全等三角形倍長(zhǎng)中線(含答案)

全等三角形倍長(zhǎng)中線三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)見(jiàn)到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線以及中位線定理(以后還要學(xué)習(xí)中線長(zhǎng)公式)，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線的應(yīng)用更是較為常見(jiàn)．例1、已知：中，是中線．求證：．如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，利用證得≌，∴中，，∴∴練習(xí)：在中，，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么？中線倍長(zhǎng)，例2、如圖，中，，是中線．求證：．延長(zhǎng)到，使，連結(jié)．在和中∴∴，在中，∵，∴∴，∴．(如果取中點(diǎn)用中位線也可證，目前還不能)例3、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，，求證：．延長(zhǎng)到，使，連結(jié)∵，，∴∴．又∵，∴∴∴，∴．例4、如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)．在和中∴∴，∴，而∴又∵∴，∴∴為的角平分線．例5、已知△ABC，，D，E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE．(等腰三角形、線段相等)(一)過(guò)E作EF∥AB，交BC的延長(zhǎng)線于F，則∠B=∠F∵∠3=∠4，∠3=∠B∴∠4=∠F∴CE=EF在△GEF與△GDB中，∴△GFE≌△GBD∴證明(二)過(guò)D，E分別作直線DK⊥CB，EF⊥CB∵∠1=∠2∠2=∠B∴∠1=∠B又∵BD=CE∴Rt△BDK≌△CEF∴DK=EF又∵∠3=∠4．∴Rt△DKG≌Rt△EFG∴GD=GE證明(三)過(guò)D點(diǎn)作DK∥AC交BC于K過(guò)D點(diǎn)作DF∥BC交AC于F∴四邊形DKCF是開(kāi)行四邊形∴DK=FC∠1=∠C∵∠C=∠B∴∠1=∠B∴DB=DK=CE=CF∴C是EF中點(diǎn)，∴BC∥DF∴G是DE中點(diǎn)，∴DG=EG注(此題還有他法，可補(bǔ)充)例6、已知為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．延長(zhǎng)到，使，連結(jié)、．易證≌，∴，又∵，的平分線分別交于、交于，∴，利用證明≌，∴，在中，，∴．例7、已知：如圖，梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．求證：．∵點(diǎn)是中點(diǎn)∴又∵，在延長(zhǎng)線上∴，在與中∴例8、如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，，分別是及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，．求證：．∵，∴．又∵，，∴．例9、在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿(mǎn)足．若，，則線段的長(zhǎng)度為_(kāi)________．如圖、延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，聯(lián)結(jié)、．由，有．又，．例10、如圖所示，在和中，、分別是、上的中線，且，，，求證．如圖所示，分別延長(zhǎng)、至、，使，．連接、，則，．因?yàn)?，所以．在和中，，，，故，從而，．同理，，則，．因?yàn)?，所以．在和中，，，，所以，從而，，故，則．在和中，，，，故．練習(xí)1、如圖，在等腰中，，是的中點(diǎn)，過(guò)作，，且．求證：．本題相對(duì)例題簡(jiǎn)單一些．連結(jié)，則．∵，，∴∴，∴．2、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于，與相等嗎？為什么？延長(zhǎng)到，使，連結(jié)∵，，∴．∴．又∵，∴∴，而∴，故．3、如右下圖，在中，若，，為邊的中點(diǎn)．求證：．如右下圖，則取邊中點(diǎn)，連結(jié)、．由中位線可得，且．為斜邊上的中線，∴．∴，又∵，即，∴，∴，∴．4、如圖，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的直線分別交DA、BC的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)．求證：∠E=∠F(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，過(guò)