新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊學(xué)案：第5章函數(shù)的奇偶性

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5.4函數(shù)的奇偶性

第1課時函數(shù)奇偶性的概念

課程

結(jié)合具體函數(shù).「解奇偶性的概念和幾何意義

標(biāo)準(zhǔn)

》基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

概念認(rèn)知

函數(shù)的奇偶性

⑴奇偶性:

奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)

條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，如果對于任意的xeA，都有-xeA

前提f(-x)=f(x)f(-X)=-f(x)

結(jié)論函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)

圖象特點關(guān)于謝對稱關(guān)于原點對稱

⑵本質(zhì)：奇偶性是函數(shù)對稱性的表示方法.

⑶應(yīng)用：奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對其定義域內(nèi)的每一個X,

都有f(-X)=-f(x)(或f(-X)=f(x)),才能說f(x)是奇(偶)函數(shù).

自我小測

1.(2021.南京高一檢測)若f(x)是定義在區(qū)間[a-2,5]上的奇函數(shù)，

貝Ua二.

易知a-2+5=0,所以a=-3.

M口：空?_~Q

2.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A.y=|x|B.y=3-x

C.y=!D.y=-x2+14

X

選C.A、D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而

C項中函數(shù)為奇函數(shù).

3.對于定義在R上的任何奇函數(shù)f(x)都有()

A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0

C.f(x).[-f(-x)]<0D.f(x).[-f(-x)]>0

選D.因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)-[-f(-x)]=

f2(x)>0.

4.設(shè)f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，則函數(shù)F(x)=f(x)-f(-x)在R

上一定()

A.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

選A.F(-x)=f(-x)-f(x)

=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),符合奇函數(shù)的定義.

5.如圖，給出奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象，則f(-2)+f(-1)的值為

A.1B.0C.-2D.2

-13

選C.由題圖知f(l)=],f(2)=],

,31

又f(x)為奇函數(shù)，所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(l)=--2=-2.

6.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是_______.(填序號)

(l)y=x；(2)y=2x2-3；(3)y=y/x；

(4)y=x3,xG[O,1].

⑴中函數(shù)是奇函數(shù)；(2)中函數(shù)是偶函數(shù)；(3)(4)中函數(shù)是非奇非偶函

數(shù).

答案：(1)

7.已知奇函數(shù)y=f(x)的定義域為[-5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖象

如圖所示.

⑴畫出在區(qū)間［-5,0］上的圖象.

⑵寫出使f(x)<0的x的取值范圍.

⑴因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y=f(x)在［-5,5］上的圖象關(guān)于原點

對稱.

由y=f(x)在［0,5］上的圖象，可知它在［-5,0］上的圖象，如圖所示.

(2)由圖象知，使f(x)<0的x的取值范圍為(-2,0)U(2,5).

為學(xué)情診斷?課時測評《

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1.(2021.淮安高一檢測)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于()

A.

A.x軸對稱B.原點對稱

C.y軸對稱D.直線y=x對稱

選B.易證明此函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點對稱.

2.下列各圖中，表示以x為自變量的奇函數(shù)的圖象是(

選B.A,D不是函數(shù)；C是偶函數(shù).

3.已知心)=*5+2*3+6*-8，且f(-2)=10,貝Uf(2)等于()

A.-26B.-18C.-10D.10

選A.令g(x)=x5+ax3+bx,

函數(shù)f(x)的定義域為R.

因為對于任意xGR,都有-x￡R,且g(-x)=-g(x),所以g(x)為

奇函數(shù).

又因為f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10今g(-2)=18.所以

g(2)=-18.

所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.

4.若f(x)=(ax+l)(x-a)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)在xe(0,+oo)

上是增函數(shù)，則實數(shù)a的值為()

A.±1B.-1C.1D.0

選C.因為f(x)=(ax+l)(x-a)=ax2+(l-a2)x-a為偶函數(shù)，所以1-

a2=0.所以a=±1.當(dāng)a=1時，f(x)=x?-1,在(0,+8)上是增函數(shù)，

滿足條件；當(dāng)a=-1時，f(x)=-x2+1,在(0,+8)上單調(diào)遞減，不

滿足條件.

5.函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-1|為()

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

選A.f(x)的定義域為R,

對于任意x￡R,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|

=|x-1|-|x+1|=-f(x),

所以f(x)為奇函數(shù).又f(-1)=-2,f⑴=2,

f(-l)#f(l),所以f(x)不是偶函數(shù).

6.已知f(x)=ax2+bx是定義在區(qū)間［aT,2a］上的偶函數(shù),那么a

1111

A-B-cD

-332--2-

選B.依題目b=0,且2a=-(a-1),

所以b=0且a=；，所以a+b=；.

7.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函

數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.f(x)g(x)是彳禺函數(shù)

B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

c.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

選C.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，

故f(x)g(x)為奇函數(shù),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),f(x)|g(x)|為奇函數(shù),|f(x)g(x)|

為偶函數(shù).

8.(多選)下列說法正確的是()

A.f(x)=|x+1|+|x-1是奇函數(shù)

B.g(x)=?—1------既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

|x+2|-2

C.F(x)二f(x)f(-x)(x￡R)是偶函數(shù)

D.h(x)=yjx2-1+\jl-x2既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)

選CD.對于A項,因為f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=

f(x),所以f(x)是偶函數(shù)，A錯誤；

對于B項，由1-，得-IgxSl,關(guān)于原點對稱.

滿足g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函數(shù),B項錯誤；

對于C項,因為F(x)=f(x)f(-x),

所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(xeR),

所以F(x)=f(x)f(-x)是偶函數(shù)，C項正確；

X2-1>0,

對于D項，由解得x=±I.

1-x2>0,

故函數(shù)h(x)的定義域為{-1,1},且h(x)=O,

所以h(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，D項正確.

二、填空題

9.已知函數(shù)f(x)=yjx2-2+3^2-x2,貝Uf(x)的奇偶性為

要使函數(shù)有意義，需滿足x2-2>0,2-x2>0,所以x=地,此時y

=0，因此函數(shù)圖象為點(地,0),既關(guān)于原點對稱又關(guān)于y軸對稱,

因此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

F=FF-=-(1+A/2'

1-V2(1-^2)(1+^2)，

因為f(x)是奇函數(shù)，

所以=f[-(l+V2)]=-f(l+V2).

所以f(l+也)+flJ=0.

答案：0

三、解答題

11.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(l)f(x)=|2x+l|-|2x-1|；

fx(X-2),x>0,

(2)f(x)=]

[-x(x+2),x<0.

(D奇函數(shù).定義域為R.

因為f(-x)=|-2x+1|-|-2x-1|=|2x-1|-|2x+1|=-f(x)所以f(x)

為奇函數(shù).

⑵奇函數(shù).畫出其圖象如圖，可見f(x)的定義域為R,且圖象關(guān)于原

點對稱，所以f(x)為奇函數(shù).

12.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-4|x|+3,(x￡[-4,4]).

⑴求證：f(x)是偶函數(shù)；

⑵畫出函數(shù)y=|f(x]的圖象，指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(不需要證明)

(3)求函數(shù)|f(x)的值域.

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，

f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3

=f(x),則f(x)是偶函數(shù).

(2)由f(x)=x2-4|x|+3>0得|x|>3或|x|<1,

x2-4|x|+3,|x|<l或3<|x|<4,

即y=|f(x)|二j

[-X2+4|X|-3,1<|X|<3,

則對應(yīng)的圖象如圖：

由圖象知函數(shù)的增區(qū)間為[-3,-2],[-1,0],[1,2],[3,4],減

區(qū)間為[-4,-3),(-2,-1),(0,1),(2,3).

⑶當(dāng)x=0或*=4或*=-4時，函數(shù)|f(x)|取得最大值為|f(0)|=3,函

數(shù)的最小值為0,即函數(shù)|f(x)的值域為[0,3].

綜合突破練

一、選擇題

1.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)-g(x)

=x3+x?+x,則f(l)+g(l)=()

A.1B.3C.-3D.-1

選D.由f(x)-g(x)=x3+x2+X,將X替換成-X,得f(-x)-g(-x)=

-X3+X2-X.

因為f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則f(x)=f(-x),

g(-X)=-g(x),

所以f(x)+g(x)=-X3+X2-X,再令x=1,計算可得f(l)+g(l)=

-1.

2<2021?武漢高一檢測)函數(shù)f(x)=x3+x+S-8(a￡R)在區(qū)間［m,n］

X

上的最大值為10，則函數(shù)f(x)在區(qū)間［-n,-m］上的最小值為()

A.-10B.-8C.-26D.與a有關(guān)

選設(shè)3，貝,即,故

C.g(x)=x+x+A.Qf(x)=g(x)-8g(x)=f(x)+8g(x)

在區(qū)I旬［m,n］上的最大值為g(x)max=f(x)max+8=18,

又易見g(-x)=-g(x),即g(X)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點中心對稱,

故g(x)在區(qū)間［-n,-m］上的最小值為g(X)min=-18=f(X)min+8,

故f(x)在區(qū)間［-n,-m］上的最小值為f(x)min=-26.

3.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又f(2)=0,則

f(x)-f(-x)

的解集為（

X<0)

A.(-2,0)U(0,2)B.(-oo,-2)U(0,2)

C.(-oo,-2)U(2,+oo)D.(-2,0)U(2,+00)

選A.結(jié)合函數(shù)圖象，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函

數(shù)，f(2)=0,

所以x>2或-2<x<0時，f(x)>0；x<-2或0<x<2時，f(x)<0；

f(X)-f(-X)f(X)

；即---,可知-或

----------X-----------<--0-X,<02<x<00<x<2.

4.（多選）（2021.重慶高一檢測）已知定義在R上的函數(shù)h（x）的圖象是

連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①VxGR,h(-x)=h(x)；②Vxi,

h(X2)-h(xi)

X2￡(0,+8),當(dāng)X1#X2時，者口有>0；③h(-3)=

X2-Xl

0.則下列選項成立的是()

A.h(5)>h(-6)

h(x-1)zx

B.若----;----〉0,貝」X￡(-8,-2)U(0,1JU(4,+8)

X

C.若h(2a-l)<h(2),則

D.Vx￡R,aMGR，使得h(x)NM

選CD.定義在R上函數(shù)h(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：

①VxGR,h(-x)=h(x),說明函數(shù)是偶函數(shù),滿足h(x)=h(|x|);

一h(X2)-h(xi)

②VXl,X2W(0,+8),當(dāng)X1#X2時，者口有>0,說

X2-Xl

明函數(shù)在x40,+8)上是增函數(shù)；

③h(-3)=0=h(3),所以h(5)<h(6)=h(-6),則選項A不正確；

h(x-1)

若；>0,又h(x)=h(|x|),

,h(|x-1|)〉0或]h(|x-l|)<0

_x>0[x<0

rmX-1>3TX-1<3

則??或I1

x>0[x<0

解得x￡(-2,0)U(4,+oo),選項B不正確;

13

得-

若h(2a-l)<h(2),即12a2-2,故選項C正確；

因為定義在R上的函數(shù)h(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且在x￡(0,+8)

上單調(diào)遞增，所以小網(wǎng)=h(0),所以對VxGR,只需MSh(O)即可，

故選項D正確.

二、填空題

5.若函數(shù)f(x)=(X+&)小2+1為R上的奇函數(shù)，則a=.

因為f(x)=(x+a)Nx2+1為R上的奇函數(shù),所以f(0)=ax^O+1=

a=0,止匕時f(x)=xyjx2+1,所以f(-x)=-x\J(-x)2+1=-

x^yX2+1=-f(x),即函數(shù)f(x)=x#2+1是奇函數(shù)，所以a=0滿

足題意.

答案：0

6.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=X?+1,則f(-

2)=,f(0)=

由題意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0.

答案：-50

Ix?+xxV()

7.已知函數(shù)f(x)=\為奇函數(shù)，則a+b=_______.

[ax2+bx,x>0

由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，得f(-1)+f(l)=0,

5Z.f(-1)=0,f(l)=a+b,所以a+b=0.

答案：0

8.已知y=f(x)+x2是奇函數(shù)，且f(I)=1,若g(x)=f(x)+2,則g(-

1)=?

因為y=f(x)+x2為奇函數(shù)，

所以f(-x)+x2=-f(x)-X2,

所以f(-X)=-f(x)-2x2,

又g(l)=f(l)+2=3,

所以g(-l)=f(-1)+2=-f(l)-2+2

=-f(l)=-I.

答案：-1

三、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=x+仁(a￡R,x#0).

⑴討論f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若f(x)在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

⑴根據(jù)題意，對于函數(shù)f(x)=x+2,

若a=0,則f(x)=x,易得f(x)為奇函數(shù),

若a#0，貝Uf(x)=x+點,其定義域為{x|x#O},

f(-x)=-x+1，有f(-x)#f(x)且f(-x)#-f(x),f(x)為非奇非偶函

數(shù)；

⑵根據(jù)題意,當(dāng)xNl,則有f(x)=x+1,

設(shè)1<X1<X2,則f(Xl)-f(x2)=卜+5)■卜2+9二(XI-

/\

、X1X2-a

X2)----------,

IX1X2)

若f(x)在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù)，

/\