2023-2024學(xué)年北京理工大附屬中學(xué)中考數(shù)學(xué)模試卷含解析

2023-2024學(xué)年北京理工大附屬中學(xué)中考數(shù)學(xué)模試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．下列各類數(shù)中，與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系的是（）A．有理數(shù)B．實數(shù)C．分數(shù)D．整數(shù)2．如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的主視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最少是（）A． B． C． D．3．下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2=a4 B．a(chǎn)5?a2=a7 C．（a2）3=a5 D．2a2﹣a2=24．如圖，共有12個大不相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分．現(xiàn)從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，則能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)中，y隨著x的增大而減小的是（）A．y=3x B．y=﹣3x C． D．6．桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊的黑點，則B球一次反彈后擊中A球的概率是（）A． B． C． D．7．如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形”．將半徑為5的“等邊扇形”圍成一個圓錐，則圓錐的側(cè)面積為（）A． B．π C．50 D．50π8．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點，若AB＝14，BC＝1．則∠BDC的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°9．下列一元二次方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=010．估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．若點M（1，m）和點N（4，n）在直線y=﹣x+b上，則m___n（填＞、＜或=）12．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．13．有兩個一元二次方程：M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a+c=0，以下列四個結(jié)論中正確的是_____（填寫序號）．①如果方程M有兩個不相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個不相等的實數(shù)根；②如果方程M有兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同；③如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1；④如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根．14．分解因式：_______________.15．若點A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則m的值為．16．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)都在反比例函數(shù)y＝的圖象上．若x1x2＝﹣4，則y1y2的值為______．17．如圖，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△AB1C1，則陰影部分的面積為_______.三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，BC是路邊坡角為30°，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內(nèi)，CM∥AN）．求燈桿CD的高度；求AB的長度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：=1.1．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）19．（5分）如圖，某校一幢教學(xué)大樓的頂部豎有一塊“傳承文明，啟智求真”的宣傳牌CD、小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，然后沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的鉛直高度與水平寬度的比），經(jīng)過測量AB＝10米，AE＝15米，求點B到地面的距離；求這塊宣傳牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果保留根號）20．（8分）如圖，正六邊形ABCDEF在正三角形網(wǎng)格內(nèi)，點O為正六邊形的中心，僅用無刻度的直尺完成以下作圖．（1）在圖1中，過點O作AC的平行線；（2）在圖2中，過點E作AC的平行線．21．（10分）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）22．（10分）某商場購進一種每件價格為90元的新商品，在商場試銷時發(fā)現(xiàn)：銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如圖所示的關(guān)系．求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出售價定為多少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？23．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點O，點E在AO上，且OE=OC．求證：∠1=∠2；連結(jié)BE、DE，判斷四邊形BCDE的形狀，并說明理由.24．（14分）臺州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p(元/千克)與時間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系為：p=t+16，日銷售量y(千克)與時間第t(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求日銷售量y與時間t的函數(shù)關(guān)系式？(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】

根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系解答．【詳解】實數(shù)與數(shù)軸上的點存在一一對應(yīng)關(guān)系，故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點來表示，反過來，數(shù)軸上的每個點都表示一個唯一的實數(shù)，也就是說實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).2、B【解析】

主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形．【詳解】綜合主視圖和俯視圖，底層最少有個小立方體，第二層最少有個小立方體，因此搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是個．故選：B．【點睛】此題考查由三視圖判斷幾何體，解題關(guān)鍵在于識別圖形3、B【解析】

根據(jù)整式的加減乘除乘方運算法則逐一運算即可?！驹斀狻緼.，故A選項錯誤。B.，故B選項正確。C.，故C選項錯誤。D.，故D選項錯誤。故答案選B.【點睛】本題考查整式加減乘除運算法則，只需熟記法則與公式即可。4、D【解析】

由正方體表面展開圖的形狀可知，此正方體還缺一個上蓋，故應(yīng)在圖中四塊相連的空白正方形中選一塊，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】因為共有12個大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個小正方形是一個正方體的表面展開圖的一部分，所以剩下7個小正方形．在其余的7個小正方形中任取一個涂上陰影，能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的小正方形有4個，因此先從其余的小正方形中任取一個涂上陰影，能構(gòu)成這個正方體的表面展開圖的概率是．故選D．【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，掌握概率公式是本題的關(guān)鍵．5、B【解析】試題分析：A、y=3x，y隨著x的增大而增大，故此選項錯誤；B、y=﹣3x，y隨著x的增大而減小，正確；C、，每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，故此選項錯誤；D、，每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大，故此選項錯誤；故選B．考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)．6、B【解析】試題解析：由圖可知可以瞄準的點有2個．．∴B球一次反彈后擊中A球的概率是.故選B．7、A【解析】

根據(jù)新定義得到扇形的弧長為5，然后根據(jù)扇形的面積公式求解．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=?5?5=．故選A．【點睛】本題考查圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．8、B【解析】

只要證明△OCB是等邊三角形，可得∠CDB=∠COB即可解決問題.【詳解】如圖，連接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=∠COB=30°，故選B．【點睛】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的首先解決問題，屬于中考?？碱}型．9、B【解析】分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可．詳解：A、x2+6x+9=0.△=62-4×9=36-36=0，方程有兩個相等實數(shù)根；B、x2=x.x2-x=0.△=（-1）2-4×1×0=1＞0.方程有兩個不相等實數(shù)根；C、x2+3=2x.x2-2x+3=0.△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程無實根；D、（x-1）2+1=0.（x-1）2=-1，則方程無實根；故選B．點睛：本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．10、C【解析】

根據(jù)，可以估算出位于哪兩個整數(shù)之間，從而可以解答本題．【詳解】解：∵即

故選：C．【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是明確估算無理數(shù)大小的方法．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、＞【解析】

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，k<0時，y隨x的增大而減小.【詳解】因為k=﹣<0,所以函數(shù)值y隨x的增大而減小，因為1<4,所以，m>n.故答案為：>【點睛】本題考核知識點：一次函數(shù).解題關(guān)鍵點：熟記一次函數(shù)的性質(zhì).12、（y﹣1）1（x﹣1）1．【解析】解：令x+y=a，xy=b，則（xy﹣1）1﹣（x+y﹣1xy）（1﹣x﹣y）=（b﹣1）1﹣（a﹣1b）（1﹣a）=b1﹣1b+1+a1﹣1a﹣1ab+4b=（a1﹣1ab+b1）+1b﹣1a+1=（b﹣a）1+1（b﹣a）+1=（b﹣a+1）1；即原式=（xy﹣x﹣y+1）1=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]1=[（y﹣1）（x﹣1）]1=（y﹣1）1（x﹣1）1．故答案為（y﹣1）1（x﹣1）1．點睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（1）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的時候，要注意整體換元法的靈活應(yīng)用，訓(xùn)練將一個式子看做一個整體,利用上述方法因式分解的能力.13、①②④【解析】試題解析：①在方程ax2+bx+c=0中△=b2-4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2-4ac，

∴如果方程M有兩個不相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個不相等的實數(shù)根，正確；

②∵和符號相同，和符號也相同，

∴如果方程M有兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，正確；

③、M-N得：（a-c）x2+c-a=0，即（a-c）x2=a-c，

∵a≠c，

∴x2=1，解得：x=±1，錯誤；④∵5是方程M的一個根，

∴25a+5b+c=0，

∴a+b+c=0，

∴是方程N的一個根，正確．

故正確的是①②④．14、(x+y)(x-y)【解析】直接利用平方差公式因式分解即可，即原式=(x+y)(x-y)，故答案為(x+y)(x-y).15、1【解析】

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k=3×（﹣4）=﹣2m，然后解關(guān)于m的方程即可．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，根據(jù)題意得k=3×（﹣4）=﹣2m，解得m=1．故答案為1．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．16、﹣1．【解析】

根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到再把它們相乘，然后把代入計算即可．【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為:?1.【點睛】考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點的坐標代入反比例函數(shù)解析式得到是解題的關(guān)鍵.17、π【解析】試題分析：∵，∴S陰影===．故答案為．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；扇形面積的計算．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）10米；（2）11.4米【解析】

（1）延長DC交AN于H．只要證明BC=CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解決問題.【詳解】（1）如圖，延長DC交AN于H，∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）；（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH=≈=20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.19、（1）2；（2）宣傳牌CD高（20﹣1）m．【解析】試題分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH==i==．得到∠BAH=30°，于是得到結(jié)果BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×=2；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=1．cos30°=2．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，得到DE=12，如圖，過點B作BF⊥CE，垂足為F，求出BF=AH+AE=2+12，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=12﹣2．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，求得∠C=∠CBF=42°，得出CF=BF=2+12，即可求得結(jié)果．試題解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH==i==，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=1sin30°=1×=2．答：點B距水平面AE的高度BH是2米；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=1．cos30°=2．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，∴DE=12，如圖，過點B作BF⊥CE，垂足為F，∴BF=AH+AE=2+12，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=12﹣2．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣42°=42°，∴∠C=∠CBF=42°，∴CF=BF=2+12，∴CD=CF﹣DF=2+12﹣（12﹣2）=20﹣1（米）．答：廣告牌CD的高度約為（20﹣1）米．20、（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.【解析】試題分析：利用正六邊形的特性作圖即可.試題解析：（1）如圖所示（答案不唯一）：（2）如圖所示（答案不唯一）：21、5.5米【解析】

過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關(guān)于x的方程，解出即可.【詳解】解：過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，則AD=CD=x.在Rt△BCD中，∠CBD=45°，則BD=CD=x.由題意得，x﹣x=4，解得：.答：生命所在點C的深度為5.5米.22、（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售價定為130元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是2元．【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）用每件的利潤乘以銷售量得到每天的利潤W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+170；（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴當x=130時，W有最大值2．答：售價定為130元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是2元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：利用二次函數(shù)解決利潤問題，先利用利潤=每件的利潤乘以銷售量構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，一定要注意自變量x的取值范圍．23、（1）證明見解析；（2）四邊形BCDE是菱形，理由見解析.【解析】

（1）證明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的對應(yīng)角相等證得結(jié)論.（2）首先判定四邊形BCDE是平行四邊形，然后利用對角線垂直的平行四邊形是菱形判定菱形即可