2023-2024學年上海格致中學高一數(shù)學下學期期中考試卷附答案解析

-2024學年上海格致中學高一數(shù)學下學期期中考試卷（測試90分鐘內(nèi)完成，總分100分）2024.4一、填空題：（本題共有12個小題，每小題4分，滿分48分）1．不等式的解集為．2．函數(shù)的最小正周期是，則.3．已知集合，，且．則實數(shù)的取值范圍為．4．已知向量，，則在的方向上的數(shù)量投影為．5．若，則的最小值是．6．已知向量的夾角為，，若，則實數(shù)x的值為．7．已知α為銳角，且cos(α＋)＝，則sinα＝．8．函數(shù)，R的單調(diào)遞增區(qū)間為9．已知函數(shù)（）是偶函數(shù)，則的最小值是．10．已知方程在上有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是．11．已知菱形ABCD的邊長為2，，點E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為．12．設(shè)，函數(shù).若在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象有三個交點，則的取值范圍是.二、選擇題：（本題共有4個小題，每小題4分，滿分16分）13．在中，是為等腰三角形的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度15．已知實數(shù)，若函數(shù)滿足：當時，恒成立，則可取值的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．116．在給出的下列命題中，是假命題的是A．設(shè)是同一平面上的四個不同的點，若，則點必共線B．若向量是平面上的兩個不平行的向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C．已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形D．在平面上的所有向量中，不存在這樣的四個互不相等的非零向量，使得其中任意兩個向量的和向量與余下兩個向量的和向量相互垂直三、解答題：（本題共有4大題，滿分36分．解題時要有必要的解題步驟）17．已知為坐標原點，向量，，，若，，三點共線，且，求實數(shù)，的值．18．如圖，點是單位圓與軸正半軸的交點，點在單位圓上，（），，四邊形的面積為．(1)求的最大值及此時的值；(2)設(shè)點的坐標為，，在（1）的條件下，求的值．19．在中，角所對的邊分別為，且(1)若成等比數(shù)列，求角的大??；(2)若，且，求的面積．20．已知函數(shù)，其中．(1)若，求的對稱中心；(2)若，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點，若函數(shù)在（且）上恰好有8個零點，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．1．或【分析】由題可得，進而即得.【詳解】由，得，所以或，故不等式得解集為或．故答案為：或．2．2【分析】根據(jù)周期的計算公式，代入周期即可得到的值.【詳解】因為，所以.故答案為.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期公式的運用，難度較易.知道其中一個量即可求解另一個量.3．【分析】利用建立不等關(guān)系，求解即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：4．##【分析】利用數(shù)量投影的定義可求答案.【詳解】向量，，在的方向上的數(shù)量投影為.故答案為：5．3【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當且僅當即時取等號，∴時取得最小值3.故答案為：3．6．3【分析】根據(jù)得到，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量積的概念以及運算律得到，解方程即可.【詳解】因為，則，所以，，，，解得，故答案為：3.7．【詳解】．點睛：本題考查三角恒等關(guān)系的應用．本題中整體思想的應用，將轉(zhuǎn)化成，然后正弦的和差展開后，求得，代入計算即可．本題關(guān)鍵就是考查三角函數(shù)中的整體思想應用，遵循角度統(tǒng)一原則．8．，【詳解】因為,∴單調(diào)遞增區(qū)間為，【點睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間9．##【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，的最小值是.故答案為：.10．【分析】先化簡函數(shù)結(jié)合其值域可求答案.【詳解】，因為，所以，，，所以，即.故答案為：11．【分析】由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當且僅當時等號成立），的最小值為．故答案為：．12．.【分析】利用在上單調(diào)遞增可得，函數(shù)與的圖象有三個交點，可轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的實數(shù)根可得答案.【詳解】當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，又函數(shù)與的圖象有三個交點，所以在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，所以，解得，當時，令，由時，，當時，，此時，，結(jié)合圖象，所以時，函數(shù)與的圖象只有一個交點，綜上所述，.故答案為：.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的實數(shù)根.13．A【詳解】因為中，，則A=B，那么為等腰三角形，反之，不一定成立，故是為等腰三角形的充分不必要條件，選A14．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.

15．C【分析】把的取值逐個代入檢驗可得答案.【詳解】當時，若恒成立，則，即，由于，所以恒成立，此時符合題意；當時，若恒成立，則，即，由于，所以恒成立，此時符合題意；當時，若恒成立，則，即，由于，所以不成立，此時不符合題意；當時，若，則，不滿足，不合題意.故選：C16．D【詳解】由則點必共線，故A正確；由平面向量基本定理可知B正確；由可知為的外心，由可知為的重心，故為的中心，即是等邊三角形，故C正確；存在四個向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意兩個向量的和向量與余下兩個向量的和向量相互垂直,D錯誤故選D.17．或【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運算，利用向量平行的條件即可求解.【詳解】因為向量，，，所以，,因為，，三點共線，所以平行，所以，即，將代入中，得或.18．(1)最大值是，此時.(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得點坐標，根據(jù)向量數(shù)量積可得，根據(jù)向量加法幾何意義得四邊形為平行四邊形，可得求解析式，根據(jù)配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值以及對應自變量；（2）由三角函數(shù)定義可得的正切值，結(jié)合兩角和的正切公式可得．【詳解】（1）由題意知的坐標分別為，．，.由題意可知.，.所以，故時，的最大值是，此時.（2），，..19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用數(shù)量積的定義化簡得到，再由余弦定理得到，結(jié)合，求得，即可求解；（2）由（1）知，根據(jù)題意，利用正弦定理可得，聯(lián)立方程組求得的值，結(jié)合余弦定理求得，得到，利用面積公式，即可求解.【詳解】（1）因為，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得，由余弦定理可得，整理得，因為成等比數(shù)列，所以，解得所以為等邊三角形，所以.（2）解：由（1）知，又由，根據(jù)正弦定理可得，聯(lián)立方程組，解得，因為，所以，，由余弦定理可得，所以，所以的面積為.20．(1)(2)(3)【分析】（1）利用倍角公式化簡函數(shù)解析式，由已知確定最小正周期，可得，整體代入法求的對稱中心；（2）由圖象平移變換得到函數(shù)，結(jié)合和，得，根據(jù)的零點個數(shù)可得，要使最小，則恰好為的零點，由此求的最小值；（3）根據(jù)已知，在上，的值域是值域的子集，求出這兩個值域，由包含關(guān)系構(gòu)造不等式示結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，若，則與是相鄰的最小值點和最大值點，的最小正周期為，由，解得，得，令，解得，此時，所以的對稱中心為.（2），，，所以或解得或，又，得，所以，函數(shù)最小正周期，令，即，解得或，若在上