高中數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系

第一講坐標(biāo)系xxz2023/5/241一、平面直角坐標(biāo)系1、平面直角坐標(biāo)系2023/5/242思考:2023/5/2432023/5/244思考:2023/5/2452023/5/246思考:2023/5/2472023/5/248探究根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系的一些規(guī)則：（1）如果圖形有對(duì)稱(chēng)中心，可以選擇對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）如果圖形有對(duì)稱(chēng)軸，可以選擇對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能地在坐標(biāo)軸上。2023/5/249xO

2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?2023/5/2410

在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的，就得到正弦曲線y=sin2x.通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)壓縮變換。1坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：1

上述的變換實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)坐標(biāo)的壓縮變換，即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)，得到點(diǎn)2023/5/2411（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。O

2y=sinxy=3sinxyx2023/5/2412在正弦曲線上任取一點(diǎn)P（x,y），保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍，就得到曲線y=3sinx。（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸長(zhǎng)變換。22設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為2023/5/2413（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。O

2y=sinxy=3sin2xyx2023/5/2414

在正弦曲線y=sinx上任取一點(diǎn)P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來(lái)的，在此基礎(chǔ)上，將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，就得到正弦曲線y=3sin2x.設(shè)點(diǎn)P（x,y）經(jīng)變換得到點(diǎn)為通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)伸縮變換。3（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?寫(xiě)出其坐標(biāo)變換。32023/5/2415定義：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。4注（1）（2）把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；（3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換。2023/5/2416例2：在直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=12023/5/24171.在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線4x2+9y2=36變?yōu)榍€2023/5/24182.在同一直角坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C變?yōu)?，求曲線C的方程并畫(huà)出圖形。2023/5/2419課堂小結(jié)：（1）體會(huì)坐標(biāo)法的思想，應(yīng)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題；（2）掌握平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。2023/5/24202023/5/2421題型一軌跡探求例1線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線上滑動(dòng)，且|AB|＝4，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程．分析：題目未給出坐標(biāo)系，因此，應(yīng)先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，顯然以互相垂直的兩直線分別為x軸，y軸最合適．解析：解法一以兩條互相垂直的直線分別為x軸，y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．2023/5/2422解法二建立直角坐標(biāo)系，同解法一．設(shè)P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)，則x＋y＝16.①又P為AB的中點(diǎn)，所以x1＝2x，y2＝2y.代入①，得4x2＋4y2＝16.故點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝42023/5/2423點(diǎn)評(píng)：1．求曲線方程一般有下列五個(gè)步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并用(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)，在建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)充分考慮平行、垂直、對(duì)稱(chēng)等幾何因素，使得解題更加簡(jiǎn)化；(2)寫(xiě)出適當(dāng)條件P下的點(diǎn)M的集合：{M|P(M)}；(3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，寫(xiě)出方程f(x，y)＝0；(4)化簡(jiǎn)方程f(x，y)＝0(必須是等價(jià)變形)；(5)證明以(4)中方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，補(bǔ)上遺漏點(diǎn)或挖去多余點(diǎn)．2023/5/2424一般地，方程的變形過(guò)程是等價(jià)的，步驟(5)可以省略．2．求曲線方程主要有以下幾種方法：(1)條件直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單、明確，易于表達(dá)，我們可以把這些關(guān)系直譯成含“x，y”(或ρ、θ)的等式，我們稱(chēng)之為“直譯”．(2)代入法(或利用相關(guān)點(diǎn)法)：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件不易求出，但它隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn)．如果相關(guān)點(diǎn)滿足的條件簡(jiǎn)單、明確，就可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，再用條件直譯法把相關(guān)點(diǎn)的軌跡表示出來(lái)，就得到原動(dòng)點(diǎn)的軌跡．2023/5/2425

(3)參數(shù)法：有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，如果借助中間參量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，這樣便可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(4)定義法：若動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線的定義，可先設(shè)方程再確定其中的基本量．3．在掌握求曲線軌跡方程的一般步驟的基礎(chǔ)上還要注意：(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，坐標(biāo)系如果選擇恰當(dāng)，可使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，減少計(jì)算量．2023/5/2426

(2)要注意給出曲線圖形的范圍，要在限定范圍的基礎(chǔ)上求曲線方程．如果只求出曲線的方程，而沒(méi)有根據(jù)題目要求確定出x、y的取值范圍，最后的結(jié)論是不完備的．(3)坐標(biāo)系建立不同，同一曲線的方程也不相同．2023/5/24271．已知線段AB長(zhǎng)4，則以AB為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是________．?變式訓(xùn)練答案：x2＋y2＝4(x