靜電場恒定電場和恒定磁場

靜電場恒定電場和恒定磁場2.電介質(zhì)所謂電介質(zhì)就是不導(dǎo)電的介質(zhì)，如空氣、純凈水、玻璃、橡膠等，它們的特點(diǎn)是絕大部分電荷處于束縛狀態(tài)，不像導(dǎo)體內(nèi)有自由移動(dòng)的電子。圖2.1電介質(zhì)的極化第2頁,共66頁，2024年2月25日，星期天式中電位移矢量為介質(zhì)中的高斯定理表示為在線性的各向同性的電介質(zhì)中第3頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.1在空氣中放入一個(gè)帶電量為Q、半徑為a的球體，該球體的相對介電常數(shù)為εr。求該球體內(nèi)、外任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解（1）球內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)到球心距離為r,做高斯面為以r為半徑的球面，如圖2.2所示。由電場的對稱性可知，E和D的方向?yàn)閑r,所以第4頁,共66頁，2024年2月25日，星期天圖2.2（2）在球外，高斯面為半徑為r的球面，則高斯面包圍的自由電荷即是Q，即∑q=Q所以第5頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.2電介質(zhì)中有一無限長帶電直線，其線電荷密度為ρl,求空間任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，電介質(zhì)的相對介電常數(shù)為εr。解:做高斯面S如圖2.3所示，由對稱性可知電場強(qiáng)度E只有er分量Er,而分量、ez分量Ez被抵消了，均為零。圖2.3第6頁,共66頁，2024年2月25日，星期天在點(diǎn)電荷q的電場中任取一條曲線上的連續(xù)A、B兩點(diǎn)，如圖2.4所示，則靜電場E（r）沿此曲線的線積分為圖2.4靜電場的線積分第7頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.3在靜電場中,把帶電量為-2μC的電荷從A(2,1,-1)點(diǎn)移到B(8,2,-1)點(diǎn)。求沿下列路徑移動(dòng)時(shí)電場力所做的功，如圖2.5所示。圖2.53.靜電場環(huán)量定理（1）沿l1路徑：（2）沿l2路徑：A→C→B。第8頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共66頁，2024年2月25日，星期天4.靜電場的基本方程人們把靜電場的高斯定理和環(huán)量定理稱為靜電場的基本方程的積分形式靜電場基本方程的微分形式第10頁,共66頁，2024年2月25日，星期天解:根據(jù)靜電場的基本方程微分形式可知例2.4已知在自由空間球坐標(biāo)系中電場分布為求空間各點(diǎn)的體電荷密度分布。第11頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.2電位和電位方程1.電位靜電場是無旋的矢量場，因此可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)稱為電位函數(shù)φ有如下關(guān)系：設(shè)在空間兩點(diǎn)A、B，則它們的電位差為兩點(diǎn)之間的電位差通常稱為電壓。如果選取B點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，即=0，則A點(diǎn)的電位為第12頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.5對于例2.1求出球體內(nèi)、外任意一點(diǎn)的電位。解:選取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電位參考點(diǎn)則球體外半徑為r的A點(diǎn)的電位為在球面坐標(biāo)系中對于球體內(nèi)半徑為r的點(diǎn)A′，其電位為第13頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.電位方程泊松方程:拉普拉斯方程泊松方程在無界空間內(nèi)，已知場源電荷分布，可根據(jù)場源積分法算出電位。那么對于連續(xù)帶電體，則可以取一電荷元dq，求出dq產(chǎn)生的電位，然后進(jìn)行積分式中，R為場點(diǎn)和源點(diǎn)的距離；τ′為源點(diǎn)的區(qū)域。第14頁,共66頁，2024年2月25日，星期天對于體分布、面分布、線分布情況的電位分別表示為體分布：面分布：線分布：(2.25)(2.26)(2.27)例2.6在空氣中，半徑為a的圓平面上均布面電荷密度為ρs的電荷（ρs為常數(shù)）。求在圓平面中心垂直軸線上任意點(diǎn)處的電位和電場強(qiáng)度。解:由式(2.26)可知如圖2.6所示，第15頁,共66頁，2024年2月25日，星期天對上式求負(fù)梯度即得到電場強(qiáng)度E(z)，由對稱性可知E(z)只有ez分量，所以圖2.6第16頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.3靜電場的邊界條件式(2.32)和式(2.33)是分界面上E的切向分量的邊界條件。第17頁,共66頁，2024年2月25日，星期天下面討論兩種典型的邊界條件（1）兩種電介質(zhì)的邊界在兩種不同介質(zhì)的分界面上，沒有自由電荷，即=0，所以式（2.30）和式(2.32)變?yōu)镈1n=D2n(2.34)E1t=E2t(2.35)式(2.34)還可寫成電場強(qiáng)度法向分量的形式，即ε1E1n=ε2E2n(2.36)由于兩種電介質(zhì)ε1≠ε2，電場強(qiáng)度的法向分量在介質(zhì)分界面上是不連續(xù)的。這是因?yàn)殡妶鰧﹄娊橘|(zhì)產(chǎn)生極化作用，而使在兩種不同的分界面上產(chǎn)生極化面電荷。第18頁,共66頁，2024年2月25日，星期天（2）電介質(zhì)和導(dǎo)體的邊界導(dǎo)體是一種自身帶有大量自由電荷的物質(zhì)，在導(dǎo)體內(nèi)部電場強(qiáng)度處處為零。設(shè)第一種媒質(zhì)為電介質(zhì)，第二種媒質(zhì)為導(dǎo)體，則D2n=0，E2t=0，所以電介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件為以上兩式說明，在導(dǎo)體表面的電介質(zhì)中，電場強(qiáng)度沒有切向分量，只有法向分量，即電場垂直于導(dǎo)體表面，且導(dǎo)體表面上由于靜電感應(yīng)的自由面電荷密度等于導(dǎo)體表面上電介質(zhì)中電位移矢量的大小。第19頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.8兩塊導(dǎo)電平板平行放置，其間填充厚度分別為d1、d2的兩層電介質(zhì)，相對介電常數(shù)分別為和，如圖2.10所示。兩導(dǎo)電板間的電壓為U，忽略邊緣效應(yīng)，求它們之間電場強(qiáng)度及電荷分布。解:忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為導(dǎo)體板數(shù)靠近電介質(zhì)1或電介質(zhì)2一側(cè)的表面的電荷是均勻分布的。這樣在兩種介質(zhì)中的電場都是均勻的。第20頁,共66頁，2024年2月25日，星期天圖2.10圖2.11第21頁,共66頁，2024年2月25日，星期天在電介質(zhì)1和電介質(zhì)2的分界面上無自由電荷，即ρs=0，但存在著極化電荷，極化面電荷密度為2.9在兩種各向同性的電介質(zhì)分界面兩側(cè)，電場強(qiáng)度在電介質(zhì)1中與法線的夾角為，在電介質(zhì)2中與法線的夾角為，如圖2.11所示，試推導(dǎo)、與、之間的關(guān)系。第22頁,共66頁，2024年2月25日，星期天解:由邊界條件可知，界面上沒有自由電荷，所以有第23頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.4導(dǎo)體系統(tǒng)的電容和靜電場的能量1.電容的概念電容可定義為(2.39)電容的單位是法拉(F)，實(shí)際使用時(shí)經(jīng)常用到微法（μF）或皮法(pF)兩個(gè)導(dǎo)體在線性介質(zhì)中，帶有等量的異性電荷q和-q，兩個(gè)導(dǎo)體間的電位差（也就是電壓）為U，則這兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為C=q/U(2.40)也與兩個(gè)導(dǎo)體的幾何形狀、大小、它們之間的距離和周圍的電介質(zhì)有關(guān)。兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體系統(tǒng)常稱為電容器，通過設(shè)計(jì)兩個(gè)導(dǎo)體的幾何形狀、大小、它們之間的距離和周圍的電介質(zhì)，即可以不用電容器。第24頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.10同心金屬球與球殼系統(tǒng)如圖2.12所示，內(nèi)導(dǎo)體球半徑為a，外導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑分別為b和c，導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼帶有等量異號(hào)電荷，它們之間充滿相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)，球外為空氣。求該導(dǎo)體系統(tǒng)的電容。解:根據(jù)高斯定理不難求出空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，設(shè)導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼的帶電量分別是q和-q，則導(dǎo)體和導(dǎo)體球殼之間的電場強(qiáng)度的大小為第25頁,共66頁，2024年2月25日，星期天(2.41)第26頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.11在例2.10中，導(dǎo)體球帶電荷q1，導(dǎo)體球殼帶電荷q2，設(shè)無限遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)，求導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容。對于兩個(gè)以上導(dǎo)體組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)，由于其中每一個(gè)導(dǎo)體上的電位要受到其余多個(gè)導(dǎo)體電荷的影響，情況非常復(fù)雜。2.多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容第27頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共66頁，2024年2月25日，星期天3.靜電場的能量帶電體系具有能量（1）有一個(gè)體電荷密度為ρ的連續(xù)帶電體，電位函數(shù)為φ。帶電系統(tǒng)的靜電場能為（2）對于多導(dǎo)體系統(tǒng)第29頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第30頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.12半徑分別為a和b的同軸線，外加電壓為U，內(nèi)圓柱體電荷量為正，外圓柱面單位長度上的電荷量與內(nèi)圓柱體等值異號(hào)。如圖2.16(a)所示，兩電極間在θ1的角度內(nèi)填充介電常數(shù)為ε的電介質(zhì)，其余部分為空氣，求同軸線單位長度上儲(chǔ)存的電場能量。圖2.16第31頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.5恒定電場在導(dǎo)體中電荷在電場作用下運(yùn)動(dòng)而形成電流，如果電流密度不隨時(shí)間發(fā)生變化，那么就形成了恒定電場.對于恒定電場有根據(jù)高斯散度定理，它的微分形式為歐姆定律的微分形式為(2.54)(2.55)(2.56)在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，，于是有(2.57)第34頁,共66頁，2024年2月25日，星期天式(2.54)和式(2.63)稱為恒定電場的基本方程，式（2.57）和式(2.64)稱為恒定電場基本方程的微分形式。（2.65）焦耳定律第35頁,共66頁，2024年2月25日，星期天由恒定電場的基本方程的積分形式可以得出恒定電場的邊界條件（證明方法與靜電場的邊界條件相同）：其矢量形式分別為第36頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.15平行板電容器中填充兩層介質(zhì)，介電常數(shù)和電導(dǎo)率分別為、和、，如圖2.18所示。在外加電壓U時(shí)，求：（1）導(dǎo)線中通過的電流；（2）在交界面上積聚的自由面電荷密度。解（1）近似認(rèn)為平行板電容器由理想導(dǎo)體構(gòu)成，極板面積S很大，可忽略邊緣效應(yīng)，故電容器極板的電荷均勻分布，在充電結(jié)束后不隨時(shí)間發(fā)生變化，極板間形成恒定電場。設(shè)導(dǎo)線中的電流為I，也就是在介質(zhì)中S面上流過的電流為I，有第37頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第38頁,共66頁，2024年2月25日，星期天可見，在介質(zhì)1和介質(zhì)2的交界面上存在著自由電荷。這一點(diǎn)與理想介質(zhì)不同，對于介質(zhì)1和介質(zhì)2都是理想介質(zhì)，無漏電流，所以交界面的自由面電荷密度為零。第39頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.6恒定磁場的基本方程磁通連續(xù)性方程恒定電流產(chǎn)生磁場稱為恒定磁場，它是不隨時(shí)間發(fā)生變化的。在恒定磁場中任意取一個(gè)曲面S，由矢量通量的定義可知，在S面上的磁通量為2.安培環(huán)路定理第40頁,共66頁，2024年2月25日，星期天3.磁介質(zhì)把磁介質(zhì)放入磁場中，這個(gè)磁介質(zhì)被磁場所磁化，引入磁場強(qiáng)度H：磁介質(zhì)的情況較為復(fù)雜，對于弱磁介質(zhì)是各向同性的磁介質(zhì)有第41頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第42頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.16有一無限長同軸導(dǎo)體圓柱和圓筒，如圖2.20所示，其中通過的恒定電流自內(nèi)導(dǎo)體流入，外導(dǎo)體流出。已知內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)外半徑分別為b和c，電流密度在內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體均勻分布，導(dǎo)體間介質(zhì)為空氣μr=1，導(dǎo)體內(nèi)的μr也近似為1。求空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖2.20第43頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第44頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.7矢量磁位式中，A稱為矢量磁位，它的引入是為了分析求解某些問題更為方便，計(jì)算更為簡單。式（2.88）是電流為線分布的情況。如果電流是面分布的，面電流密度為JS，電流是體分布的，體電流密度為J，則矢量磁體相應(yīng)的關(guān)系式為第46頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.17一段長為2L的直導(dǎo)線，流過的電流為I，把它放置在空氣中，求空氣中P點(diǎn)的矢量磁位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解:建立坐標(biāo)系，如圖2.21所示，直導(dǎo)線與z軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn)在直導(dǎo)線中點(diǎn)。那么電流元Idl′在P點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位為圖2.21第47頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第48頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第49頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共66頁，2024年2月25日，星期天式中，C為常矢量，它的出現(xiàn)不會(huì)影響磁感應(yīng)強(qiáng)度B的計(jì)算對式(2.93)還可以直接對偏微分方程求解，但首先需要對式(2.93)在坐標(biāo)系中展開得到三個(gè)分量的泊松方程。例如，在直角坐標(biāo)系中第52頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.8恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件是不同的磁介質(zhì)分界面處，磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場強(qiáng)度H的變化規(guī)律。首先考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度B，根據(jù)磁通連續(xù)性方程可以得出B1n=B2n(2.105)用矢量形式表示為en·(B1-B2)=0(2.106)式中，en是分界面法向的單位矢量。在分界面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B的法向分量是連續(xù)的。第53頁,共66頁，2024年2月25日，星期天式中，en為界面法向方向的單位矢量。Js⊥是Js在en×(H1-H2)方向的分矢量。還可以得出在介質(zhì)分界面上，矢量磁位A是連續(xù)的。

下面考慮磁場強(qiáng)度H，根據(jù)安培環(huán)路定理得第54頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第55頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第56頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第57頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.9載流回路的電感和恒定磁場能量1.自感回路磁鏈與回路電流的比值稱為自感系數(shù)，簡稱自感。其表達(dá)式為L=ψ/I(2.125)在國際單位制中，自感系數(shù)L的單位是亨利（H）。自感的大小由回路的大小、幾何形狀、線圈的匝數(shù)以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)，而與線圈中流過的電流無關(guān)。第58頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.20兩個(gè)無限長平行的導(dǎo)線，半徑為a，流過的電流為I，如圖2.25所示，求在l長度上的外電感。圖2.25例2.20用圖第59頁,共66頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共66頁，2024年2月25日，星期天例2.21一個(gè)半徑為a的無限長直導(dǎo)線，在導(dǎo)線均勻流過的電流為I，求這個(gè)導(dǎo)線在單位長度上的內(nèi)電感，如圖2.26所示（設(shè)導(dǎo)體內(nèi)部的磁導(dǎo)率近似為μ0）。解:截面上的磁通并沒有與全部電流I交鏈，而只是與一部分電流交鏈，交鏈的總磁鏈為圖2.26第61頁,共66頁，2024年2月25日，星期天2.互感有兩個(gè)回路l1和l2，如圖2.27所示。如果第一個(gè)回路電流I1產(chǎn)生的磁場與第二個(gè)回路相交鏈的磁鏈為ψ12，則把ψ12與I1的比值定義為互感系數(shù)M12，即M12=ψ12/I1