有理數(shù)輔導(dǎo)講義

PAGE1PAGE4第一課時正數(shù)和負(fù)數(shù)一．知識點(diǎn)歸納1.定義：像5、1、2……這樣的數(shù)叫做正數(shù)，它們都比0大。在正數(shù)前面加上“-”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù)，如-10、-3、-1……注:(1)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。(2)為了突出數(shù)的符號,也可在正數(shù)前加“+”號2.數(shù)的分類二、課堂練習(xí)：(1)下列說法正確的是（）①零是整數(shù)；②零是有理數(shù)；③零是自然數(shù)；④零是正數(shù)；⑤零是負(fù)數(shù)；⑥零是非負(fù)數(shù)。 A：①②③⑥B：①②⑥C：①②③D：②③⑥(2)下列說法正確的是（）A：在有理數(shù)中，零的意義表示沒有 B：正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)C：0.5既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因而它不是有理數(shù)D：零是最小的非負(fù)整數(shù)，它既不是正數(shù)，又不是負(fù)數(shù)(3)―100不是（）A：有理數(shù) B：自然數(shù) C：整數(shù) D：負(fù)有理數(shù)(4)判斷：（1）0是正數(shù) （） （2）0是負(fù)數(shù) （）（3）0是自然數(shù) （） （4）0是非負(fù)數(shù) （）（5）0是非正數(shù) （） （6）0是整數(shù) （）（7）0是有理數(shù) （） （8）在有理數(shù)中，0僅表示沒有。 （）（9）0除以任何數(shù)，其商為0 （） （10）正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。 （）（11）―3.5是負(fù)分?jǐn)?shù) （） （12）負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱負(fù)數(shù) （）（13）0.3既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，因此它不是有理數(shù) （）（14）正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)。 （）答案：1．A；2．D；3．B；4．×；×；√；√；√；√；√；×；×；×；√；×；×；×。第二課時數(shù)軸一、知識點(diǎn)歸納1.定義：在數(shù)學(xué)中，通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸2．?dāng)?shù)軸的畫法：①畫一條直線（通常是水平的直線），在這條直線上任取一點(diǎn)O，叫做原點(diǎn)，用這點(diǎn)表示數(shù)0；②規(guī)定這條直線的一個方向為正方向（一般取從左到右的方向，用箭頭表示出來）。相反的方向就是負(fù)方向；③適當(dāng)?shù)剡x取一條線段的長度作為單位長度，也就是在0的右面取一點(diǎn)表示1，0與1之間的長就是單位長度。001234-1-2-3-4在數(shù)軸上從原點(diǎn)向右，每隔一個單位長度取一點(diǎn)，這些點(diǎn)依次表示1，2，3，…，從原點(diǎn)向左，每隔一個單位長度取一點(diǎn)，它們依次表示–1，–2，–3，…。注：原點(diǎn)、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，原點(diǎn)位置的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)需要人為規(guī)定的。直線也不一定是水平的。3.有理數(shù)大小的比較正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。比較有理數(shù)大小法則是：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。二、例題1：判斷下圖中所畫的數(shù)軸是否正確？如不正確，指出錯在哪里？2：把下面各小題的數(shù)分別表示在三條數(shù)軸上：（1）2，-1，0，，+3.5(2)―5，0，+5，15，20；(3)―1500，―500，0，500，1000。3：借助數(shù)軸回答下列問題(1)有沒有最小的正整數(shù)？有沒有最大的正整數(shù)？如果有，把它指出來；(2)有沒有最小的負(fù)整數(shù)？有沒有最大的負(fù)整數(shù)？如果有，把它標(biāo)出來。4：比較―3，0，2的大小。5：把下列各組數(shù)用“＜”號連接起來．(1) ―10，2，―14；(2) ―100，0，0.01； (3) ，―4.75，3.75。 6：將有理數(shù)3，0，，―4按從小到大順序排列，用“＜”號連接起來。7：比較下列各數(shù)的大?。酣D1.3，0.3，―3，―5.答案：1.解：都不正確，（1）缺少單位長度；（2）缺少正方向；（3）缺少原點(diǎn)；（4）單位長度不一致。3.解：(1)有最小的正整數(shù)，它是1，沒有最大的正整數(shù)；(2)沒有最小的負(fù)整數(shù)，有最大的負(fù)整數(shù)，它是-1。4.解：-3<0<25.解：(1) ―14＜―10＜2；(2)―100＜0＜0.01；(3) ―4.75＜3.75＜。6.解：正數(shù)＜3，由正、負(fù)數(shù)大小比較法則，得―4＜0＜＜3。7.解：―5＜―3＜―1.3＜0.3第三課時絕對值和相反數(shù)知識點(diǎn)歸納1.絕對值：我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值。記作|a|。例如，在數(shù)軸上表示數(shù)―6與表示數(shù)6的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離都是6，所以―6和6的絕對值都是6，記作|―6|=|6|=6。同樣可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。2.相反數(shù)：符號不同,絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù).其中一個是另一個的相反數(shù)。如:2.5的相反數(shù)是-2.5,-2.5的相反數(shù)是2.5,2.5和-2.5互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.3.(1)|+2|=，=，|+8.2|=；(2)|0|=；(3)|―3|=，|―0.2|=，|―8.2|=。歸納：1.一個正數(shù)的絕對值是它本身；2.0的絕對值是0；3.一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。4.①在一個數(shù)的前面添個“-”號，就表示那個數(shù)的相反數(shù)如：-（+4）=-4-（-4）=4-（+5.5）=-5.5②在一個數(shù)的前面添個“+”號，就表示那個數(shù)的本身如：+（-4）=-4+（+12）=12兩個符號的化簡：負(fù)負(fù)得正，正正得正，正負(fù)得負(fù)，負(fù)正得負(fù)。即：同號得正，異號得負(fù)(1)-[-（+10)](2)+[-（-0.15)](3)-[+（+3)](4)-[-(-12)]5.有理數(shù)大小的比較(1)負(fù)數(shù)小于0，0小于正數(shù)，負(fù)數(shù)小于正數(shù)；(2)兩個正數(shù)，應(yīng)用已有的方法比較；(3)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.例題1：求下列各數(shù)的絕對值：，，―4.75，10.5。2：化簡：(1)；(2)。3：計算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|； （3）|–|–（–）。4.下列幾對數(shù)中不互為相反數(shù)的對是（）A、-（-8）和-（+8）B、-（+8）和+（+8）C、-（-8）和-（+8）D、-（+8）和-[-(-8)]5.比較大小-（-2）-（-3）+（-3）-（-3）-0.25____-（-a）a6.已知a的相反數(shù)是它本身，b是最小的正整數(shù)，c的相反數(shù)是最大負(fù)整數(shù)的相反數(shù)，求2a+b+c7.用“＞”連接下列個數(shù)： 2.6，―4.5，，0，―2答案：1.解：=；=；|―4.75|=4.75；|10.5|=10.5。2.解：(1)；(2)。3.解：（1）0.62；（2）0；（3）。4.D5.<<<=6.解：由題意得a=0,b=1,c=-1所以2a+b+c=2×0+1+(-1)=0.7.2.6＞＞0＞―2＞―4.5。第四課時有理數(shù)加減法知識點(diǎn)歸納有理數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；③互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；④一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).例：計算：①(+2)+(―11)；②(+20)+(+12)；③；④(―3.4)+4.3。解：①解原式=―(11―2)=―9；②解原式=+(20+12)=+32=32；③解原式=；④解原式=+(4.3―3.4)=0.9。2.加法交換律和結(jié)合律加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)例：計算：(1)(+26)+(―18)+5+(―16)；(2)。(3)(+3)+(―2)+(―3)+(―1)+(+5)+(+5)(4)(+6)+(+)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)解:(1)原式=(26+5)+[(―18)+(―16)]=31+(―34)=―(34―31)=―3。(2)原式====。(3)原式=(3+)+(5+)+[―(2+)]+[―(1+)]+(5+)+[―(3+)=（3+5）+（+）+[(–2)+(–1)]+[(–)+(–)]+[5+(–3)]+[+(–)]=2(4)原式=(+6)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)=―三個以上的有理數(shù)相加，可運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律任意改變加數(shù)的位置，簡化運(yùn)算。常見技巧有：(1)湊零湊整：互為相反數(shù)的兩個數(shù)結(jié)合先加；和為整數(shù)的加數(shù)結(jié)合先加；(2)同號集中：按加數(shù)的正負(fù)分成兩類分別結(jié)合相加，再求和；(3)同分母結(jié)合：把分母相同或容易通分的結(jié)合起來；(4)帶分?jǐn)?shù)拆開：計算含帶分?jǐn)?shù)的加法時，可將帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分拆開，分別結(jié)合相加。注意帶分?jǐn)?shù)拆開后的兩部分要保持原來分?jǐn)?shù)的符號。3.有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。例：計算：(1)(―32)―(+5)；(2)7.3―(―6.8)；(3)(―2)―(―25)；(4)12―21.解：(1)(―32)―(+5)=(―32)+(―5)=―37。(2)7.3―(―6.8)=7.3+6.8=14.1。(3)(―2)―(―25)=(―2)+25=23。(4)12―21=12+(―21)=―9。4.加減混合運(yùn)算①把減法統(tǒng)一為加法②通常適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律，可使計算簡化。例題1、計算：（1）1+（-2）+3+（-4）+5+……+2001+（-2002）+2003+（-2004）（2）1+（-2）+（-3）+4+5+（-6）+（-7）+8+……+2001+（-2002）+（-2003）+2004（3）5.6+（-0.9）+4.4+（-8.1）（4）2．一名足球守門員練習(xí)折返跑,從球門線出發(fā),向前記作正數(shù),返回記作負(fù)數(shù),他的記錄如下:(單位:米)+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.(1)守門員最后是否回到了球門線的位置?(2)在練習(xí)過程中,守門員離開球門線最遠(yuǎn)距離是多少米?(3)守門員全部練習(xí)結(jié)束后,他共跑了多少米?第五課時有理數(shù)乘除法知識點(diǎn)歸納1.乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0例：計算：①(－5)×(－6)②解：①原式=+(5×6)=+30=30。②原式=―()=―2.乘法交換律和結(jié)合律、分配律①乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。即ab=ba②乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。即(ab)c=a(bc)③乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即a(b＋c)＝ab＋ac.例：計算：(1)；(2)。解：(1)原式；(2)原式=。3.有理數(shù)除法法則：除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù).（倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)）例：(1)；(2)；(3)。解：①原式=；②原式=；③原式=兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.例題1.若a+b>0,且ab<0，那么必有（）A.a>0,b>0;B.a<0,b<0;C.a、b異號且正數(shù)的絕對值較大;D.a、b異號且負(fù)數(shù)的絕對值較大.2.若m<n<0，則(m+n)(m-n)_______0.3.(1)(―)÷(―)；(2)；(3)（4）(5)(6)(7)答案：1.C2.>3.解；(1)原式=(―)×(―)=；(2)原式=；(3)原式=。知識點(diǎn)一:有理數(shù)的乘方求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪,記作:a,其中a為底數(shù),n為指數(shù).負(fù)數(shù)奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù).正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0.知識點(diǎn)二:有理數(shù)的混合運(yùn)算順序先乘方,再乘除,最后加減.同級運(yùn)算從左到右進(jìn)行.如有括號,先做括號里的運(yùn)算,按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.知識點(diǎn)三:科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示a×10的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位上只有一位的數(shù),n是正整數(shù)).這種表示方法叫科學(xué)記數(shù)法.知識點(diǎn)四:有效數(shù)字從左邊第一個非0數(shù)起,到末位數(shù)字止,所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字.針對練習(xí):1.下列各式成立的是（）A.32=3×2B.53=35C.（）3=D.（）2=【解析】D根據(jù)運(yùn)算法則計算后對比.類型之一:計算類型例1.計算:(1)(－7)2；(2)－72；(3)(－)4；(4)－(－5)3.【解析】在乘方運(yùn)算時,首先要明確底數(shù)是什么,本題意在考查對(－a)n與－an的意義的理解,要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系.【解答】(1)(－7)2=(－7)×(－7)=49；(2)－72=－7×7=－49；(3)(－)4=(－)×(－)×(－)×(－)=；(4)－(－5)3=－(－5)×(－5)×(－5)=－(－125)=125.類型之二:綜合類型例2.計算：（1）－()2×(－42)÷(－)2；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25.【解析】本題是乘、除、乘方混合運(yùn)算.運(yùn)算時一要注意運(yùn)算順序：先乘方、后乘除，二要注意每一步運(yùn)算中符號的確定.【解答】（1）－()2×(－42)÷(－)2=64；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25=2.1.－7的平方是_________；一個數(shù)的平方是49，這個數(shù)是_________；一個數(shù)的立方是－8，這個數(shù)是__________.【解析】(±7)2=49;(－2)3=－8.【答案】49±7－22．據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，全國大約有1010萬名考生參加了今年的高考，1010萬這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）．A．1.010×103 B．1010×104 C．1.010×106 D．1.010×107【解析】D3.計算：(1)(－3)3(2)(－1.5)2(3)(－)2【解析】解題時首先要弄清乘方的意義，利用符號法則確定冪的符號，再用乘法求冪的絕對值。【解答】(1)(－3)3=(－3)·(－3)·(－3)=－27(2)(－1.5)2=(－1.5)·(－1.5)=2.25(3)(－)2=(－)·(－)=5.計算：－17+17÷(－1)11－52×(－0.2)3；【解答】－17+17÷(－1)11－52×(－0.2)3=－17－17+25×=－33；6.下列結(jié)論中正確的是（）A.絕對值大于1的數(shù)的平方一定大于1B.一個數(shù)的立方一定大于原數(shù)C.任何小于1的數(shù)的平方都小于原數(shù)D.一個數(shù)的平方一定大于這個數(shù)【解答】A7.關(guān)于式子（－3）4，正確的說法是（）A.－3是底數(shù)，4是冪B.3是底數(shù)，4是冪C.3是底數(shù)，4是指數(shù)D.（－3）是底數(shù)，4是指數(shù)【解答】D如下圖：1.下列結(jié)論錯誤的是（）A.一個數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù)B.一個數(shù)的平方一定是正數(shù)C.一個非零有理數(shù)的偶次方是正數(shù)D.一個負(fù)數(shù)的奇次方還是負(fù)數(shù)【解析】B一個數(shù)的平方一定是正數(shù)，是錯誤的,因為0的平方是0,0不是正數(shù).2.下列式子的結(jié)果是正數(shù)的是（）A.－(－3)4B.－(－4)2C.－(－23)D.－|－5|【解析】C因為－(－3)4=－81,－(－4)2=－16,－(－23)=8,－|－5|2=－25,所以結(jié)果是正數(shù)的是C.3.在式子(－)2中，指數(shù)為_________，底數(shù)為___________，讀作___________.【解析】在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)，an讀作a的n次冪（或a的n次方）.【答案】2－負(fù)的2次方4、2015年我市深入實施環(huán)境污染整治，某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)域經(jīng)的40家化工企業(yè)中已關(guān)停、整改32家，每年排放的污水減少了167000噸。將167000用科學(xué)計數(shù)法表示為（）A、167×103B、16.7×104C、1.67×105D、0.167×106【解析】C7.（1）(－)×[(－2)3－（－）－]；（2）(－5)－(－5)×÷×(－5)；（3）［2－(－+)×36］÷5.【解析】有理數(shù)的運(yùn)算方法靈活,技巧性強(qiáng),在運(yùn)算過程中,巧用運(yùn)算律和其他的運(yùn)算方法、技巧,可以使計算簡便.有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.如果有括號，要先算括號里面的.【解答】（1）(－)×[(－2)3－(－)－]=－×(－8)－(－)×(－)－(－)×=6－+=；（2）(－5)－(－5)×÷×(－5)=(－5)－(－5)××10×(－5)=－5－25=－30；（3）［2－(－+)×36］÷5=［2－(×36－×36+×36)］÷5=［2－(28－33+6)］÷5=［2－1］÷5=×=1.已知下列等式：①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；…………由此規(guī)律知，第⑤個等式是__________．【解析】本題屬于探究規(guī)律的題，左邊是連續(xù)自然數(shù)的立方和，右邊是一個數(shù)的平方，底數(shù)為左邊底數(shù)的和.【答案】13+23+33+43+53=1522.如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形，接著把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形，如此進(jìn)行下去，試?yán)脠D形提示的規(guī)律，計算：+()2+()3+()4+()5+()6+()7+()8.【解析】由題意可知，最后一次是等分成兩個面積為（）8的矩形，用1－（）8可以求出本題的答案.【解答】原式=1－（）8=1－=.課時作業(yè)：A等級1.下列各數(shù)中最小的數(shù)是()A.(－3－2)3B.(－3)(－2)4C.(－3)6÷(－2)3D.(－3)32.求25－3×［32+2×(－3)］+5的值為（）A.21B.30C.39D.713.下列式子正確的是()A.－24＜(－2)2＜(－2)3B.(－2)3＜－24＜(－2)2C.－24＜(－2)3＜(－2)2D.(－2)2＜(－2)3＜－244.計算：(－4)×(－)÷(－)－()35.在某地區(qū)，夏季高山上的溫度從山腳起每升高100米平均降低0.8℃,已知山腳的溫度是24℃,山頂?shù)臏囟仁?℃,試求這座山的高度.6.下列算式正確的是（）A.(－)2=B.23=2×3=6C.－32=－3×(－3)=9D.(－23)=－87.在絕對值小于100的整數(shù)中，可以寫成整數(shù)平方的個數(shù)是（）A.18B.19C.10D.98.a,b互為相反數(shù)，a≠0，n為自然數(shù)，則()A.an,bn互為相反數(shù)B.a2n,b2n互為相反數(shù)C.a2n+1,b2n+1互為相反數(shù)D.以上都不對9．你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩端捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，把這根很粗的面拉成很多細(xì)的面條，如圖所示，這樣捏合至第________次，可拉出128根細(xì)面條.10.若an>0,n為奇數(shù)，則a（）A.一定是正數(shù)B.一定是負(fù)數(shù)C.可正可負(fù)D.以上都不對B等級11.下列說法正確的是（）A.兩個負(fù)數(shù)相加，絕對值相減B.正數(shù)加零，和為正數(shù)；負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)，和為負(fù)數(shù)C.兩個數(shù)之和為負(fù)，積為正，則這兩個數(shù)應(yīng)是一正一負(fù)D.甲數(shù)減去乙數(shù)所得的差一定小于甲數(shù)12.下列計算不正確的是（）A.（）2=B.8÷×5=8÷C.－32×=－9×=－1D.4－（－5）×3=4+15=1913.－(－32)－|－4|的值為()A.13B.－13C.5D.－514.若x為有理數(shù)，則|x|+1一定是（）A.等于1B.大于1C.不小于1D.小于115.一個小于零的數(shù)等于它的倒數(shù)，那么這個數(shù)是________.16.把（－1.2）2，－1.53，（－0.2）3，－0.22按從小到大的順序排列是________.17.生物學(xué)家指出：在生態(tài)系統(tǒng)中，每輸入一個營養(yǎng)級的能量，大約只有10%的能量能夠流動到下一個營養(yǎng)級，在H1→H2→H3→H4→H5→H6這條生物鏈中（Hn表示第n個營養(yǎng)級，n=1,2,…,6），要使H6獲得10千焦的能量，需要H1提供的能量約為千焦（）A.106B.105C.10418.計算下列各題：（1）（－3）2－（－2）3÷（－）3；（2）（－1）·（－1）2·（－1）3…（－1）99·（－1）100.19.如果｜a+1｜+(b－2)2=0,求(a+b)39+a34的值.20.計算：（1）(－5)－(－5)×÷×(－5)（2）；C等級21.23表示（）A.2×2×2B.2×3C.3×3D.2＋2＋222.對于（－2）4與－24，下面說法正確的是（）A.它們的意義相同B.它們的結(jié)果相同C.它們的意義不同，結(jié)果相等D.它們的意義不同，結(jié)果不等23.已知|x－1|+（y+3）2=0,求（xy）2的值.24．據(jù)2006年末的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，免除農(nóng)村義務(wù)教育階段學(xué)雜費(fèi)的西部地區(qū)和部分中部地區(qū)的學(xué)生約有52000000名，這個學(xué)生人數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）A． B． C． D．25.觀