八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)16.3二次根式的加減（解析版）

16.3二次根式的加減同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式.注意：(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開(kāi)方數(shù)是否相同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，只與被開(kāi)方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān).題型1：同類(lèi)二次根式1.（2022八下·哈爾濱開(kāi)學(xué)考）將下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)與2的被開(kāi)方數(shù)不同的是（）A．12 B．18 C．50 D．【答案】D【解析】【解答】解：A：12=22與B：18=32，與2C：50=52，與2D：12=23，與2故答案為：D

【分析】利用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則逐個(gè)化為最簡(jiǎn)二次根式，找出被開(kāi)方數(shù)與2的被開(kāi)方數(shù)不同的二次根式?！咀兪?-1】（2022八上·杏花嶺期中）下列二次根式中，不能與3合并的是（）A．12 B．18 C．27 D．48【答案】B【解析】【解答】解：A、12=23，能與3合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B、18=32，不能與C、27=33，能與3合并，故此選項(xiàng)不符合題意；D、48=43，能與3合并，故此選項(xiàng)不符合題意；故答案為：B．【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可?！咀兪?-2】（2022八上·奉賢期中）下列二次根式中，同類(lèi)二次根式是（）A．81ab3和3a316bC．a(chǎn)3bc和和bc D．【答案】A【解析】【解答】解：A.81ab3=9bab，3a316b=3×aab4b=3aab4b是同類(lèi)二次根式；

B.4a2b=2二次根式的加減二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其中的同類(lèi)二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式，仍要寫(xiě)到結(jié)果中.注意：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用.（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)的二次根式結(jié)合為一組；

3)合并同類(lèi)二次根式.題型2：二次根式的加減2一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，則它的周長(zhǎng)為．【分析】運(yùn)用二次根式加減運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式即可求解．【解答】解：三角形的周長(zhǎng)為：＝2+4+5＝2+9，故答案為：2+9．【變式2-1】計(jì)算4﹣+．解：原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）．解：原式=2+3﹣2=．（3）27x-3【答案】解：原式=3【變式2-2】計(jì)算：2【答案】解：21=2×=43=63.計(jì)算：320【答案】解：3=6=計(jì)算18【答案】解：原式=3故答案為2【解析】【分析】利用二次根式的加減運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可。計(jì)算：23【答案】解：2=2=-計(jì)算：12-【答案】解：原式＝2=(＝5-二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.注意：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.二次根式的混合運(yùn)算3.（2022八下·安寧期末）計(jì)算：（1）6（2）(【答案】（1）解：原式==3=（2）解：原式=3-2-(5-2=1-5+2=2【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可；

（2）利用平方差公式和完全平方公式展開(kāi)，再計(jì)算即可。【變式3-1】（2022八下·盤(pán)龍期末）（1）(248（2）(5【答案】（1）解：(2=(8=6=6（2）解：(==5-3+3+4=9+4（3）計(jì)算：（2022八下·沂南期末）計(jì)算：23【答案】解：原式==33【解析】【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可。【變式3-2】（2022八下·五常期末）計(jì)算：（1）12（2）(2【答案】（1）解：原式=23（2）解：原式=248【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減乘除法則計(jì)算求解即可；

（2）利用二次根式的加減乘除法則計(jì)算求解即可。（2022八下·建昌期末）（3）計(jì)算：(6【答案】解：原式=6-3-4=3-3=0【解析】【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可?！咀兪?-3】（2022八下·鞍山期末）計(jì)算（1）(45（2）(248【答案】（1）解：(45+18)-2(8（2）解：(248-327)÷6=（83-93）÷6=【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減法計(jì)算即可；

（2）利用二次根式的混合運(yùn)算的計(jì)算方法求解即可。（2022八下·單縣期末）（3）計(jì)算：(27【答案】解：(==2=4=-9．題型4：確定同類(lèi)二次根式中字母的值4若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式是同類(lèi)二次根式，則a的值是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝﹣1 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝﹣2【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：a+1＝2a解得：a＝1故選：A．【變式4-1】若最簡(jiǎn)二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根據(jù)題意得到兩個(gè)二次根式是同類(lèi)二次根式，列出方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a(bǔ)＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故選：D【變式4-2】當(dāng)x＝時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式﹣4與3能夠合并．【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式能夠合并得出x2﹣1＝x+1，求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式﹣4與3能夠合并，∴x2﹣1＝x+1，解得：x1＝2，x2＝﹣1，當(dāng)x＝2或﹣1時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式﹣4與3能夠合并．故答案為：2或﹣1．題型5：二次根式的化簡(jiǎn)與求值5.已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aab【答案】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴原式=a=-26【解析】【分析】首先對(duì)每一項(xiàng)根式進(jìn)行分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通分，進(jìn)行分式的加法運(yùn)算，再用對(duì)分母提取公因式后，運(yùn)用配方法對(duì)提取公因式后的分母進(jìn)行整理，最后再入求值即可.【變式5-1】已知求的值?！敬鸢概c解析】所以原式=【變式5-2】已知a=12-3，b=12+【答案】解：a=2+3，b=2﹣3ab-ba=（2+3）（2+3）﹣（2﹣3）（2﹣3）=[（2+3）+（2﹣3）][（2+3）﹣（2﹣3）]=4×23=83【解析】【分析】首先對(duì)a，b的值進(jìn)行分母有理化，然后根據(jù)ab-ba=a?題型6：代數(shù)式的大小比較6.（2021八下·龍灣期中）比較大?。?5+613【答案】＜【解析】【解答】解：由題意得15+62=21+180≈34.4，

13+72=20+364≈39.1，

∴15+62<13【變式6-1】已知x=2011-2012，y=2012-【答案】x＜y【解析】【解答】解：∵x=2011-2012，y=∴x=﹣（2012-2011）=﹣12012+2011∴﹣x=12012+2011∵12012+2011＞122012∴﹣y<1∴﹣y＜﹣x，∴x＜y．故答案為：x＜y．題型7：二次根式的規(guī)律探究題7.（2022八下·上林期末）觀察下列各式：11+2=2-1，……，A．2022-1 B．2022+1 C．2021-1【答案】A【解析】【解答】解：∵11+12……1n∴原式=2-1+3-故答案為：A.【分析】將各個(gè)加數(shù)分母有理化，則待求式可變形為2-1+【變式7-1】（2021八下·西城期末）在學(xué)習(xí)二次根式的過(guò)程中，小騰發(fā)現(xiàn)有一些特殊無(wú)理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系例如：由（2＋1）（2﹣1）＝1，可得2＋1與2﹣1互為倒數(shù)，即12+1＝2﹣1，12-1＝2＋1，類(lèi)似地，13+2＝3﹣2，13-2＝3＋根據(jù)小騰發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）16+5＝，1（2）若122+m＝22（3）計(jì)算：12+1+【答案】（1）6-5（2）±（3）9【解析】【解答】解：（1）因?yàn)?6+5)(6因?yàn)?n+1+n（2）∵122+m∴(2∴(2∴(2∴m2∴m=±7（3）1==-1+==9．故答案為：（1）6-5；n+1-

【分析】（1）利用題中等式變形的規(guī)律求解即可；

（2）先變形為(22+m【變式7-2】（2021八下·濱城期中）觀察下列各式：12+1=2-1，13【答案】2020【解析】【解答】解：第1個(gè)等式為：12第2個(gè)等式為：13第3個(gè)等式為：14歸納類(lèi)推得：第n個(gè)等式為：1n+1∴(1=(2=(2021=2021-1，=2020，故答案為：2020．題型8：二次根式與實(shí)際應(yīng)用8.．站在水平高度為h米的地方看到可見(jiàn)的水平距離為d米，它們符合公式為d=8h5【答案】解：登山者看到的原水平線(xiàn)的距離為d1=8hd【解析】【分析】由題中的d、h之間的關(guān)系，由h變?yōu)?h，代入式子，可求出水平線(xiàn)的距離倍數(shù).【變式8-1】二次根式的乘法在生活和高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，在“神州八號(hào)”中要將某一部件的一個(gè)長(zhǎng)方形變化成等面積的一個(gè)圓形，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是140πcm，寬是35πcm，那么圓的半徑應(yīng)是多少？【答案】解：S長(zhǎng)方形=140π?35π=70π，S圓=πR2=70π，∴R=70，即圓的半徑為70cm．【解析】【分析】先求出長(zhǎng)方形的面積，然后根據(jù)圓形和長(zhǎng)方形的面積相等，利用圓的面積公式求出圓的半徑．【變式8-2】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中無(wú)重疊放人面積分別為16cm2和A．(-12+83)cmC．(8-43)cm【答案】A【解析】【解答】解：∵兩張正方形紙片的面積分別為16cm2和12cm2，

∴它們的邊長(zhǎng)分別為16=4cm，12=23cm，

∴AB=4cm，BC=23+4cm，

解法一：∴空白部分的面積

=23+4×4-12-16=83【變式8-3】如圖，面積為48cm2的正方形四個(gè)角是面積為3cm2的小正方形，現(xiàn)將四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，求這個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)和高分別是多少？（精確到0.1cm，3≈【答案】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為xcm，小正方形的邊長(zhǎng)為ycm，則：x2=48，y2=3∴x=43，y=3∴這個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為：x-2y=43【解析】【分析】已知大正方形的面積和小正方形的面積，可用二次根式表示兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，從而可求這個(gè)長(zhǎng)方體的底邊長(zhǎng)和高．一、單選題1．（2022八下·東川期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．5-2=3 B．35+2【答案】D【解析】【解答】解：A、5-B、35C、5?D、62故答案為：D．【分析】利用二次根式的加減法和二次根式的乘除法逐項(xiàng)判斷即可。2．（2020八上·福田期末）設(shè)n為正整數(shù)，且n<65<n+1，則A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知，64＜65＜81

∴8＜65＜9

∵n為正整數(shù)

∴n=8故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。3．（2022八上·閔行期中）下列各組二次根式中，屬于同類(lèi)二次根式的是（）A．33與6 B．8與2 C．-13與23 【答案】B【解析】【解答】解：A.33和6B.8=22和C.-13=-D.4a=2a和故答案為：B．【分析】將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類(lèi)二次根式，據(jù)此判斷即可.4．（2023九上·萬(wàn)州期末）估算(25A．6至7 B．5至6 C．4至5 D．3至4【答案】B【解析】【解答】解：∵(25+52∴5＜2+10＜6，即故答案為：B.【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則可得原式=2+10，根據(jù)估算無(wú)理數(shù)大小的方法可得3＜10＜4，據(jù)此解答.5．（2022八下·龍游月考）定義運(yùn)算“★”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a★b=a2+b2．若x+2+A．0 B．22 C．25【答案】B【解析】【解答】解：∵x+2+y2-4y+4=0，

∴x+2+（y-2）2=0，

∴x=-2，y=2，

∴x★y=（-2）2+22=226．（2022八下·香河月考）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中無(wú)重疊放入面積分別為8和16的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（）A．82-8 B．83-12 C．【答案】A【解析】【解答】解：由已知可得：長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為16+∴長(zhǎng)方形ABCD的面積為4(4+2∴空白部分的面積為：16+8故答案為：A．

【分析】先求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再利用割補(bǔ)法求出空白部分的面積即可。二、填空題7．（2021·南京一模）計(jì)算3×（12－3）的結(jié)果是.【答案】3【解析】【解答】3===6-3=3.故答案為：3.

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則化簡(jiǎn)即可求解.8．（2020·香坊模擬）計(jì)算18-8的結(jié)果為【答案】2【解析】【解答】解：原式=32-22=2．

故答案為2．【分析】先把18和8化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類(lèi)二次根式．9．（2020八上·金山期中）若最簡(jiǎn)二次根式a-13與2b+1是同類(lèi)二次根式，則b【答案】8【解析】【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式a-13與2∴a-1=2，b+1=3，∴a=3，b=2，∴ba=2故答案為：8．

【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義可得：a-1=2，b+1=3，求出a和b再代入計(jì)算即可。10．（2020九上·嵩縣期末）已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)(a+c)2-|b+c|=【答案】﹣a+b【解析】【解答】解：由圖可知：a＜b＜0＜c，而且|a|>|b|>|c|，∴a+c＜0，b+c<0，∴(a+c)2故答案為：-a+b.【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)情況以及絕對(duì)值的大小，然后根據(jù)絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)去掉根號(hào)和絕對(duì)值號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算即可得解.11．（2020七下·防城港期中）計(jì)算：3（3+13）=【答案】4【解析】【解答】解：原式=3×3+×1=3+1=4.故答案為：4.【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則去括號(hào)，進(jìn)而根據(jù)二次根式的乘法法則及除法法則計(jì)算，最后根據(jù)有理數(shù)的加減法算出結(jié)果.三、計(jì)算題12．（2022八下·余杭期中）計(jì)算：（1）24-（2）51【答案】（1）解：原式＝26﹣2×3＝26﹣6＝6（2）解：原式＝5﹣25+35＝25【解析】【分析】（1）第一項(xiàng)利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二次根式的乘法法則計(jì)算，進(jìn)而再合并同類(lèi)二次根式即可；

（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，將各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并即可.13．（2021八上·北鎮(zhèn)期中）計(jì)算：（1）38﹣（π﹣3.14）0+|2（2）18﹣418﹣2（2（3）（25-7）（25+7【答案】（1）解：原式=2-1+2-2（2）解：原式=32（3）解：原式=20-7-5+65【解析】【分析】（1）先利用立方根、0指數(shù)冪和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算即可；

（2）