湖南省懷化市楠木鋪鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

湖南省懷化市楠木鋪鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線的離心率為,則它的漸近線方程是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），則該四面體中以平面為投影面的正視圖的面積為A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)O（0，0，0），A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，1），易知該四面體中以平面為投影面的正視圖為直角梯形OABC,其中OA=1，AB=2，OA=2，所以S=3.3.已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若ΔABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為(

)A．(1，+∞)

B．(1,2)

C．(1,1+)

D．(2,1+)參考答案：B4.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是

（

）

A．直線

B．橢圓

C．拋物線

D．雙曲線

參考答案：D5.已知a=sin，b=cos，c=tan，則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)線．【分析】因?yàn)椋迹?，所以cos＜sin，tan＞1，即可得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)椋迹?，所以cos＜sin，tan＞1，所以b＜a＜c．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．6.三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=4,AA1=6，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A．68π

B．32π

C．17π

D．164π參考答案：A7.△ABC中，，則等于 A．

Ｂ．或 C．Ｄ．

參考答案：B8.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=﹣1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念得出＞k＞1，用x=代入可判斷出f（）＞，即可判斷答案．【解答】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，當(dāng)x=時(shí)，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出錯(cuò)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，不等式的化簡運(yùn)算，屬于中檔題，理解了變量的代換問題．9.設(shè)全集為R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，則A∩（?RB）=（）A．（﹣3，5] B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）參考答案：B考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題：集合．分析：求出A中不等式的解集確定出A，根據(jù)全集R及B，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），∵全集R，B=（﹣1，5]，∴?RB=（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞），則A∩（?RB）=（﹣3，﹣1]，故選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．10.已知AB是橢圓=1的長軸，若把線段AB五等份，過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，分別與橢圓的上半部分相交于C、D、E、G四點(diǎn)，設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（

）A．15

B．16

C．18

D．20參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）已知||=1，||=2，|3+|=4，則||=

．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題： 計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析： 運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值．解答： 由||=1，||=2，|3+|=4，則（3+）2=9++6=16，即為9+4+6=16，即有=，則||====．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.以拋物線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2的雙曲線方程是

.參考答案：略13.已知：向量，則

。參考答案：

依題意得。本題考查向量的相關(guān)運(yùn)算規(guī)則。14.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于_______.

參考答案：由題意可得，所以.

15.設(shè)

的最大值為16，則

。參考答案：16.設(shè)的最大值是

.

參考答案：略17.函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：a≤-3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某印刷廠為了研究單冊書籍的成本（單位：元）與印刷冊數(shù)（單位：千冊）之間的關(guān)系，在印制某種書籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲：，方程乙：.（1）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù).①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）；②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.（2）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進(jìn)行二次印刷，根據(jù)市場調(diào)查，新需求量為10千冊，若印刷廠以每冊5元的價(jià)格將書籍出售給訂貨商，求印刷廠二次印刷10千冊獲得的利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊書的成本）.參考答案：解：（1）經(jīng)計(jì)算，可得下表：②，，，故模型乙的擬合效果更好；（2）二次印刷10千冊，由（1）可知，單冊書印刷成本為（元）故印刷總成本為16640（元），印刷利潤33360元19.在中，三內(nèi)角A，B，C的大小為等差數(shù)列，求的取值范圍。

參考答案：20.已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）的離心率等于，點(diǎn)P（2，）在橢圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)Q（2，0）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，是否存在定直線l′：x=t，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線BM上？若存在，求出一個(gè)滿足條件的t值；若不存在，說明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）由題意可得：，解得即可．（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，M，N，聯(lián)立直線AN、BM的方程可得G．猜測常數(shù)t=8．即存在定直線l′：x=t，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線BM上．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三點(diǎn)共線可得t（x2+4）﹣12y2=0，只要證明三點(diǎn)B，M，G共線即可．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．解答： 解：（1）∵橢圓C：+=1，（a＞b＞0）的離心率等于，點(diǎn)P（2，）在橢圓上．∴，解得a2=16，b2=4，c=．∴橢圓C的方程為．（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，M，N，直線AN、BM的方程分別為，．分別化為：=0，=0．聯(lián)立解得G．猜測常數(shù)t=8．即存在定直線l′：x=t，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線BM上．證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．聯(lián)立，化為（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣16=0．∴，．∵=（12，t），=（x2+4，y2），三點(diǎn)A，N，G共線．∴t（x2+4）﹣12y2=0，∴=由于=（4，t），=（x1﹣4，y1），要證明三點(diǎn)B，M，G共線．即證明t（x1﹣4）﹣4y1=0．即證明﹣4k（x1﹣2）=0，而3（x2﹣2）（x1﹣4）﹣（x1﹣2）（x2+4）=2x1x2﹣10（x1+x2）+32==0，∴﹣4k（x1﹣2）=0成立．∴存在定直線l′：x=8，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線BM上．綜上可知：存在定直線l′：x=8，使得l′與AN的交點(diǎn)G總在直線BM上．點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21.甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的5道題．規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，至少得15分才能入選．（Ⅰ）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）確定乙答題所得分?jǐn)?shù)的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對(duì)2題才能入選，求出甲、乙入選的概率，利用對(duì)立事件，即可求得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為﹣15，0，15，30．；

；；

．

…乙得分的分布列如下：X﹣1501530P．

…（6分）（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對(duì)2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B．則，…（8分）．

…（10分）故甲乙兩人至少有一人入選的概率．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查互斥事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，計(jì)算其概率是關(guān)鍵．22.（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且有.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，記