北京豐臺區(qū)豐臺第六中學高三數(shù)學理月考試題含解析

北京豐臺區(qū)豐臺第六中學高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，則cos（α+）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：C【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求得sin（+α）和sin（﹣）的值，進而利用cos（α+）=cos通過余弦的兩角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故選C2.已知中，，點為邊所在直線上的一個動點，則滿足（

）A．最大值為16

B．最小值為4

C．為定值8

D．與的位置有關(guān)參考答案：C略3.已知i為虛數(shù)單位，a為實數(shù)，復數(shù)=在復平面上對應的點在y軸上，則a為（）A．﹣3 B． C． D．3參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復數(shù)z，由已知條件列出方程組，求解即可得答案．【解答】解：，又復數(shù)=在復平面上對應的點在y軸上，∴解得a=﹣3．故選：A．【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．4.已知全集，集合，，則為

(A){1,2,4}

(B){2,3,4}

(C){0,2,4}

(D){0,2,3,4}參考答案：C5.曲線與曲線(12<k<16)的()A．長軸長與實軸長相等B．短軸長與虛軸長相等C．焦距相等D．離心率相等參考答案：C6.設不等式組

表示的平面區(qū)域為．在區(qū)域內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線的距離大于2的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：D不等式對應的區(qū)域為三角形DEF,當點D在線段BC上時，點D到直線的距離等于2，所以要使點D到直線的距離大于2，則點D應在三角形BCF中。各點的坐標為,所以,根據(jù)幾何概型可知所求概率為,選D.

7.下列說法中，正確的是(

)

A．命題“若，則”的否命題是假命題.B．設為兩個不同的平面，直線，則“”是“”成立的充分不必要條件.C．命題“存在”的否定是“對任意”.D．已知，則“”是“”的充分不必要條件.參考答案：A略8.設集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，則M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2） C．[0，3] D．（0，3]參考答案：D考點：并集及其運算．專題：集合．分析：求出M，N的等價條件，結(jié)合集合的基本運算進行求解即可．解答：解：M={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，則M∪N={x|0＜x≤3}，故選：D點評：本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ)．9.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于---------------------------------（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D10.在△ABC中，“=0”是“△ABC是直角三角形”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；分析法；簡易邏輯．【分析】通過數(shù)量積判斷三角形的形狀，利用三角形的形狀說明數(shù)量積是否為0，即可得到充要條件的判斷．【解答】解：在△ABC中，“=0”可知B為直角，則“△ABC是直角三角形”．三角形是直角三角形，不一定B=90°，所以在△ABC中，“=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要條件．故選：B．【點評】本題考查三角形的形狀與數(shù)量積的關(guān)系，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為

；參考答案：612.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，向量，，且m//n，a＝2，則△ABC周長的取值范圍是________。參考答案：13.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為

．參考答案：由已知中正視圖，俯視圖是等腰三角形,側(cè)視圖為直角三角形,如圖可得該幾何體是有一個側(cè)面PAC垂直于底面,高為2，底面是一個等腰直角三角形的三棱錐，則這個幾何體的外接球的球心O在高線PD上，這個幾何體的外接球的直徑2R=.則這個幾何體的外接球的表面積為S=4πR2=4π×=.故答案為：.

14.已知△ABC是正三角形，若與向量的夾角大于90°，則實數(shù)λ的取值范圍是

．參考答案：（2，+∞）【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】平面向量及應用．【分析】由于與向量的夾角大于90°，可得0，利用數(shù)量積運算和正三角形的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵與向量的夾角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴實數(shù)λ的取值范圍是λ＞2．故答案為（2，+∞）．【點評】本題考查了數(shù)量積運算和正三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．15.若，則的展開式中常數(shù)項為______．參考答案：672【分析】先由微積分基本定理求出，再由二項展開式的通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為；所以的展開式的通項公式為：，令，則，所以常數(shù)項為.故答案為【點睛】本題主要考查微積分基本定理和二項式定理，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.16.曲線在點(1,3)處的切線的方程是

.參考答案：【知識點】導數(shù)的幾何意義；直線方程的點斜式.B11

H1【答案解析】

解析：因為，所以，所以切線方程為：，即【思路點撥】曲線在點(1,3)處的切線的斜率，是在時的導數(shù)，由此求得斜率后，再用點斜式寫出直線方程.17.C．（幾何證明選講選做題）如圖，從圓外一點引圓的切線和割線ABC，已知，圓的半徑為3，圓心到AC的距離為，則

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，且滿足f(－a2＋2a－5)<f(2a2＋a＋1)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)∵f(x)為R上的偶函數(shù)，∴f(－a2＋2a－5)＝f[－(－a2＋2a－5)]＝f(a2－2a＋5)．∴不等式等價于f(a2－2a＋5)<f(2a2＋a＋1)，∵a2－2a＋5＝(a－1)2＋4>0，而2a2＋a＋1＝2(a＝)2＋>0.∵f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增，而偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，∴f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴由f(a2－2a＋5)<f(2a2＋a＋1)，得a2－2a＋5>2a2＋a＋1?a2＋3a－4<0?－4<a<1，∴實數(shù)a的取值范圍是(－4,1)．19.（13分）（2010?沈陽一模）已知圓C1的方程為（x﹣4）2+（y﹣1）2=，橢圓C2的方程為，其離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑．（Ⅰ）求直線AB的方程和橢圓C2的方程；（Ⅱ）如果橢圓C2的左右焦點分別是F1、F2，橢圓上是否存在點P，使得，如果存在，請求點P的坐標，如果不存在，請說明理由．參考答案：【考點】：圓與圓錐曲線的綜合；直線的一般式方程；橢圓的標準方程．【專題】：計算題．【分析】：（Ⅰ）先分析得出若直線AB斜率存在，所以可設AB直線方程為y﹣1=k（x﹣4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點坐標公式即可求得b值，從而求出所求橢圓方程；（Ⅱ）先依據(jù)F1，F(xiàn)2的中點是原點O，得出與共線，再根據(jù)直線AB的方程寫出直線PO所在的直線方程，最后與橢圓的方程聯(lián)立方程組即可解得P點坐標．【解答】：解：（Ⅰ）若直線AB斜率不存在，則直線AB的方程為x=4，由橢圓的對稱性可知，A，B兩點關(guān)于x軸對稱，A，B的中點為（4，0），又線段AB恰為圓C1的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，因此直線AB斜率存在，（1分）所以可設AB直線方程為y﹣1=k（x﹣4），且設A（x1，y1）、B（x2，y2），∵，∴設橢圓方程，（2分）將AB直線方程為y﹣1=k（x﹣4）代入到橢圓方程得，即（1+4k2）x2﹣8k（4k﹣1）x+4（4k﹣1）2﹣4b2=0（1），（4分），解得k=﹣1，故直線AB的方程為y=﹣x+5，（6分）將k=﹣1代入方程（1）得5x2﹣40x+100﹣4b2=0．x1+x2=8，，△＞0，得b2＞5．（7分）|AB|=，得，解得b2=9．故所求橢圓方程為．（8分）（Ⅱ）因為F1，F(xiàn)2的中點是原點O，所以，所以與共線，（10分），而直線AB的方程為y=﹣x+5，所以直線PO所在的直線方程為y=﹣x．∴，或．所以P點坐標為，．（12分）【點評】：本小題主要考查圓與圓錐曲線的綜合、直線的一般式方程、橢圓的標準方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．20.

(12分)已知函數(shù).(1)求的表達式;(2)判斷的單調(diào)性;(3)若對于區(qū)間上的每一個x的值,不等式恒成立,求m的取值范圍.參考答案：解析：(1)由,得,即,于是.又時,∈(0,1),所以∈(0,1).∴.(2)由于是上的增函數(shù),且,所以是上的增函數(shù),從而是(0,1)上的減函數(shù).(3)即為,亦即在上恒成立.∴解得21.幾個月前，成都街頭開始興起“mobike”、“ofo”等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題，然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡龋疄榇?，某機構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計如表：年齡[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下，認為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系；

年齡低于35歲年齡不低于35歲合計支持

不支持

合計

（2）若對年齡在上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值的正負．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由題意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在極值，則或，分類討論，分別構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求導g′（x）=+﹣=，設h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，當1≤x＜e時，h′（x）＞0，當e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，顯然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在極值，則或，當，即1＜a＜時，則必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，當x變化時，h（x），g′（x），g（x）的變化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓極小值↓極小值↓當1＜a＜時，g（x）在上的極值為g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，設φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，則φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，當且僅當x=1時，取等號；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，當1＜a＜，g（x）在上的極值g（x2）＞g（x1）＞0，當，即0＜a≤1時，則必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上單調(diào)遞增，在（x3，e2]上單調(diào)遞減，此時，g（x）在上的極大值時g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，當0＜a≤1時，g（x）在上存在極值，且極值都為正數(shù)，綜上可知：當0＜a＜時，g（x）在上存在極值，且極值都為正數(shù)，22.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點】余弦定理的應用；平面向量