2023-2024學(xué)年廣東省深圳市名校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省深圳市名校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)2ii?A.1?i B.?1+i 2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinA=6A.22 B.43 C.3.如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖，△A′B′

A.2 B.22 C.4 4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=21，b=A.π6 B.5π6 C.π5.已知|OA|=2，|OB|=6，且OA.?32OB B.36.在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1CA.A，M，O三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.A，M，O三點(diǎn)共線

C.D，D1，O，M四點(diǎn)共面 D.A，B1，B，7.如圖，平行四邊形ABCD中，M是BC中點(diǎn)，N是CD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，若AB=

A.?95 B.?35 C.8.已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PA.14 B.13 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的有(

)A.若a與b是單位向量，則a?b=1

B.若非零向量a與b是相反向量，則|a|=|b|

C.|a?b|≤10.△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=3aA.π6 B.π3 C.π211.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA.若PD=3，則滿足條件的P點(diǎn)不唯一

B.若PD=3，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧

C.若PD/?/平面ACB1，則DP的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.紫砂壺是中國(guó)特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(其他因素忽略不計(jì))，如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的側(cè)面積約為_(kāi)_____cm213.設(shè)x∈R，向量a=(x,1)，b=(3,?314.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，M是邊BC邊上一點(diǎn)，∠BAM=30°，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=a?i(i為虛數(shù)單位，a∈R)，且z(1+i)是純虛數(shù)．16.(本小題15分)

已知向量a，b滿足|a|=2，|b|=1，a?(a?b)=1．17.(本小題15分)

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓半徑為R，且RsinA+bcosA=18.(本小題17分)

如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F、G分別為棱AB、BC、B1C1的中點(diǎn)．

(1)證明：B19.(本小題17分)

重慶是我國(guó)著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準(zhǔn)備在門(mén)前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類(lèi)似“冰淇淋”般的涼爽感，已知∠AOB=π4，弓形花園的弦長(zhǎng)AB=22，記弓形花園的頂點(diǎn)為M，∠MAB=∠MBA=π4，設(shè)∠O

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：2ii?1=2i(?1?i)(i2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得asinA=bsinB，

因?yàn)閟inA=643.【答案】B

【解析】解：把△ABC的斜二測(cè)直觀圖還原出原圖形，因?yàn)椤鰽′B′C′為等腰直角三角形，且A′B′=2，

所以AB=A′B′=24.【答案】C

【解析】解：由余弦定理知cosA=b2+c2?a22bc=165.【答案】D

【解析】解：由題意得AB?OB=(OB?OA)?OB=OB2?O6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，連接A1C1，AC，則A1C1/?/AC，∴A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，

∴A1C?平面ACC1A1，∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，

又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB17.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳B=AM+MB=AM+12DA=AM+12(DN+NA)=AM8.【答案】C

【解析】解：如圖，連接AC，記AC∩BQ=N，連接MN，

∵底面ABCD為平行四邊形，

∴ANNC=AQBC=12，

∵PA/?/平面MQB，PA?平面PAC，平面P9.【答案】BC【解析】解：a與b是單位向量且方向不同時(shí)，a?b≠1，A錯(cuò)誤；

根據(jù)相反向量的定義可知，a與b方向相反且兩個(gè)向量模相等，即|a|=|b|，B正確；

|a?b|=|a||b||cos?a,b?|≤|a||b|，C正確；

若b為零向量，10.【答案】AC【解析】解：因?yàn)閟inB=sin2A，所以sinB=2sinAcosA，

由正弦定理可得b=2acosA，又b=3a，所以cosA=32，

因?yàn)?<A<π，11.【答案】BC【解析】解：作出正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的圖形，如圖所示：

對(duì)于A：∵正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA1=1，

∴B1D1=22，B1D=(22)2+12=3，

∴B1與P重合時(shí)，PD=3，此時(shí)P點(diǎn)唯一，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖，以D1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y)，

∵PD=3，∴P12.【答案】16【解析】解：根據(jù)題意，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖為該圓臺(tái)的軸截面，

上底面半徑為r′=62=3，下底面半徑為r=102=5，高h(yuǎn)=4，

則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為16+13.【答案】3

[【解析】解：空1：因?yàn)閍⊥b，所以a?b=0，即3x?3=0，得x=3；

空2：由題知|ta+b|2=t2a2+b2+2ta?b=4t2+1214.【答案】4【解析】解：根據(jù)題意，可得S△ABM+S△ACM=S△ABC，

所以12AB?AMsinπ6+12AM?15.【答案】解：(1)∵z=a?i(a∈R)，且z(1+i)是純虛數(shù)，

∴(a?i)(1+i【解析】(1)把z=a?i(a∈R)代入z(1+i)，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解a值，則z16.【答案】解：(1)因?yàn)閨a|=2，|b|=1，a?(a?b)=1，設(shè)<a,b>=θ，

所以a?(a?b)=a【解析】(1)利用向量的數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律即可求解．

(2)由17.【答案】解：(1)由題知RsinA+2RsinBcosA=2RsinC，

所以sinA+2sinBcosA=2sinC．

又C=π?(A+B)，

所以sinA+2sinBcosA=2s【解析】(1)由RsinA+bcosA=c，利用正弦定理得到Rsi18.【答案】解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)M，連接EM、GM，

在△ABC中，由于E、M分別為AB、AC的中點(diǎn)，

則EM/?/BC且EM=12BC，

又由G為B1C1的中點(diǎn)，B1C1/?/BC，則有B1G//BC且B1G=12BC，

故有B1G//EM且B1G=EM，

四邊形EMGB1為平行四邊形，必有B1E//GM，

又由MG//EM，B1E?平面ACG，所以有BE//平面ACG；

(2)【解析】(1)根據(jù)題意，取AC的中點(diǎn)M，連接EM、GM，由中位線的性質(zhì)分析可得B1G//EM且B1G=EM，由此可得四邊形E