垂徑定理教案

北辰教育學(xué)科教師輔導(dǎo)學(xué)案學(xué)員編號：年級：課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：授課類型C圓的垂徑定理T圓的垂徑定理T圓的垂徑定理授課日期及時段年月日00:00--00:00教學(xué)內(nèi)容—————圓的垂徑定理教學(xué)目標(biāo)1、研究圓的對稱性，掌握垂徑定理及其推論2、學(xué)會運用垂徑定理及其推論解決一些有關(guān)證明、計算和作圖問題二、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)：圓的周長：C=2πr或C=πd圓的面積：S=πr2圓環(huán)面積計算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）2、知識講解考點1圓的垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧。典型例題分析題型1：1、下列圖形中，哪些能使用垂徑定理，為什么？（D）解析：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧。滿足兩個條件，缺一不可。2、如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論正確的是（）

A．DE=BEB．C．△BOC是等邊三角形D．四邊形ODBC是菱形【答案】B．【解析】∵AB⊥CD，AB過O，

∴DE=CE，，

根據(jù)已知不能推出DE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．

故選B．【考點】垂徑定理3、如圖，⊙O的弦AB垂直半徑OC于點D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，則弦AB的長為（）A．9cmB．3cmC．cmD．cm【答案】A【解析】如圖，連接AC，∵∠CBA＝30°，∴∠COA＝60°?！逴A=OC，∴△AOC是等邊三角形?！摺袿的弦AB垂直半徑OC于點D，∴AD=BD（垂徑定理），OD=CD（等邊三角形三線合一）?！逴C＝3cm，∴CD=cm。在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，CD=cm，∴BD=cm。∴AB=2BD=9cm。故選A?？键c：垂徑定理的推論題型2：4、如圖，點A，B，C在圓O上，OC⊥AB，垂足為D，若⊙O的半徑是10cm，AB=12cm，則CD=________cm．

【答案】2【解析】∵OC是⊙O的半徑且OC⊥AB，垂足為D，

∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm，

∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，

∴OD=cm，

∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．

故答案為：2．

考點：1、垂徑定理；2、勾股定理5、如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，AB∥OC，過點O作OE⊥AB于點E，交AC于點P，若AB=2，∠AOE=30°，則PE的長度為_____．答案：

解析：由OA=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AB與OC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂徑定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，設(shè)PE=x，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2x，由AE的長，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為PE的長．

解：∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∵AB∥OC，∴∠CAB=∠C，∴∠OAC=∠BAC，

∵OE⊥AB，∠AOE=30°，∴AE=BE=AB=1，∠OAE=60°，∴∠OAC=∠BAC=30°，

在Rt△APE中，設(shè)PE=x，則有AP=2x，根據(jù)勾股定理得：AP2=PE2+AE2，即（2x）2=x2+1，

解得：x=或x=-（舍去），則PE=．故答案為：題型3：6．已知⊙O的半徑為12cm，弦AB=16cm．（1）求圓心O到弦AB的距離；（2）如果弦AB的長度保持不變，兩個端點在圓周上滑動，那么弦AB的中點形成什么樣的圖形？考點：垂徑定理；勾股定理．專題：計算題．分析：（1）連接OB，過O作OC⊥AB于C，則線段OC的長就是圓心O到弦AB的距離，求出BC，再根據(jù)勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中點形成一個以O(shè)為圓心，以4c解答：（1）解：連接OB，過O作OC⊥AB于C，則線段OC的長就是圓心O到弦AB的距離，∵OC⊥AB，OC過圓心O，∴AC=BC=AB=8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），答：圓心O到弦AB的距離是4c（2）解：如果弦AB的長度保持不變，兩個端點在圓周上滑動，那么弦AB的中點到圓心O的距離都是4c∴如果弦AB的長度保持不變，兩個端點在圓周上滑動，那么弦AB的中點形成一個以O(shè)為圓心，以4c點評：本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力，題型較好，難度適中．7．如圖，△ABC的三個頂點在⊙0上，AD⊥BC，D為垂足，E是的中點，求證：∠OAE=∠EAD．（寫出兩種以上的證明方法）考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系；三角形內(nèi)角和定理．專題：證明題．分析：方法一：連接OB，利用同弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半，三角形內(nèi)角和定理，同弧所對的圓周角相等即可證明此題．方法二：連接OE，利用垂徑定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可證明．解答：證明：（1）連接OB，則∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中點，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）連接OE，∵E是的中點，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD．點評：此題主要考查學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識點的理解和掌握，此題難度不大，關(guān)鍵是作好輔助線，方法一：連接OB，方法二：連接OE，屬于中檔題．8．如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的長；（2）若直線CD繞點E順時針旋轉(zhuǎn)15°，交⊙O于C、D，直接寫出弦CD的長．考點：垂徑定理；勾股定理．分析：（1）作OH⊥CD于H，連接OD，求出AB=6cm，半徑OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂徑定理得出DC=2DH，代入即可；（2）求出OE，∠OEH=45°，根據(jù)勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂徑定理得出DC=2DH，代入即可．解答：解：（1）作OH⊥CD于H，連接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直徑AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半徑OD=3cm，∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，∵OH⊥CD，∴由垂徑定理得：DC=2DH=2c（2）作OH⊥CD于H，連接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直徑AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半徑OD=3cm，∵若直線CD繞點E順時針旋轉(zhuǎn)15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°，在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），∵OH⊥CD，∴由垂徑定理得：DC=2DH=2c即CD=2c點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．—————圓的垂徑定理一、拓展。1、對于一個圓和一條直線，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么一定具備其他三個：

（1）過圓心；

（2）垂直于弦；

（3）平分弦（直徑）；

（4）平分弦所對的劣?。?/p>

（5）平分弦所對的優(yōu)弧，簡記為“知二推三”。

2、在垂徑定理的運用中，常涉及弦長a、弦心距d（圓心到弦的距離）、半徑r及弓形高h（弦所對的弧的中點到弦中點的距離）這四者的關(guān)系，它們的關(guān)系為。二、典型例題講解題型1：1、如圖，AB為的直徑，弦CD⊥AB垂足為E，則下面結(jié)論中錯誤的是（）。A．CE＝DEB．＝C．∠BAC＝∠BADD．OE=BE答案：D【解析】AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB垂足為E，則AB是垂直于弦CD的直徑，就滿足垂徑定理．

因而CE=DE，＝，∠BAC=∠BAD都是正確的．

根據(jù)條件可以得到E點位置不確定．所以D是錯誤的．

故選D．

考點：垂徑定理．2、下列命題中，正確的是（）A．經(jīng)過兩點只能作一個圓B．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧C．圓是軸對稱圖形，任意一條直徑是它的對稱軸D．平分弦的直徑必平分弦所對的兩條弧【答案】B【解析】A、經(jīng)過兩點只能作無數(shù)個圓，故本選項錯誤；B、垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，故本選項正確；

C、圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線是它的對稱軸，故本選項錯誤；

D、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分所對的弧，本選項錯誤．

故選B．

考點：1．垂徑定理2．命題與定理．3、如圖，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（

）

A．3B．4C．D．【答案】【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，

由垂徑定理、勾股定理得：OM=ON=3，

∵弦AB、CD互相垂直，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°∴四邊形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四邊形MONP是正方形，∴OP=3．故選C．考點：1.垂徑定理2.勾股定理．題型2：4、有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時，水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由．【答案】不需要采取緊急措施設(shè)OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324解得R=34（m）連接OM，設(shè)DE=x，在Rt△MOE中，ME=16342=162+（34-x）2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合設(shè)）∴DE=4∴不需采取緊急措施．【解析】要求當(dāng)洪水到來時，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運用幾何代數(shù)解求R．5、如圖所示，在兩個同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a，b。求證：【答案】【解析】證明：作OE⊥AB，垂足為E，連OA、OC則在中，在中，即即考點：本題應(yīng)用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，再由勾股定理解題，很巧妙。6、如圖所示，以O(shè)為圓心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝4cm，矩形EFGH的兩頂點E、F在弦AB上，H、G在上，且EF＝4HE，求HE的長?！敬鸢浮縞m【解析】解：連結(jié)AD、OGOA＝OD∴△AOD為等邊三角形∵OD⊥AN∴NO＝ND＝4cm∵OD＝OG＝8cm設(shè)，則在中，由得：解得：（舍去）∴HE的長為cm點撥：借助幾何圖形的性質(zhì)，找出等量關(guān)系，列出方程求解，這是解決幾何計算題的常用方法。7．已知：如圖，在⊙O中，∠A=∠C，求證：AB=CD（利用三角函數(shù)證明）．考點：垂徑定理；解直角三角形．4513433專題：證明題．分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，設(shè)⊙O半徑為R，根據(jù)sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂徑定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．解答：證明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F設(shè)⊙O半徑為R，sinA=，sinC=，∴OE=RsinA，OF=RsinC，∵∠A=∠C，∴sinA=sinC，∴OE=OF，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，∴AE=CF，由垂徑定理得：DC=2DF，AB=2AE，∴AB=CD．點評：本題考查了勾股定理，垂徑定理，解直角三角形等知識點，主要培養(yǎng)學(xué)生運用定理進行推理的能力．8．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的長．考點：垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：連接OA，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠D=∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根據(jù)垂徑定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理求出AH即可．解答：解：連接OA，∵OA=OD，∴∠D=∠OAD=30°，∴∠AOH=30°+30°=60°，∵AB⊥DH，∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，∴∠HAO=30°，∴AO=2OH=C0，∴OH=CH=1cm，∴AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，∴AB=2c點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行計算和推理的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．9．已知：等腰△ABC內(nèi)接于半徑為6cm的⊙O，AB=AC，點O到BC的距離OD的長等于2cm．求AB的長．考點：垂徑定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．專題：計算題．分析：①連接AD、OB，根據(jù)三線合一得出AO過D，在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理求出BD，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根據(jù)勾股定理求出AB即可．解答：解：①如圖，連接AD，連接OB，∵△ABC是等腰三角形，∴根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，∵OD⊥BC，∴根據(jù)垂直定理得：OD平分BC，即A、O、D三點共線，∴AO過D，∵等腰△ABC內(nèi)接于半徑為6cm的⊙O，∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），②如圖：同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm由勾股定理得：AB===4（cm），答：AB的長是4cm或4點評：本題考查了垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線后求出BD的長，題目具有一定的代表性，難度也適中，是一道比較好的題目．注意：分類討論．10．如圖，在⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的長．考點：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．專題：計算題．分析：延長AO交BC于D，過O作OE⊥BC于E，根據(jù)垂徑定理求出BC=2BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的長，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE即可解答：解：延長AO交BC于D，過O作OE⊥BC于E，∵OE過圓心O，OE⊥BC，∴BC=2CE=2BE（垂徑定理），∵∠A=∠B=60°，∴DA=DB，∴△DAB是等邊三角形（有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形），∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，∵∠OED=90°，∠ODE=60°，∴∠DOE=30°，∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一個角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半），∴BE=12﹣=，∴BC=2BE=19（根據(jù)垂徑定理已推出，在第三行）．點評：本題考查了垂徑定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，關(guān)鍵是正確作輔助線后求出BE的長，題目比較典型，難度適中．課程小結(jié)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧—————圓的對稱性一、典型例題1、（20XX年濰坊市）如圖，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP=1:5,則CD的長為（）.A.B.C.D.答案：D．考點:垂徑定理與勾股定理.點評：連接圓的半徑，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理與垂徑定理解決.2、(20XX年黃石)如右圖，在中，，，，以點為圓心，為半徑的圓與交于點，則的長為CADBA.B.C.D.CADB答案：C解析：由勾股定理得AB＝5，則sinA＝，作CE⊥AD于E，則AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝，即，所以，CE＝，AE＝，所以，AD＝3、(2013河南省)如圖，CD是的直徑，弦于點G，直線與相切與點D，則下列結(jié)論中不一定正確的是（）（A）（B）∥（C）AD∥BC（D）【解析】由垂徑定理可知：（A）一定正確。由題可知：，又因為，所以∥，即（B）一定正確。因為所對的弧是劣弧，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可知（D）一定正確。【答案】C4、（2013?瀘州）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（）A．cmB．cmC．cm或cmD．cm或cm考點：垂徑定理；勾股定理．專題：分類討論．分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由于點C的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論．解答：解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點位置如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；當(dāng)C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故選C．點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5、（2013?廣安）如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8cm，CD=3cm，則圓O的半徑為（）A．cmB．5cmC．4cmD．cm考點：垂徑定理；勾股定理．分析：連接AO，根據(jù)垂徑定理可知AC=AB=4cm，設(shè)半徑為x，則OC=x﹣3，根據(jù)勾股定理即可求得x的值．解答：解：連接AO，∵半徑OD與弦AB互相垂直，∴AC=AB=4cm，設(shè)半徑為x，則OC=x﹣3，在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，即x2=42+（x﹣3）2，解得：x=，故半徑為cm．故選A．點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理、勾股定理的內(nèi)容，難度一般．6、（2013?紹興）紹興市著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為（）A．4mB．5mC．6mD．8m考點：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．分析：連接OA，根據(jù)橋拱半徑OC為5m，求出OA=5m，根據(jù)CD=8m，求出OD=3m，根據(jù)AD=求出AD，最后根據(jù)AB=2AD即可得出答案．解答：解：連接OA，∵橋拱半徑OC為5m，∴OA=5m，∵CD=8m，∴OD=8﹣5=3m，∴AD===4m，∴AB=2AD=2×4=8（m）；故選；D．點評：此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理．7、（2013?溫州）如圖，在⊙O中，OC⊥弦AB于點C，AB=4，OC=1，則OB的長是（）A．B．C．D．考點：垂徑定理；勾股定理分析：根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．解答：解：∵OC⊥弦AB于點C，∴AC=BC=AB，在Rt△OBC中，OB==．故選B．點評：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容．8、（2013?嘉興）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（）A．2B．8C．2D．2考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．專題：探究型．分析：先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的長，連接BE，由圓周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出CE的長．解答：解：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=8，∴AC=AB=4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴CE===2．故選D．點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．9、（2013?萊蕪）將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為（）A．B．C．D．考點：圓錐的計算．分析：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，由折疊的性質(zhì)可知OD為半徑的一半，而OA為半徑，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，由折疊的性質(zhì)可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的長為=2π設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為r，則2πr=2π∴r=1cm∴圓錐的高為=2故選A．點評：本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷．關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出含30°的直角三角形．10、（2013?徐州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD=8，OP=3，則⊙O的半徑為（）A．10B．8C．5D．3考點：垂徑定理；勾股定理．專題：探究型．分析：連接OC，先根據(jù)垂徑定理求出PC的長，再根據(jù)勾股定理即可得出OC的長．解答：解：連接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=CD=×8=4，在Rt△OCP中，∵PC=4，OP=3，∴OC===5．故選C．點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．11、(2013浙江麗水)一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，則截面圓心O到水面的距離OC是A.4B.5C.6D.812、（2013?畢節(jié)地區(qū)）如圖在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足為C，且OC=3，則⊙O的半徑（）A．5B．10C．8D．6考點：垂徑定理；勾股定理．專題：探究型．分析：連接OB，先根據(jù)垂徑定理求出BC的長，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的長度．解答：解：連接OB，∵OC⊥AB，AB=8，∴BC=AB=×8=4，在Rt△OBC中，OB===．故選A．點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．13、（20XX年佛山）半徑為3的圓中，一條弦長為4，則圓心到這條弦的距離是（）A.3B.4C.D.分析：過點O作OD⊥AB于點D，由垂徑定理可求出BD的長，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的長．解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故選C．點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出OD的長是解答此題的關(guān)鍵14、（2013甘肅蘭州4分、12）如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考點：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．分析：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，由垂徑定理可知AD=AB，設(shè)OA=r，則OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，設(shè)OA=r，則OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故選C．點評：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．15、（2013?內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為24．考點：一次函數(shù)綜合題．分析：根據(jù)直線y=kx﹣3k+4必過點D（3，4），求出最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長，再根據(jù)以原點O為圓心的圓過點A（13，0），求出OB的長，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解答：解：∵直線y=kx﹣3k+4必過點D（3，4），∴最短的弦CD是過點D且與該圓直徑垂直的弦，∵點D的坐標(biāo)是（3，4），∴OD=5，∵以原點O為圓心的圓過點A（13，0），∴圓的半徑為13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的長的最小值為24；故答案為：24．點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是求出BC最短時的位置．16、（13年安徽省4分、10）如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點，在以下判斷中，不正確的是（）A、當(dāng)弦PB最長時，ΔAPC是等腰三角形。B、當(dāng)ΔAPC是等腰三角形時，PO⊥AC。C、當(dāng)PO⊥AC時，∠ACP=300.D、當(dāng)∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。17、（2013?寧波）如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，連結(jié)OB，OD，則圖中兩個陰影部分的面積和為10π．考點：扇形面積的計算；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．專題：綜合題．分析：根據(jù)弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，過點O作OF⊥BC于點F，OG⊥CD于點G，在四邊形OFCG中可得∠FCD=135°，過點C作CN∥OF，交OG于點N，判斷△CNG、△OMN為等腰直角三角形，分別求出NG、ON，繼而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圓O的半徑，代入扇形面積公式求解即可．解答：解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴點B是弧AC的中點，點D是弧CE的中點，∴∠BOD=90°，過點O作OF⊥BC于點F，OG⊥CD于點G，則BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四邊形OFCG中，∠FCD=135°，過點C作CN∥OF，交OG于點N，則∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，∴△CNG為等腰三角形，∴CG=NG=2，過點N作NM⊥OF于點M，則MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON+NG=6，在Rt△OGD中，OD===2，即圓O的半徑為2，故S陰影=S扇形OBD==10π．故答案為：10π．點評：本題考查了扇形的面積計算、勾股定理、垂徑定理及圓心角、弧之間的關(guān)系，綜合考察的知識點較多，解答本題的關(guān)鍵是求出圓0的半徑，此題難度較大．18、（2013?寧夏）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為2cm．考點：垂徑定理；勾股定理．分析：通過作輔助線，過點O作OD⊥AB交AB于點D，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OA=2OD，根據(jù)勾股定理可將AD的長求出，通過垂徑定理可求出AB的長．解答：解：過點O作OD⊥AB交AB于點D，∵OA=2OD=2cm，∴AD===cm，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=cm．點評：本題綜合考查垂徑定理和勾股定理的運用．19、（2013?包頭）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，則∠ADB=28度．考點：圓周角定理；垂徑定理．分析：根據(jù)垂徑定理可得點B是中點，由圓周角定理可得∠ADB=∠BOC，繼而得出答案．解答：解：∵OB⊥AC，∴=，∴∠ADB=∠BOC=28°．故答案為：28．點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．20、（2013?株洲）如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是48度．考點：垂徑定理．分析：根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答案．解答：解：∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OC∵∠A=42°∴∠ACO=∠A=42°∵D為AC的中點，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案為：48．點評：本題考查了垂徑定理的知識，解題的關(guān)鍵是根的弦的中點得到弦的垂線．21、（2013?黃岡）如圖，M是CD的中點，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，則所在圓的半徑為．新課標(biāo)第一網(wǎng)考點：垂徑定理；勾股定理．專題：探究型．分析：首先連接OC，由M是CD的中點，EM⊥CD，可得EM過⊙O的圓心點O，然后設(shè)半徑為x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．解答：解：連接OC，∵M是CD的中點，EM⊥CD，∴EM過⊙O的圓心點O，設(shè)半徑為x，∵CD=4，EM=8，∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，在Rt△OE