考研數(shù)學(xué)專題-無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題(3套)

PAGE地第頁(yè)考研數(shù)學(xué)專題-無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題（1）一、選擇題：1．下列級(jí)數(shù)中，收斂的是()。A．B．C．D．2．下列級(jí)數(shù)中，收斂的是()。A．B．C．D．3．下列級(jí)數(shù)中，收斂的是()。A．B．C．D．4．部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的()。A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件5．設(shè)為非零常數(shù),則當(dāng)()時(shí),級(jí)數(shù)收斂。A．B．C． D．二、填空題：1．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)。2．設(shè)級(jí)數(shù)，收斂，則級(jí)數(shù)。3．若級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和，則，=。4．函數(shù)f(x)=lnx在x=1處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為_(kāi)_________。5．級(jí)數(shù)的和為_(kāi)_________..三、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性:1．2．3．判別級(jí)數(shù)的斂散性。4．求極限。5．求冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。6．求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。7．將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)。四、證明題1．若級(jí)數(shù)收斂，且，證明級(jí)數(shù)收斂。2．若級(jí)數(shù)收斂，，證絕對(duì)收斂?？佳袛?shù)學(xué)專題-無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題（2）一、選擇題：1．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為（）。A．B．C．D．2．已知收斂，收斂，則（）。A．為無(wú)窮大B．收斂C．發(fā)散D．?dāng)可⑿圆荒艽_定3．設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則（）。A．發(fā)散B．條件收斂C．?dāng)可⑿圆荒芘卸―．絕對(duì)收斂4．級(jí)數(shù)（）。A．發(fā)散B．條件收斂C．絕對(duì)收斂D．?dāng)可⑿圆荒芘卸?．若級(jí)數(shù)在x=-1條件收斂，則其在x=-2處（）。A．條件收斂B．絕對(duì)收斂C．發(fā)散D．不能確定6．級(jí)數(shù)（）。A．為無(wú)窮大B．收斂C．發(fā)散D．?dāng)可⑿圆荒艽_定二、填空題：1．設(shè)，則。2．。3．滿足的f(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式=。4．級(jí)數(shù)的斂散性為。5．若級(jí)數(shù)在收斂，則實(shí)數(shù)的范圍是.6．若冪級(jí)的收斂半徑為;的收斂半徑為,則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑至少為.三、計(jì)算題：1．判斷級(jí)數(shù)的斂散性。2．求級(jí)數(shù)的和函數(shù).3．求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。4．級(jí)數(shù)是否收斂？若是收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？5．求級(jí)數(shù)的和函數(shù)。6．求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。7．將函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)。四、證明題：證明若級(jí)數(shù)收斂（），則絕對(duì)收斂。五、綜合題1.已知，計(jì)算的值.2.設(shè)有兩條拋物線，記它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為（1）求兩條拋物線所圍圖形面積（2）求的和?？佳袛?shù)學(xué)專題-無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題（3）一、選擇題：1．若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)()A.收斂.B.收斂.C.收斂.D.收斂.2．設(shè)常數(shù)，則級(jí)數(shù)()A．發(fā)散B．絕對(duì)收斂C．條件收斂D．?dāng)可⑿耘ck的取值有關(guān)3．設(shè)，則級(jí)數(shù)()A.與都收斂.B.與都發(fā)散C.收斂，發(fā)散D.發(fā)散，收斂4．設(shè)，且則級(jí)數(shù)()A．發(fā)散B．絕對(duì)收斂C．條件收斂D．?dāng)可⑿圆荒艽_定5．設(shè)有級(jí)數(shù)與，若，，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（）A.5B.C.D.6．設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.B.若存在非零常數(shù)C.D.二、填空題：1．冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為2．.3．已知級(jí)數(shù)，，則級(jí)數(shù)等于.4．.5．級(jí)數(shù)的斂散性為.6．函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).三、計(jì)算題：1．將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù).2．求級(jí)數(shù)的和。3．求級(jí)數(shù)的和。四、證明題1．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問(wèn)級(jí)數(shù)是否收斂？并說(shuō)明理由。2．設(shè)，證明：（1）存在；（2）級(jí)數(shù)收斂五、綜合題1．設(shè)有方程，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng).2．求級(jí)數(shù)1+（）的和函數(shù)及其極大值.3．已知滿足（n為正整數(shù)），且，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和。無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題（1）答案一、選擇題：1、B2、B3、C4、C5、D6、A二、填空題：1．絕對(duì)收斂；2．絕對(duì)收斂；3．；。4．5．6.三、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性:1．提示：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值法，/=所以，級(jí)數(shù)發(fā)散；2．解：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法<,而收斂所以收斂；3．解：是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，，發(fā)散又，>,且，萊布尼茨定理，條件收斂；4．解：令，考慮級(jí)數(shù)，時(shí)，所以=5．求冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解：先求冪級(jí)數(shù)的和：時(shí)，令對(duì)上式求導(dǎo)，，也成立故；常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和=8。6．解：先將級(jí)數(shù)化為型。，令，考慮級(jí)數(shù)記，則，收斂半徑R＝4。所以時(shí)，收斂。當(dāng)x＝－1時(shí)，原級(jí)數(shù)化為；x＝3時(shí)，原級(jí)數(shù)化為，這均為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)。所以原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是。7．解：因?yàn)椋核裕核摹⒆C明題1．證明：因?yàn)?，所以收?．證明：因?yàn)?，所以有界，即存?使得對(duì)任意的n，有，于是，又級(jí)數(shù)收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法知，收斂，則收斂。無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題（2）答案一、選擇題：1．D2．B3．D4．C5．C6．B二、填空題：1．-7202．e-13．，4．級(jí)數(shù)收斂5．6．.三、計(jì)算題：1．解：級(jí)數(shù)的斂散性為2．解1：，這里，g(1)=0,故逐項(xiàng)積分得，從而，0<x<2.解2：令，兩邊同乘x-13．解：考慮求冪級(jí)數(shù)的和冪數(shù)s(x)，易知此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，且在[0,x]上逐項(xiàng)積分得：故，從而s(1)=2e，即原數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和為2e。4．解：，由于由比較審斂法得知發(fā)散故由萊布尼茨審斂法得知收斂，從而原級(jí)數(shù)是條件收斂的。5．解：這是缺項(xiàng)的冪函數(shù)，由于，因此當(dāng)<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)>1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?，1）。令s(x)=，s(0)=0，又，故，（－1<x<1）6．解：因?yàn)樗允諗堪霃絉=。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為：因上式右端兩個(gè)級(jí)數(shù)都收斂，所以級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為：因上式右端中第一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，第二個(gè)級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。由不等式，得，級(jí)數(shù)的收斂域是，收斂半徑R=。7．解：先將分項(xiàng)因，所以，。四、證明題：證明：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂（），所以由比較判別法可知收斂，又因?yàn)槭諗浚杀容^判別法可知絕對(duì)收斂。五、綜合題1.解：令,有=========2.解：（1）由可得

（2）=無(wú)窮級(jí)數(shù)自測(cè)題（3）答案一、選擇題：1．D2．C3．C4．C5．A6．B二、填空題：1．(-2,4)2．3．84．p>05．發(fā)散6．三、計(jì)算題：1．解：求導(dǎo)=積分：==因，故=注意：（1）積分時(shí)，易遺漏（2）積分后級(jí)數(shù)的收斂域可能擴(kuò)大，因此積分后要對(duì)收斂區(qū)間端點(diǎn)檢驗(yàn)斂散性。2．解：=其中，對(duì)連續(xù)求導(dǎo)兩次，得取故3．解：設(shè)，則其中，而且所以因此四、證明題1．證明：級(jí)數(shù)是收斂的。因?yàn)椋赫?xiàng)數(shù)列單調(diào)減少有下界，故存在，記為a，則若，則由萊布尼茨定理知收斂，與題設(shè)矛盾，故由根值審斂法，因，故原級(jí)數(shù)收斂。2．證明：（1），故為單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，所以存在