人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)大全講義教案

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)精講

考點(diǎn)突破講義教案

目錄

第五章相交線與平行線...................................................................1

5.1.1相交線.........................................................................1

5.1.2垂線...........................................................................3

5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角......................................................7

5.2.1平行線.........................................................................9

5.2.2平行線的判定.................................................................11

5.3.1平行線的性質(zhì).................................................................13

5.3.2命題、定.理、證明............................................................15

5.4平移.............................................................................17

第六章實(shí)數(shù)............................................................................20

6.1.1平方根（一）.................................................................20

6.1.2平方根（二）.................................................................21

6.1.3平方根（三）.................................................................22

6.2立方根..........................................................................24

6.3實(shí)數(shù)............................................................................25

第七章平面直角坐標(biāo)系..................................................................29

7.1.2平面直角坐標(biāo)系................................................................29

7.1.1有序數(shù)對(duì).......................................................................32

7.2.1用坐標(biāo)表示地理位置...........................................................35

7.2.2用坐標(biāo)表示平移...............................................................36

第八章二元一次方程組..................................................................38

8.1二元一次方程組..................................................................38

8.2.1消元——解二元一次方程組.....................................................39

8.3實(shí)際問題與二元一次方程組.......................................................41

8.4三元一次方程組的解法............................................................42

第九章不等式與不等式組................................................................45

9.1.1不等式及其解集...............................................................45

9.1.2不等式的性質(zhì).................................................................46

9.2.1一元一次不等式（一）.........................................................48

9.2.2一元一次不等式（二）.........................................................49

9.3一元一次不等式組................................................................50

第五章相交線與平行線

5.1.1相交線

知識(shí)點(diǎn)2：鄰補(bǔ)角

1.定義:兩條直線相交所得的四個(gè)角中，有一條公共邊,另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角是鄰

補(bǔ)角.如圖，Z1和/2有一條公共邊QA,它們的另一邊互為反向延長線,具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，稱互

為鄰補(bǔ)角.

2.性質(zhì)：如果和/2是一對(duì)鄰補(bǔ)角，那么Nl+N2=180°.

注意：(1)判定兩個(gè)角是否為鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是看這兩個(gè)角的兩邊是否滿足“其中一邊是公共邊,

另一邊互為反向延長線”的條件.

(2)鄰補(bǔ)角.是,成對(duì)的,包含了兩層含義:①是位置關(guān)系:相鄰;②是數(shù)量關(guān)系:兩角之和等于

180°.

(3)鄰補(bǔ)角也可以看作是一條直線與端點(diǎn)在這條直線上的一條射線組成的兩個(gè)角.

(4)注意鄰補(bǔ)角和補(bǔ)角的區(qū)另I」:鄰補(bǔ)角一定互補(bǔ),但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角.因?yàn)猷徰a(bǔ)角

既相鄰又互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不管其位置如何,只要它們的和為180°就是一對(duì)互補(bǔ)的角.

知識(shí)點(diǎn)3：對(duì)頂角

1-定義:兩個(gè)角，如果它們有一個(gè)公共的頂點(diǎn),并且角的兩邊互為反向延長線,那么它們就互

為對(duì)頂角.如圖，N1和N3,Z2和N4互為對(duì)頂角.

I

2

13

/4

b/

2.性質(zhì):對(duì)頂角相等.

注意：(1)判斷兩角是否為對(duì)頂角，要抓住它的特征:①有公共頂點(diǎn);②兩個(gè)角的兩邊互為反向延.

長線.

(2)對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能構(gòu)成對(duì)頂角..

(3)互.為對(duì)頂角的兩個(gè)角相等,但相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角.

電聲點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)1：利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角建立起角度之間的聯(lián)系

【例1】如圖，直線AB,CD,EF相交于點(diǎn)0,ZA0E=30°,ZB0C=2ZA0C,求/DOF的度數(shù).

解：設(shè)NAOC=x°,則NB0C=2x。.

由鄰補(bǔ)角的定義得2x+x=180.

解之,得x=60.?.ZA0C=60".

ZE0C=Z.A0C-ZA0E=60o-30°=30°.

AZD0F=ZE0C=30°.

點(diǎn)撥：NEOC與NDOF互為對(duì)頂角，因此要求NDOF的度數(shù)只需求出NEOC的度數(shù).由己知NB0C=2

ZAOC且NBOC與NAOC互為鄰補(bǔ)角，從而可求出NBOC和NAOC的度數(shù),再由NEOC的度數(shù)等于/AOC

和/AOE的度數(shù)之差,且NAOE的度數(shù)已知,不難求出/EOC的度數(shù).

考點(diǎn)2:角度計(jì)算問題常見解題思路

[例2]如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)0,0E平分NBOD,0F平分NCOE,ZA0D：.ZB0E=4：1,求N

AOF的度數(shù).

2

D

E

解:方法一：由已知可設(shè)NA0D=4x°,NBOE=x°.YOE平分NBOD,...NB0D=2NB0E=2x°

AOD+ZBOD=180°,，4x+2x=180,解得x=30,NB0E=30°，/A0D=120°,NC0E=150°.；0F平分

ZCOE,.\ZEOF=ZCOE=75°,AZB0F=ZE0F-ZB0E=45",AZA0F=180°-/B0F=.135°.

方法二：YOE平分NBOD,.ENDOENBOE.YNAOD:ZB0E=4：1,.?.設(shè)/A0D=4x,則NBOE=N

DOE=x.?.?點(diǎn)0在直線AB上，...ZAOD+NBOD=180°,.?.4x+x+x=180°,解得x=30°.ND0E=30°,N

B0D=60°,.,.ZC0E=1800-NDOE=15O°,NA0C=/B0D=60".=OF平分NCOE,.DNCOF=NCOE=75°,

AZA0F=ZA0C+ZC0F=60o+75°=135°.

點(diǎn)撥：由于NAOF=NAOC+NCOF,因此求NAOF的度數(shù)可以轉(zhuǎn)化為求NAOC的度數(shù)和NCOF的度數(shù).由

于NAOC=NBOD,ZCOF=ZCOE,因此求出NBOD的度數(shù)和NCOE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

5.1.2垂線

知識(shí)點(diǎn)1：垂直的定義

1.垂直:直線.a,b相交于點(diǎn)0（如圖），當(dāng)有一個(gè)夾角為90°時(shí),稱直線a,b互相垂直，記作al_b

或b±a.在-圖中我們用，作為表示兩條直線互相垂直的標(biāo)識(shí),它們相交的交點(diǎn)0叫做垂足.日常生活

中，如墻角、黑板、窗框、書邊、課桌等都給我們垂直的形象.

b

2.垂線段:過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線,這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做這條直線的垂線段.

如圖,過直線1外一點(diǎn)P,作P0,直線1,垂足為0,則線段0P叫做點(diǎn)P到直線1的垂線段.

3

p

o1

知識(shí)點(diǎn)2：垂線的畫法

1.垂線的畫法:過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，這是我們必須掌握的基本作圖之一.那么如何才能

畫出呢?具體地說來,可以有下面的三種方法：

（1）利用三角板；（2）利用量角器；（3）利用直尺和圓規(guī).

運(yùn)用（1）或（2）兩種工具作圖時(shí)可以按下面的步驟操作：

①一貼:將三角板的一條直角邊緊貼于已知直線（或是將量角器的0°線與已知直線重合）；

②二過:使三角板的另一直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)（或是使量角器的90°線經(jīng)過這一點(diǎn)）；

③三畫:沿著已知點(diǎn)所在的這條直角邊畫出所求直線（或者是沿量角器90°線所在直線畫出）.

如圖所畫的PQ就是直線AB的垂線.

2.點(diǎn)到直線的距離:直線外一點(diǎn)到這條直線垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離,在上圖

中,PQ的長度就是點(diǎn)P到直線AB的距離.

注意：（1）垂線、垂線段的垂足.都要作垂直符號(hào)；（2）垂線段和表示距離的線段要畫出端點(diǎn)，而垂

線則可向兩方延伸；（3）作線段（射線）的垂線時(shí),如果垂足在其延長線（反向延長線）上,則應(yīng)將其延長

（或反向延長），并且用虛線表示.

知識(shí)點(diǎn)3：垂線的性質(zhì)

性質(zhì)（1）:在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.這里的“過一點(diǎn)”的點(diǎn)既可

以在直線上，也可以在直線外；“有”表,示存在，“只有”則表示唯一，意思是說，肯定有一,條并且不

能多于一條.

性質(zhì)（2）:連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單的說成:垂線段最短.

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，考點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)1:利用垂直定義求角度的大小

【例1】如圖所示,直線AB與CD相交于點(diǎn)0,0EXAB于點(diǎn)0,ZE0D:ZB0D=3：1,求/COE的

度數(shù).

解:V0E1AB,AZEOB=ZA0E=90°.

VZE0D:ZD0B=3：1,.

11

.?.ZB0D=4ZE0B=4X90O=22..5°.

又：ZA0C=ZB0D=22.5°,ZC0E=ZA0C+ZA0E,

AZC0E=2,2.5°+90°=112.5°.

點(diǎn)撥:垂直是兩條直線的位置關(guān)系,而90°是一個(gè)角的大小,垂直定義建立起兩直線垂直與90°

的角之間的聯(lián)系.由于/C0E=NA0C+/A0E,ZA0E=90°,因此只需求出/AOC即可，又因?yàn)?AOC=/

BOD,故將求/A0C的度數(shù)轉(zhuǎn)化成求/BOD的度數(shù)，又由于/EOD:ZB0D=3：1,ZE0D+ZB0D=90°,從

而可求出NB0D的度數(shù).

考點(diǎn)2:垂線段與點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用

【例2】點(diǎn)P為直線m外一點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C為直線m上三點(diǎn),PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P

到直線m的距離（）

A.為4cmB.為2cmC.小于2cmD.不大于2cm

答案:D

點(diǎn)撥：點(diǎn)到直線的距離是指這個(gè)點(diǎn)到直線的垂線段的長,度,雖然垂線段最短,但是在PA,PB,PC

中并沒有說明PC是垂線段，所以垂線段的長可能小于2cm,也可能等于2cm.

考點(diǎn)3:垂線段與點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用

【例3】如圖,”點(diǎn)A表示小明家,點(diǎn)B表示小明的外婆家,若小明先去外婆家拿漁具,然后再去

河邊釣魚,怎樣走路最短?請(qǐng)畫出行走路線.

5

B?

解:如圖，連接AB,作BM垂直河邊于點(diǎn)M.

折線A-B-M即為所求.

點(diǎn)撥：從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是線段AB,理由是“兩點(diǎn)之間,線段最短"；從點(diǎn)B到河邊的最短路

線是點(diǎn)B到河邊的垂線段,理由是“垂線段最短”.

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5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

識(shí)點(diǎn)精講

知識(shí)點(diǎn)1：同位角

兩條直線被第三條直線所截,得到的八個(gè)角中，若兩個(gè)角都在兩條直線的同一方,又在第三條直

線的.同側(cè),則這樣的兩個(gè)角是同位角，如圖中的N1和/2就是同位角.描出N1和N2的兩條邊,可以

發(fā)現(xiàn)描出的圖形好像是大寫字母F.

由圖可以觀察出：Z1和N2各有一條邊在同一條直線上,這條直線就是第三條直線，Z1和N2

的.另一條邊分別在另外兩條直線上.

知識(shí)點(diǎn)2:內(nèi)錯(cuò)角

兩條直線被第三條直線所截,得到的八個(gè)角中,若兩個(gè)角夾在兩條直線之間，又在第三條直線的

兩側(cè)，則這樣的兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，如圖中的N1和/2就是內(nèi)錯(cuò)角.

描出/I和/2的兩條邊,可以發(fā)現(xiàn)描出的圖形好像是大寫字母Z.

知識(shí)點(diǎn)3:同旁內(nèi)角

兩條直線被第三條直線所截”得到的八個(gè)角中，若兩個(gè)角都在兩.條直線之間，又在第三條直線的

同旁,則這樣的兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，如圖中的N1和N2就是同旁內(nèi)角.

.描出/I和N2的兩條邊，可以發(fā)現(xiàn)描出的.圖形構(gòu)成任意旋轉(zhuǎn)的“U”形.

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注意：為了便于記憶，同學(xué)們還可仿照?qǐng)D中用雙手表示“三線八角”（兩大拇指所在直線代表被

截直線,食指所在直線，代表截線）.

同位角“F”內(nèi)錯(cuò)角“Z”同旁內(nèi)角“U”

突破

考點(diǎn)1：從復(fù)雜的圖形中分離出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

【例1】如圖所示，Z1和NE,N2和N3,N3和NE各是什么位置關(guān)系的角?它們分別是哪兩

條直線被哪一條直線所截得到的？

解：N1和NE是直線AD,EC被直線BE所截得到的同位角,./2和/3是直線AD,EC被直線AC所

截得到的內(nèi)錯(cuò)角，Z3和/E是直線AC,AE被直線EC所截得到的.同旁內(nèi)角.

考點(diǎn)2:確定圖形中已知角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

【例2】如圖，試找出圖中/I的所有同位角.

解：/1的同位角有/GDC,ZGEB,ZEBH,ZDCH.

點(diǎn)撥：當(dāng)把直線AG看作第三條直線時(shí)，只需再找一條與AG相交的直線（如直線DC）構(gòu)成“三線八角”

基本圖形,得到N1的同位角（如/GDC）;照此方法可使問題得解.

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5.2.1平行線

識(shí)點(diǎn)精講

知識(shí)1：平行線

1.平行的定義：同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.如圖,AB與CD平行,記作AB〃CD,

讀作AB平行于CD.

R

生活中平行線的形象是很常見的.比如，兩平行的鐵軌、黑板平面相對(duì),的兩邊、數(shù)學(xué)本子中平行

的格子線、立方體相對(duì)的棱長……

平行線的.定義包含三層意思：（1）“在同一平面內(nèi)”是定義的前提條件，是區(qū)別于空間內(nèi)兩條不

相交的直線；（2）“不相交的兩條直線”是平行線的特征；（3）通常所說的線段、射線平行，實(shí)際上是指

它們所在的直線平行.

2.兩直線的位置關(guān)系

同一平面內(nèi)兩條直線只有兩種位置關(guān)系:平行或者相交.

判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷：（1）有且只有一個(gè)

公共點(diǎn)，則兩直線相交；（2）無公共點(diǎn)，則兩直線平行；（3）有兩.個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn),則兩直線重合（因

為兩點(diǎn)確定一條.直線）.

注意：理解平行線的定義要注意兩點(diǎn)：（1）在同一平面內(nèi)；（2）不相交.特別要注意:互相平行的兩

條直線沒有公共點(diǎn)，但沒有公共點(diǎn)的.兩.條直線不一定平行;通常所說的線段與線段平行、射線與射線

平行指的是它們所在的直線平行.

知識(shí)點(diǎn)2:平行公理及其推論

.1.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有.一條直線與已知直線平行..

注意把握“有且只有”的含義，它包含兩層含義：“有”一一“存在性”即存在一條與已知直線

平行的直線；“只有”一一“唯一性”即與己知直線平行的直線是唯一的.

2.推論（平行線的傳遞性）

如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.

9

即：如果a//b,c//b,那么a/7c.

知識(shí)點(diǎn)3:平行線的畫法

平行線的畫法是幾何畫圖的基本技能之一,方法為:一“落”（三角板的一邊落在已知直線上）;

二“靠”（用直尺緊靠在三角板的另一邊）；三“移”（沿直尺移動(dòng)三角板,直到落在已知直線上的三角

板的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)）；四“畫”（沿三角板過已知點(diǎn)的邊畫直線）.如圖.

3________________

落聲點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)1：相交與平行的綜合應(yīng)用

【例1】在同一平面內(nèi)有三條直線,它們之間的位置,關(guān)系共有幾種情形?試畫圖說明.

解:共有4種情形,如圖所示.

點(diǎn)撥：由平行線的概念可知,在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線,也就是說:在同一平面

內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種:平行和相交.

考點(diǎn)2:利用定義和公理的推論證明平行

【例2】已知直線a〃b,b//c,c//d,則a與d的位置關(guān)系是什么?請(qǐng)說明理由..

解：2〃&理由：??飛〃11）〃6???8〃a??飛〃（1,???3〃&

點(diǎn)撥：由a〃b,b〃c,可知直線a、c都平行于直線b,根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行可知

a〃c;又由c〃d,可得a〃&

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5.2.2平行線的判定

識(shí)點(diǎn)精講

知識(shí)點(diǎn)L:同位角相等,兩直線平行

兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行.簡單地說,同位角相等,兩

直線平行.

注意：（1）“同位角相等一兩直線平行”，這個(gè)順序不能亂；

（2）“同位角相等，兩直.線平行”通過兩個(gè)角的相等推導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系（平行），建立起角

度大小關(guān)系與兩直線位置關(guān)系之間的.聯(lián)系.

知識(shí)點(diǎn)2:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行

.兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行.簡單地說：內(nèi)錯(cuò)角相等,兩

直線平行.

知識(shí)點(diǎn)3:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行

.兩條直線被第三條直線,所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行.簡單地說:同旁內(nèi)角互

補(bǔ),兩直線平行.

落聲點(diǎn)全面突破（

考點(diǎn)1：道路拐彎中的角度問題

【例11一學(xué)員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,這兩次拐彎的

角度可能是（）

A.先向左拐30°,再向右拐30°B.先向右拐50°,再向.左拐30°

C.先向左拐50°,再向右拐130°D.先向右拐50°,再向左拐130°

答案:A

點(diǎn)撥：逐一畫圖分析，如分析選項(xiàng)A,如圖,學(xué)員沿D-C駕駛汽車，先向左拐30°，即/

1=30°，至C-A行駛，然后向右拐30°,即N2=30°,因?yàn)镹l=/2,且/I與N2是同位角，所以

DC〃AB,且A-B與D-C方向相同.故A正確，同理可分析B、C、D均不正確.

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考點(diǎn)2:平行線判定的綜.合應(yīng)用

【例2】如圖，已知直線a、b、c、d、e,.且/1=N2,N3+N4=180°,則a與c平行嗎?請(qǐng)說明

理由.

解:平行.

理由：???N1=N2（已知），.?.a〃b（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行）,

??,Z3+Z4=180°（已知），；.b〃c（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

.*.a/7c.

點(diǎn)撥：由N1=N2可得a〃b，由N3+N4=180°可得b〃c，所以a〃c.

考點(diǎn)3:角平分線與平行的綜合應(yīng)用

【例3】如圖所示，已知BE平分/ABC,CF平分/BCD,/1=/2,那么直線AB與CD的位置關(guān)系

如何?并說明理由.

解：AB〃CD..理由：；BE平分NABC,；CF平分/BCD,NBCD=2N2.：/1=N2,

ZABC-ZBCD,AABCD.

點(diǎn)撥：根據(jù)兩條角平分線及N1=N2可推得NABC=NBCD,它們是直線AB、CD被BC所截而得的

內(nèi)錯(cuò)角，所以AB〃CD.

12

5.3.1平行線的性質(zhì)

識(shí)點(diǎn)精講

知識(shí)點(diǎn)L:平行線的性質(zhì)1

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.

知識(shí)點(diǎn)2:平行線的性質(zhì)2

兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.

知識(shí)點(diǎn)3:平行線的性質(zhì)3

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

注意：（D同位角相等、內(nèi)錯(cuò).角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)是由平行線的性質(zhì)所得的結(jié)論,所以它們成

立的前提是“兩直線平行”.

（2）要注.意正確區(qū)分平行線的性質(zhì)與判定，由角的數(shù)量關(guān)系得到兩條直線平行,是平行線的判定;

由兩.條直線平.行得到角的.數(shù)量關(guān)系.，是平行線的性質(zhì).

（3）要特別注意沒有.兩條直線平行這個(gè)條件,同位角和內(nèi)錯(cuò)角不相等，同旁內(nèi)角也不互補(bǔ).

面突破

考點(diǎn)1：探索平行線中的拐角

【例1」如圖,AB〃DE,則/BCD、NB、ND之間的數(shù)量關(guān)系如何，為什么?

W：ZBCD=ZB-ZD.

理由：如圖，過點(diǎn)C作CF〃AB.

：CF〃AB,...NB=NBCF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

：AB〃DE,，CF〃DE,

；./DCF=ND（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

ZB-ZD=ZBCF-ZDCF.

ZBCD=ZBCF-ZDCK,/.ZBCD=ZB-ZD.

點(diǎn)撥:作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角是解決此題的關(guān)鍵.

提升點(diǎn)2:平行線性質(zhì)的應(yīng)用

［例2］如圖，已知ZABC=120°,1<±AfB,求.Nat的度數(shù).

l\ll

解答:如圖，過點(diǎn)B作L.

???1」AB（已知），...（兩直線平行，同位角相等）.

/.Zy=90°（垂直的定義）.

ZABC=120°（己知），,Z0=120°-90°=30°..

又13〃1,1|〃1式已知），，［3〃b（平行公理推論）.

.../a=/9=30°（兩直線平行，同位角相等）.

點(diǎn)撥:平行線有一個(gè)非常重要的作用，就是角的傳遞,在本題中雖然知道L〃L,但卻與NABC無

法建立聯(lián)系，因此我們可以過點(diǎn)B作一條與L平行的直線L,根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平

行”的性質(zhì)可得到L〃h,進(jìn)而可以建立起/ABC與Na的聯(lián)系.

注意：本題輔助線的作法還可以敘述為:過點(diǎn)B作h_LAB.適當(dāng)添加輔助線是解數(shù)學(xué)題的重要手段.

這里過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線,是常用的輔助線之一.輔助線在解題過程中起鋪路架橋的作

用，有化難為易之功效,是解數(shù)學(xué)圖形題常用的技巧.作輔助線要注意作法的敘述,輔助線要畫成虛線

532命題、定理、證明

識(shí)點(diǎn)精講

知識(shí)點(diǎn)1：命題

判斷一件事情的語句，叫命題.它必須對(duì)某件事情作出判斷,要么肯定，要么否定,而像“你回家

了嗎”“畫AB〃CD”等等就不提命題.

知識(shí)點(diǎn)2：命題的組成

命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成,題設(shè)是已知,事項(xiàng),結(jié),論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).它通?？?/p>

以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的是題設(shè)，“那么”后面接.的是結(jié)論.如果一個(gè)

命題是正確的,那么它就是真命題,反之就是假命題.

知識(shí)點(diǎn)3：定理

經(jīng)過推理證實(shí)而得到的真命題.叫做定理.

注意:理解命題的概念時(shí)要一注意兩點(diǎn)：

(D命題必須是一個(gè)完整的句子；

(2)這個(gè)句子必須對(duì)某件事情給出明確的判斷(如肯定或否定的判斷).

知識(shí)點(diǎn)4：證明

二個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理,才能作出判斷這個(gè)推理的過程叫做證明.

電聲點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)1：如果...那么....

【例1】把下列命題改寫成“如果……那.么……”的形式.

(1)同位角相等；(2)等角的補(bǔ)角相等.

解：(1)如果兩個(gè)角是同位角，那么這兩個(gè)角相等.

(2)如果兩個(gè)角是相等的角“那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角相等.

考點(diǎn)2:舉反例

【例2]請(qǐng)判斷命題“若a,b互為相反數(shù)，則aWb”是真命題還是假命題?如果是假命題,舉

出反例說明.

解:假命題.因?yàn)?的相反數(shù)是0,而0=0,所以此命題是假命題.

點(diǎn)撥舉反例是說明一個(gè)命題是假命題常用的方法,所列舉的反例滿足命題的題設(shè)部分,不滿足

命題的結(jié)論即可.

考點(diǎn)3：利用輔助線進(jìn)行證明

【例3】如圖,AB〃CD.AF、CF分別是/EAB、NECD的角平分線,F是兩條角平分線的交點(diǎn).求

1

證：NF=2/AEC.

解：如圖，過點(diǎn)E作EM/7AB,過點(diǎn)F作FN〃AB,

?/AB/7CD,/.EM/7CD.

ZMEA=ZBAE,ZMEC=ZDCE.

ZMEA+ZMEC=ZBAE+ZDCE,即ZAEC=ZBAE+ZDCE.

同理可得NAFC=NBAF+NDCF.

?/AF、CF分別是/EAB、NECD的平分線，

1111

NBAF=2ZBAE,NDCF=2ZDCE.ZAFC=2ZBAE+2Z.DCE.

11

,ZAFC=2ZAEC,即ZF=2ZAEC.

點(diǎn)撥:作輔助線,可以探究：NAEC與NBAE及NDCE之間的關(guān)系，結(jié)合角的平分線的性質(zhì)，可以探究出

/F與NAEC之間的關(guān)系.

5.4平移

知識(shí)點(diǎn)i：平移的概念

一個(gè)圖形沿.著一定的方向平行移動(dòng),叫作平移變換,簡稱平移.如運(yùn)動(dòng).著的電梯,火車在筆直的

鐵軌上飛馳,飛機(jī)起飛前在跑道上加速滑行等.

注意:決定平移的條件是平移的方向和平移的距離.

首先要弄清平移的方向,它可以是上、下、左、右或方位角表示;其次是弄清平移的距離，平移

的距離是新圖形與原圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的長度.注意：

（1）平移時(shí)圖形中的所有點(diǎn)的移動(dòng)方向一致,并且移動(dòng)的距離相等；

（2）確定圖形平移的方向和距離，只需要確定其中一個(gè)點(diǎn)平移的方向和距離

知識(shí)點(diǎn)2:平移的特征

平移的特征：（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）新圖形中各點(diǎn)之間的相對(duì)位置和原圖形的

一致,沒有發(fā)生改變；（3）新圖形的每一點(diǎn)都是由.原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，即這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)

應(yīng)點(diǎn),連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等,對(duì)應(yīng)線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等.如圖所示,四邊形EFGH

是由四邊形ABCD平移而得到，線段AE〃BF〃CG〃DH,AE=BF=CG=DH;所有對(duì)應(yīng)線段AB〃EF,DC〃GH,AD

//EH,BC/7GF,AB=EF,DC=GH,AD=EH,BC=GH;所有對(duì)應(yīng)角如/BAD=/FEH.=90°等.

知識(shí)點(diǎn)3：平移作圖

1.平移作圖的根據(jù)：圖形經(jīng)過平移后,對(duì)應(yīng)線段平行且相等;對(duì)應(yīng)角相等;連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線

段平行且相等.

2.畫新圖形所需條件：圖形原來的位置、平移的方向、平移的距離，缺一不可.

3.作圖的方法、關(guān)鍵和一般步驟:作圖多采用“以局部帶整體”法.關(guān)鍵是:確定圖形各關(guān)鍵點(diǎn)

的對(duì)應(yīng)點(diǎn).一般步驟為:①分析題目要求,確定平移方向和平移距離;②分析所要作的圖形,找關(guān)鍵點(diǎn),

確定其對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置并標(biāo)出字母;③按照原圖.形關(guān)鍵點(diǎn)順序,順次連接其對(duì)應(yīng)點(diǎn);④寫出結(jié)論.

4.應(yīng)注意的問題:①圖形平移時(shí)，每個(gè)點(diǎn)都是沿相同的方向移動(dòng)相同的距離;②平移只是圖形的

位置變化,形狀和大小都不改變,找出各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn);③確定平移中的平行關(guān)系和相等關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)4：平移在生活中的應(yīng)用

利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，以及道路、娛樂場所等有關(guān)面積的計(jì)算，都體現(xiàn)了平移在實(shí)際生活中的

廣泛應(yīng)用.如圖中的燕子南飛、奧運(yùn)五環(huán)和高級(jí)自動(dòng)門等生活中很多復(fù)雜精美圖案的設(shè)計(jì),都是用一

些的.簡單圖案作為基本圖案，然后再沿不同方向進(jìn)行多次平移繪制而成的.

OQP

cc

上考點(diǎn)全面突破

-------------------------

考點(diǎn)1：利用平移化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形

【例1】.如圖,在寬為20m,長為30m的長方形花園中，要修建兩條同樣寬的長方形道路,余

下部分進(jìn)行綠化.根據(jù)圖中數(shù)據(jù),計(jì)算綠化部分的面積為（）

A.600m2B.551m2C.550m2D.500m?

答案：B

點(diǎn)撥：利用“平移不改變圖形的形狀和大小”這一性質(zhì)，把兩條長方形道路平移,平移到圖的位

置,綠化部分轉(zhuǎn)化為長29m,寬19m的長方形,其面積為551m.2.

考點(diǎn)2:利用平移進(jìn)行計(jì)算

【例2】如圖，面積為12nl2的RtZkABC沿BC方向平移至aDEF的位置，平移距離是BC長的兩

倍,則梯形ACED的面積為.

答案:36m

點(diǎn)撥：點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為I）、E.、F,所以AD〃BF,AD=BE=CF,且它們的長度都等于平移

的距離.又因?yàn)槠揭凭嚯x是BC長的兩倍，即BE=2BC,所以BC=CE.梯形ACED與4ABC相比，高相等,梯

形上底CE與下底AD的和是AABC的底BC的3倍,所以梯形ACED的面積=Z\ABC的面積X3=36m2.

第六章實(shí)數(shù)

6.1.1平方根(一)

知識(shí)點(diǎn):算術(shù)平方根

1.定義:一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.

規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0.

2”表示方法:正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為：讀作“根號(hào)a”.

影聲點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)：算術(shù)平方根的計(jì)算

【例】下列說法中正確的是()

A.5是2.5的算術(shù)平方根

B.±4是16的算術(shù)平方根

C.-6是(-6)2的算術(shù)平方根

D.0.01是0.1的算術(shù)平方根

答案:A

點(diǎn)撥：由于正數(shù)5的平方等于25,所以5是25的算術(shù)平方根，由于-4不是正數(shù),所以-4不

是16的算術(shù)平方根;,因?yàn)?-6):36,62=36,所以6是(-6),的算術(shù)平方根;因?yàn)?.012=0,0001,所一以

0.01是0.0001,的算術(shù)平方根,而不一是0.,1的算術(shù)平方根.故選A.

?評(píng)論

?提問

主題模式

6.1.2平方根（二）

知識(shí)點(diǎn)1：算術(shù)平方根的估算

求一個(gè)正數(shù)（非完全平方數(shù)）的算術(shù)平方根的近似值,通常有三種方法:一是用計(jì)算器；二是查平

方根表;三是估算.前兩種方法都要借助其他工具,只有估算法可以隨時(shí)運(yùn)用.

例如估算仃的近似值,因?yàn)?=1,2=4,所以1〈行〈2;因?yàn)?.72=2.89,1.82=3.24,所以1.7〈百

<1.8;因?yàn)?.73=2.9929,1.74=3.0276,所以1.73〈百<1.74;因?yàn)?.732=2.999824,1.733=3..003

289,所以1.732<V3r<i,733...

如此下去,就可以得到更精確的、尺的近似值,這種求、尺的近似值的方法,,叫做夾逼法.

知識(shí)點(diǎn)2:用計(jì)算器開平方

大多數(shù)計(jì)算器都有鍵,用它可以求出一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值），應(yīng)注意的是,不

同品牌的計(jì)算器按鍵的順序可能不同，使用計(jì)算器時(shí),一定要按照說明書進(jìn)行操作.

電聲點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)1：算術(shù)平方根的估算

【.例1】估計(jì)泥+1的值在（.）

A.2到3之間.B.3到4之間

C.4到5之間.D..5到6之間

答案:B

點(diǎn)撥：?.?\&、''&\歷，..”〈、后③；.3〈遍.+1<4.故選B.

總結(jié).：如果一個(gè)數(shù)是另一個(gè)整數(shù)的平方,那么我們就稱,這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù),也叫做平方數(shù).

考點(diǎn)2：用計(jì)算器求平方.根

［例2］用計(jì)算器計(jì)算:X9+19v199X99+199<999X999+1999.請(qǐng)你猜

測(cè)第n個(gè)式子的結(jié)果.

解：由計(jì)算器得x9+19=10,\'99X99+199=ioo

<999X999+1999=1000）所以可猜測(cè)第n個(gè)式子的結(jié)果為10".

點(diǎn)撥：這是一道借助計(jì)算器探究規(guī)律的題目.通過計(jì)算器可求得前三個(gè)式子的值分別.為

10,102,103,由此可猜測(cè)第n個(gè)式,子的結(jié)果為10".

6.1.3平方根（三）

知識(shí)點(diǎn)1：平方根

1.定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x、a,那.么這個(gè)數(shù)X就叫做a的平方根,也叫做a

的二次方根.

2.表示方法:正數(shù)a的平方根為土\G.

3.平方根與算術(shù)平方根

算術(shù)平方根平方根

一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等.于a,一般地,如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,

區(qū)

定義即x、a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根,也叫做a的

別

平方根二次方根

算術(shù)平方根平方根

表示

正數(shù)a的算術(shù)平方根寫成、萬正數(shù)a的平方根寫成土、萬

方法

區(qū)

個(gè)數(shù)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根.只有一個(gè)一.個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù)

別

一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根一定是非負(fù)

性質(zhì)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),一正一負(fù)

數(shù)

平方根包含算術(shù)平方根,算術(shù)平方根是平方根的一個(gè)；平方根和算術(shù)平方根都只有非

聯(lián)系

負(fù)數(shù)才有.負(fù)數(shù)沒有平方根和.算術(shù)平方根;零的平方根和算術(shù)平方根都是0.

知識(shí)點(diǎn)2:算術(shù)平方根一的雙重非負(fù)性

1.被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)：只有正數(shù)和0才有算術(shù)平方根,負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

2.算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù),即V02O.

2--------------------

氧考點(diǎn)全面突破

■195——---------------

考點(diǎn)1：算術(shù)平方根的非負(fù)性

⑶2012

【例1】若X、y為有理數(shù),且滿足Ix-3|+Jy+3=O筮|RJ的值是

答案：1

點(diǎn)撥：兩個(gè)琲負(fù)數(shù)之和等于零,必定每個(gè)數(shù)都等于零，由此可求出x和y的值,進(jìn)而求得答案.；

x-3|+Jy+3=0,.建3。,y+3=0,，x=3,y=-3,所以=(-l)2012=l.

考點(diǎn)2:平方根的性質(zhì)應(yīng)用

【例2】已知一個(gè)正數(shù)的平.方根是3x-2和5x+6,則這個(gè)數(shù)是.

49

答案:了

17

點(diǎn)撥：由條件得(3x-2)+(5x+6)=0,解之得x=-2,從而3x-2=-2,

7/7\24949

5x+6=2,于是由(一=4知，所求的數(shù)為4.

總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是利用一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)這個(gè)特性.

考點(diǎn)3：平方根的計(jì)算

【例3】下列各數(shù)有沒有平方根?如果有，求出它的平方根與算術(shù)平方根;如果沒有,請(qǐng)說明理由.

(1)25;(2)0.0081;(3)(-7產(chǎn)；(4)-0.36.

解：⑴:25>0,...25有,平方.根.：(±5尸=25,

.*.25的平方根是±5,即±亞±5.25的算術(shù)平方根是5,即點(diǎn)=5.

(2)V0.0081>0,.,.0.0081有平方根.：(土.0.09.)M.0081,

.,.0.0081的平方根是±0.09,BP+V'O.OO81=io..09..0.0081的算術(shù)平方根是0.09,即

v'O.008l=o.09,

(3)V(-7)2=49>0,.*.(-7)2有平方根.?；(±7)2=49,A(-7)2的平方.根是±7,即土=±7.

(-7)2的算術(shù)平方根是7,即乒.7.

(4).：-0.36<0,.36沒有平方根.

點(diǎn)撥：25、0.0081、(-7y都是正數(shù),所以它們都有平方根與算術(shù)平方根，而-0.36是負(fù)數(shù)，它沒

有平方根.

6.2立方根

知識(shí)點(diǎn)1：立方根的認(rèn)識(shí)

1.定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根或三次方根.

2.表示,方法:數(shù)a的立方根表示為VQ,讀作“三次根號(hào)a”.

3.性質(zhì):正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù),0的立方根是0.

4.平方根與立方根

平方根立方根

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,且互為相

一個(gè)正數(shù)只有一個(gè)正的立方根

反數(shù)

不

同負(fù)數(shù)沒有平方根負(fù)數(shù)的立方根還是一個(gè)負(fù)數(shù)

點(diǎn)\年中的被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù),根指

VG中的被開方數(shù)a是任意數(shù),根指數(shù)3不能省略不寫

數(shù)2通常省略不寫

相

同0的平方根和立方根都是0.

點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)2:用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根

用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的立方根的步驟及方法:用計(jì)算器求一.個(gè)數(shù)的立方根和求一個(gè)數(shù)的平方根的

步驟相同，只是根指數(shù)不同.用計(jì)算器開立方的順序是:第一步按〃一鍵,第二步按數(shù)字鍵,輸入被開

方數(shù),第三步按目鍵.應(yīng)注意的是:不同品牌的計(jì)算器按鍵的順序可能不同，使用計(jì)算器時(shí)，一定要按說

明書操作.

品考點(diǎn)全面突破

考點(diǎn)1:利用立方根求解簡單的三次方程

【例1】求下列方程中X的值：⑴x、8;⑵（X+5）3=27..

解：⑴；2*=8,.，=2;

「⑵）；（X+5尸=27,x+5是27的立方根，...x+.5=3,；.x=-2,..

點(diǎn)撥：利用立方根的定義求解即可.

考點(diǎn)2:立方根的實(shí)際應(yīng)用

【例2】將一個(gè)體積為0.216的大立方體鋁塊改鑄成8個(gè)同樣大小的小立方體鋁塊，求每個(gè)

小立方體鋁塊的表.面積.

解:設(shè)每個(gè)小立方體鋁塊的棱長為xm,則8X3=0.216.

/.x3=0.027,：.x=O.3,A6X0.3.2=0.54（m"）.

即每個(gè)小立方體鋁塊的表面積為0.54m2.

點(diǎn)撥：由改鑄前后的體積不變,列出關(guān)于x的方程解之.

考點(diǎn)3：用計(jì)算器求立方.根

【例3】求5的立方根（精確到0.01）.

解：由計(jì)算器得勺行心1.709975947,所以V5^1.71.

點(diǎn)撥：根據(jù)約束條件，由計(jì)算器.得到的數(shù)值，再通過“四舍五入”法得出近似值.

6.3實(shí)數(shù)

a__________

識(shí)點(diǎn)精講

知識(shí)點(diǎn)1：無理數(shù)

i.定義:無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

2.表現(xiàn)形式：⑴開方開不盡得到的數(shù)如：、色、勺弓等；

(2)含有”的式子；

(3)有規(guī)律但不循環(huán)的無限小數(shù),，如:0.1010010001-;

注意:對(duì)于?實(shí)數(shù)的分類,不能.只看形式,并非所有帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù),應(yīng)嚴(yán)格按照有理數(shù)和

無理數(shù)的定義來判定，如為有理數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2:實(shí)數(shù)的概念

(1)定義:有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).例如：-6,V3,v5,0.4,n等都是實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)的分類

總結(jié)：(1)實(shí)數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)的相反數(shù)的意義一樣,如果a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù),那么-a

就是a的相反數(shù),即a與-a互為相反數(shù),例如:、石的相反數(shù)是%0的相反數(shù)是-初.另外,規(guī)定0

的相反數(shù)仍然是0；

(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的意義與有理數(shù)的絕對(duì)值的意義一樣，一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)

'a(a>0),

，0(a=0),

實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0,用字母表示為:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,有|a|=(-a(a<°).

知識(shí)點(diǎn)3:實(shí)數(shù)與數(shù)軸

1.對(duì)應(yīng)關(guān)系:實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

2.與有理數(shù)相同,數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

總結(jié)：(1)利用數(shù)軸可以比較實(shí)數(shù)的大小，在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn).表示的

實(shí)數(shù)大；

(2)正實(shí)數(shù)大于0,負(fù)實(shí)數(shù)小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù),兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的反而

小.

知識(shí)點(diǎn)4:實(shí)數(shù)的性質(zhì)

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和在有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意

義完全一樣.

知識(shí)點(diǎn)5:實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)有加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算，混合運(yùn)算的順序是先算乘方、開方，再算乘、除，

最后算加、減，同級(jí)運(yùn).算按照從左到右的,順序進(jìn)行,有括號(hào)