程解實(shí)際問題，要認(rèn)真審題，要分析題意，找出

數(shù)量關(guān)系，列出方程，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來(lái)解決。求得方程的解之后，要注意檢驗(yàn)

是否任命題意，然后得到原問題的解答。

作業(yè)：

P38習(xí)題5、6、7

教后記：

第16課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：實(shí)踐與探索（二）

教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生會(huì)列出一元二次方程解有關(guān)變化率的問題。

2、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)都是列出一元二次方程，解決有關(guān)變化率的實(shí)際問題。

教學(xué)方法：練習(xí)合作交流

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)問題情境

問題：某商品經(jīng)兩次降價(jià)，零售價(jià)降為原來(lái)的一半，已知兩次降價(jià)的百分率一樣。求每次降

價(jià)的百分率。（精確至!J0.1%）

二、探索解決問題

分析："兩次降價(jià)的百分率一樣"，指的是第一次和第二次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)是一個(gè)相同的

值，即兩次按同樣的百分?jǐn)?shù)減少，而減少的絕對(duì)數(shù)是不相同的，設(shè)每次降價(jià)的百分率為X,

若原價(jià)為a,則第一次降價(jià)后的零售價(jià)為=,又以這個(gè)價(jià)格為基礎(chǔ)，再算第

二次降價(jià)后的零售價(jià)。

思考：原價(jià)和現(xiàn)在的價(jià)格沒有具體數(shù)字，如何列方程？請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系已有的知識(shí)討論、

交流。

解：（略）

三、拓展引申

某藥品兩次升價(jià)，零售價(jià)升為原來(lái)的1.2倍，已知兩次升價(jià)的百分率一樣，求每次升

價(jià)的百分率（精確到0.1%）

解，設(shè)原價(jià)為。元，每次升價(jià)的百分率為了，根據(jù)題意，得

a（l+x）2=1.2a

解這個(gè)方程，得

一1土場(chǎng)

5

I.畫

由于升價(jià)的百分率不可能是負(fù)數(shù)，所以5不符合題意，因此符合題意要求的x為

x=-l+-^^-?9.5%

5

答：每次升價(jià)的百分率為9.5%.

四、鞏固練習(xí)

P37練習(xí)1、2

小結(jié)：

關(guān)于量的變化率問題，不管是增加還是減少，都是變化前的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，每次按相同的百分

數(shù)變化，若原始數(shù)據(jù)為。，設(shè)平均變化率為了，經(jīng)第一次變化后數(shù)據(jù)為/1±刈；經(jīng)第二次

變化后數(shù)據(jù)為a（l±x）：在依題意列出方程并解得x值后，還要依據(jù)°<x<l的條件，做

符合題意的解答。

作業(yè)：

P38習(xí)題8、9

教后記：

第17課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：實(shí)踐與探索（三）

教學(xué)目標(biāo)：

1、學(xué)生在已有的一元二次方程的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模解決問題，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)

實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型。

2、讓學(xué)生積極主動(dòng)參與課堂自主探究和合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

3、學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，形成實(shí)事求是的態(tài)度及進(jìn)行質(zhì)疑和激發(fā)思考的習(xí)慣。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

1、重點(diǎn)：利用一元二次方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而解決實(shí)際問題。

2、難點(diǎn)：學(xué)生分析方程的解，自主探索得到解決實(shí)際問題的最佳方案。

教學(xué)方法：練習(xí)合作交流

教