三角函數(shù)的應(yīng)用高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

三角函數(shù)的應(yīng)用(三角函數(shù)第12課時(shí))冊別：必修1學(xué)科：高中數(shù)學(xué)（人教A版）

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動變化現(xiàn)象，例如地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化、月亮圓缺、潮汐變化、物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)的位置變化、物體做簡諧運(yùn)動時(shí)的位移變化、交變電流變化等.情景導(dǎo)入一、

如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述.構(gòu)建模型

振子運(yùn)動是物理中常見的一類較為理想化的模型.通過課前查閱的彈簧振子相關(guān)資料，你能說說振子運(yùn)動的原理嗎？

實(shí)例探究二、構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

振子的運(yùn)動具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，它的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律具有周期性，并且振子在某一中心位置兩側(cè)做往復(fù)運(yùn)動，這個(gè)中心位置就是平衡位置.

全振動是從任一時(shí)刻起，物體的運(yùn)動狀態(tài)(位置、速度、加速度)再次恢復(fù)到與該時(shí)刻完全相同所經(jīng)歷的過程.你能結(jié)合振子運(yùn)動相關(guān)知識完成下面的問題1嗎？構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

問題1某個(gè)彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中，時(shí)間t(單位：s)與位移y(單位:mm)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式.t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0構(gòu)建模型

表示函數(shù)有哪些方法？如何讓表格中數(shù)據(jù)反映出的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律更直觀？作出散點(diǎn)圖實(shí)例探究二、構(gòu)建模型

追問:結(jié)合振子運(yùn)動原理及下面圖象，位移隨時(shí)間的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？實(shí)例探究二、函數(shù)擬合構(gòu)建模型

追問:結(jié)合振子運(yùn)動原理及下面圖象，位移隨時(shí)間的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？函數(shù)擬合y＝Asin（ωx＋φ)實(shí)例探究二、由圖象及振子運(yùn)動的物理學(xué)原理可知構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

分析:振子振動時(shí)位移的最大值為20mm，因此A=20；振子振動的周期為0.6s，即

，因此

；t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0構(gòu)建模型實(shí)例探究二、所以振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0

再由初始狀態(tài)t=0時(shí)，振子的位移為-20，可得：

，因此.此時(shí)：構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

試根據(jù)所求函數(shù)解析式估計(jì)當(dāng)時(shí)間t=5s時(shí)振子的位移.思考：

分析:因?yàn)檎褡拥奈灰脐P(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為

當(dāng)t=5s時(shí)，所以當(dāng)時(shí)間t=5s時(shí)振子的位移約為10mm.構(gòu)建模型

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動，如鐘擺的擺動，水中浮標(biāo)的上下浮動，琴弦的振動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運(yùn)動．知識歸納

在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”．構(gòu)建模型

可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0,＋∞)，其中A>0,ω>0，來表示．描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：

A是簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；知識歸納構(gòu)建模型

可以看到我們在物理學(xué)中把三角函數(shù)中的三個(gè)參數(shù)都賦予了物理意義.知識歸納構(gòu)建模型鞏固練習(xí)某簡諧振動的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個(gè)簡諧振動的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個(gè)簡諧振動的函數(shù)解析式.

解:（1）根據(jù)圖象所示，振幅A=3(cm)，由

，周期

（s），頻率.構(gòu)建模型將點(diǎn)

代入，得：

解:（2）因?yàn)?/p>

，所以這個(gè)簡諧振動的函數(shù)解析式可設(shè)為

，取.則這個(gè)簡諧振動的函數(shù)解析式為2.2鞏固練習(xí)構(gòu)建模型問題2如圖(1)是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i（單位：A）隨時(shí)間（單位：s）變化的圖象.將測得的圖象放大，得到圖（2）.（1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；

實(shí)例探究二、構(gòu)建模型觀察函數(shù)圖象你發(fā)現(xiàn)電流隨時(shí)間變化有什么特點(diǎn)？可以用什么函數(shù)刻畫？

實(shí)例探究二、構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

解:（1）由交變電流產(chǎn)生的原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用i＝Asin（ωt＋φ)來刻畫,其中

表示頻率，A表示振幅，φ表示初相.由圖象可知，電流最大值為5A,因此A=5;電流變化的周期為0.02s，頻率為50Hz；即

；構(gòu)建模型實(shí)例探究二、可得sinφ=0.866，因此φ約為.所以電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式是

此時(shí)，i＝5sin（100πt＋φ)，再由初始狀態(tài)（t=0）的電流為4.33A，構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

問題2如圖(1)是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i（單位：A）隨時(shí)間（單位：s）變化的圖象.將測得的圖象放大，得到圖（2）.（1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；

構(gòu)建模型實(shí)例探究二、

(2)構(gòu)建模型方法歸納（1）先求振幅A：觀察圖象最高點(diǎn)和最低點(diǎn)來確定；通過前面的兩個(gè)三角函數(shù)模型問題學(xué)習(xí)，你能總結(jié)利用函數(shù)圖象求解析式步驟嗎？（2）再由周期T求ω：通過圖象分析周期T；（3）最后求初相φ：通過代入圖象上的特殊點(diǎn)求出φ的值．三、課堂小結(jié)振幅是A1.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈