2024年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)】專練重難點(diǎn)02探索規(guī)律問題(江蘇專用)(原卷版+解析)

2024年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（江蘇專用）重難點(diǎn)02探究規(guī)律問題【命題趨勢(shì)】探究規(guī)律型問題是中考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，題目數(shù)量一般是一個(gè)題，各種題型都有可能出現(xiàn)，一般以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律等?；窘忸}思路：從簡(jiǎn)單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、比較、提煉，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般結(jié)論，最后驗(yàn)證結(jié)論的正確性。探索規(guī)律題可以說是每年中考的必考題，預(yù)計(jì)2024年中考數(shù)學(xué)中仍會(huì)作為選擇題或填空題的壓軸題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要的。【滿分技巧】1）從簡(jiǎn)單的情況入手﹕從簡(jiǎn)單的情況入手﹕求出前三到四個(gè)結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案二．新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識(shí)結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個(gè)數(shù)的立方和、連續(xù)n個(gè)數(shù)的平方和、階乘等。2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會(huì)存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細(xì)觀察變量的變化與序號(hào)（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個(gè)關(guān)系就找到了規(guī)律所在．3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律.它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.【限時(shí)檢測(cè)】A卷（真題過關(guān)卷）一．選擇題（共6小題）1．(2023?鎮(zhèn)江）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個(gè)式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B32．(2023?泗洪縣二模）有一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若a1＝2，則a2022為（）A． B．2 C．﹣1 D．20223．(2023?江陰市校級(jí)模擬）正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列a1，a2，……，an，……滿足：①數(shù)列遞增，即a1＜a2＜……an＜……；②an＝an﹣1+an﹣2（n≥3），則稱為“類斐波拉契數(shù)列”，例如：3，4，7，11，18，29，……，則滿足a5＝59的“類斐波拉契數(shù)列”有（）種．A．1 B．2 C．3 D．44．(2023?江都區(qū)三模）若x1＝a+1（a≠0且a≠﹣1），x2＝，x3＝，…，xn＝，則x2020等于（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)+1 C． D．5．(2023?丹陽市二模）某校為組織召開初三年級(jí)畢業(yè)典禮，需用m盆花將圓形主席臺(tái)圍繞一周進(jìn)行裝扮．若花有紅色和黃色兩種，擺放時(shí)要求與每盆花左右相鄰的兩盆花顏色不同．則m的取值可能是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20236．(2023?邗江區(qū)二模）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別．某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為a×23+b×22+c×21+d×20，如圖2，第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示該生為5班學(xué)生．表示10班學(xué)生的識(shí)別圖案是（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題）7．(2023?宿遷）按規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，則第20個(gè)單項(xiàng)式是．8．(2023?揚(yáng)州）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列：圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，…，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個(gè)數(shù)為．9．（2018?徐州）如圖，每個(gè)圖案均由邊長(zhǎng)相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）10．(2023?儀征市一模）設(shè)a1、a2、a3，…，a2021是從﹣1，0，2這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，則a13+a23+a33+…+a20213＝．11．(2023?寶應(yīng)縣二模）設(shè)a1，a2…an都是正整數(shù)，其中a1表示第一個(gè)數(shù)，a2表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，an表示第n個(gè)數(shù)（n為正整數(shù)），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，則a2＝，a2021＝．12．(2023?常州二模）有2021個(gè)數(shù)排成一行，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和．若第一個(gè)數(shù)是0，第二個(gè)數(shù)是1，則這2021個(gè)數(shù)的和是．13．(2023?天寧區(qū)校級(jí)模擬）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，則a2+a4+…+a2018+a2020＝．14．(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）如圖，每個(gè)圖案均由相同大小的圓和正三角形按規(guī)律排列，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)比圓的個(gè)數(shù)多個(gè)．（由含n的代數(shù)式表示）15．(2023?江陰市校級(jí)一模）如圖中，分別是由1個(gè)、2個(gè)、n個(gè)正方形連接成的圖形，在圖1中，x＝70°；在圖2中，y＝28°；通過以上計(jì)算，請(qǐng)寫出圖3中a+b+c+…+d＝．（用含n的式子表示）16．(2023?徐州二模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形．第1幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a2，第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a3，…，以此類推，則的值為．三．解答題（共9小題）17．(2023?江陰市校級(jí)模擬）已知一列數(shù)如下規(guī)律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)20，接下來的兩項(xiàng)20，21，再接下來的三象20，21，22，依此類推．（1）第10個(gè)1是這列數(shù)的第幾項(xiàng)；（2）該列數(shù)的第2018項(xiàng)為多少？（3）求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該列數(shù)的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．（參考公式：1+q++q2+…+qn）＝18．(2023秋?邗江區(qū)期中）如圖，用灰白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面．（1）第1個(gè)圖案用了塊灰色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了塊灰色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了塊灰色的瓷磚；（2）第1個(gè)圖案用了塊白色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了塊白色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了塊白色的瓷磚；（3）第n個(gè)圖案中灰色瓷磚和白色瓷磚共用了多少塊？19．(2023秋?常州期中）某長(zhǎng)方形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色直角三角形地磚排列而成，如圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】如圖2，當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，直角三角形地磚有6塊；如圖3，當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，直角三角形地磚有8塊，……以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則直角三角形地磚的塊數(shù)是（用含有n的代數(shù)式表示）．【問題解決】（3）現(xiàn)有2021塊直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？剩余直角三角形地磚多少塊？20．(2023秋?鹽都區(qū)月考）閱讀理解：我們知道|x|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：|x1﹣x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．舉例：數(shù)軸上表示數(shù)a和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是AB＝|a﹣（﹣1）|＝|a+1|．問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題．（1）求數(shù)軸上表示2和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離；（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣3與5之間，求|a+3|+|a﹣5|的值；（3）當(dāng)|a﹣1|+|a﹣2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的數(shù)a的取值范圍是；（4）求|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是．實(shí)際應(yīng)用：（5）問題：某一直線沿街一側(cè)有2023戶居民（相鄰兩戶居民間隔相同），每戶按序標(biāo)記為：A1，A2，A3，A4，A5，…A2023，某餐飲公司想為這2023戶居民提供早餐，決定在路旁建立一個(gè)快餐店P(guān)，點(diǎn)P選在緊靠居民家，才能使這2023戶居民到點(diǎn)P的距離總和最?。ㄌ钭魳?biāo)記字母）拓展提升：（6）若數(shù)a，b滿足|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，求a+b的最小值為．21．(2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）圖①是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層，將圖①倒置后與原圖拼成圖②所示的形狀，這樣我們可以算出圖①中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n＝.如果圖①﹣④中各有11層．（1）圖①中共有個(gè)圓圈；（2）我們自上而下，在圓圈中按圖④的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊圓圈的數(shù)是．（3）我們自上而下，按圖④的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，求圖④所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和．22．(2023秋?東臺(tái)市校級(jí)期末）研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；⑤13+23+33+43+53＝152…（1）根據(jù)以上算式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第⑥個(gè)算式；（2）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個(gè)算式；（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：73+83+93+103．23．(2023秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）[實(shí)際問題]某商場(chǎng)在“十一國(guó)慶”期間為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、……等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？[問題建模]從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，這5個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？[模型探究]我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找出解決問題的方法．從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？所取的2個(gè)整數(shù)1，21，32，32個(gè)整數(shù)之和345如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（1）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．（3）歸納結(jié)論：從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，這5個(gè)整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．[問題解決]從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有種不同的優(yōu)惠金額．[問題拓展]從3，4，5，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n﹣2個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有121種不同的結(jié)果，求n的值．（寫出解答過程）24．(2023秋?邗江區(qū)校級(jí)期中）[閱讀理解]我們知道，1+2+3+…n＝，那么12+22+32+...n2結(jié)果等于多少呢？在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和，即n2，這樣，該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…n2．[規(guī)律探究]將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（12+22+32+…n2）＝，因此，12+22+32+…n2＝．[解決問題]根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算的結(jié)果為．25．(2023秋?邗江區(qū)期中）我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”．【Ⅰ】如圖1，請(qǐng)你用“數(shù)形結(jié)合”的思想．（1）求的值為；（2）請(qǐng)你利用（1）的這種知結(jié)論，求下列各式的值：①＝；②計(jì)算：．【Ⅱ】將若干個(gè)同樣大小的小長(zhǎng)方形紙片拼成如圖形狀的大長(zhǎng)方形（小長(zhǎng)方形紙片寬為a，長(zhǎng)為b），請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖形，解答下列問題：（3）a和b之間的關(guān)系滿足．（4）圖2中陰影部分的面積與大長(zhǎng)方形面積的比值是．（5）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖中的一個(gè)陰影部分，根據(jù)面積的不同表示方法，請(qǐng)你寫出（b﹣a）2與（b+a）2，ab三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（6）應(yīng)用：根據(jù)探索中的等量關(guān)系，解決如下問題：x+y＝12，，求x﹣y的值．【限時(shí)檢測(cè)】B卷（模擬提升卷）一．選擇題（共8小題）1．(2023?西藏）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．(2023?牡丹江）觀察下列數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，…，則第12個(gè)數(shù)是（）A． B．﹣ C． D．﹣3．(2023?新疆）將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是（）A．98 B．100 C．102 D．1044．(2023?云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn5．(2023?濟(jì)寧）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．297 B．301 C．303 D．4006．(2023?廣州）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個(gè)圖形需要6根小木棒，拼第2個(gè)圖形需要14根小木棒，拼第3個(gè)圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個(gè)圖形需要2022根小木棒，則n的值為（）A．252 B．253 C．336 D．3377．(2023?玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A處．兩枚跳棋跳動(dòng)規(guī)則是：紅跳棋按順時(shí)針方向1秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時(shí)針方向3秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，兩枚跳棋同時(shí)跳動(dòng)，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（）A．4 B．2 C．2 D．08．(2023?荊州）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBn?nDn的面積是（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題）9．(2023?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第n個(gè)圖中共有木料根．10．(2023?鄂爾多斯）按一定規(guī)律排列的數(shù)據(jù)依次為，，，……按此規(guī)律排列，則第30個(gè)數(shù)是．11．(2023?恩施州）觀察下列一組數(shù)：2，，，…，它們按一定規(guī)律排列，第n個(gè)數(shù)記為an，且滿足+＝．則a4＝，a2022＝．12．(2023?泰安）將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對(duì)（n，m）表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如（3，2）表示6，則表示99的有序數(shù)對(duì)是．13．(2023?呼和浩特）若把第n個(gè)位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個(gè)有序放置的數(shù)為一個(gè)數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個(gè)數(shù)列中第n個(gè)位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個(gè)數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是．14．(2023?聊城）如圖，線段AB＝2，以AB為直徑畫半圓，圓心為A1，以AA1為直徑畫半圓①；取A1B的中點(diǎn)A2，以A1A2為直徑畫半圓②；取A2B的中點(diǎn)A3，以A2A3為直徑畫半圓③…按照這樣的規(guī)律畫下去，大半圓內(nèi)部依次畫出的8個(gè)小半圓的弧長(zhǎng)之和為．15．(2023?大慶）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第16個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是．16．(2023?綏化）如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)P1在射線OA上，且OP1＝1，過點(diǎn)P1作P1K1⊥OA交射線OB于K1，在射線OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；過點(diǎn)P2作P2K2⊥OA交射線OB于K2，在射線OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此規(guī)律，線段P2023K2023的長(zhǎng)為．17．(2023?十堰）如圖，某鏈條每節(jié)長(zhǎng)為2.8cm，每?jī)晒?jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，50節(jié)鏈條總長(zhǎng)度為cm．18．(2023?常德）剪紙片：有一張長(zhǎng)方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片；從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；…；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．三．解答題（共9小題）19．(2023?嘉興）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．（1）嘗試：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100+25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100+25；③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；……（2）歸納：與100a（a+1）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．（3）運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．20．(2023?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．21．(2023?定遠(yuǎn)縣模擬）觀察下列等式＝1，＝，＝，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：++＝1++＝1﹣＝．（1）猜想并寫出：＝．（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①+++…+＝；②+++…+＝．（3）探究并計(jì)算：+++…+．22．(2023?寧南縣模擬）閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為a1，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)，記為an．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：數(shù)列2，4，8，16，…為等比數(shù)列，其中a1＝2，公比為q＝2．若要求這個(gè)等比數(shù)列的和，即求2+22+23+…+22020的值．可按照下列方法：解：設(shè)S＝2+22+23+…22020①，①×2得：2S＝22+23+24+…+22021②，②﹣①得2S﹣S＝22021﹣2，即S＝2+22+23+…+22020＝22021﹣2．然后解決下列問題．（1）等比數(shù)列，…的公比q為，第5項(xiàng)是．（2）如果已知一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為a1）和公比（設(shè)為q），則根據(jù)定義我們可依次寫出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)：a1，a1?q，a1?q2，a1?q3，…．由此可得第n項(xiàng)an＝（用a1和q的代數(shù)式表示）．（3）已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為10，第6項(xiàng)為60，求這個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)．（4）請(qǐng)你用上述方法求的值（設(shè)22022＝m，結(jié)果用m表示）．23．(2023?肥東縣校級(jí)模擬）觀察以下等式：第1個(gè)等式：1+第2個(gè)等式：1+第3個(gè)等式：1+第4個(gè)等式：1+按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．24．（2023?蕭縣一模）觀察如圖中用小黑點(diǎn)擺成的三角形，并根據(jù)圖中規(guī)律回答相關(guān)問題．（1）第4個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式為；（2）若第n個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的黑點(diǎn)總數(shù)為66個(gè)，求n的值．25．(2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）【閱讀】求值1+2+22+23+…+210．解：設(shè)S＝1+2+22+23+…+210①；將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2S＝2+22+23+24…+211②；由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1；即：S＝1+2+22+23+…+210＝211﹣1；【運(yùn)用】仿照此法計(jì)算：1+5+52+53+…+5100；【延伸】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．完成下列問題：（1）小正方形的面積S2019等于；（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面積和．26．(2023?雨山區(qū)校級(jí)一模）觀察下列由黑點(diǎn)組成的圖形圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為2+3+4＝9，圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+4+5+6+7＝25，圖4中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為4+5+6+7+8+9+10＝49…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）圖5中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的等式為：；（2）寫出你猜想圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的等式：．（用含n的等式表示，y＝x2﹣2x+m2+2，且y＝x2﹣2x+m2+2為整數(shù)）；（3）我們知道y＝x2﹣2x+m2+2．利用其證明（2）的結(jié)論．27．(2023?青島一模）問題提出：將一組長(zhǎng)度是l（l＞4的偶數(shù)）的細(xì)繩按展如圖所示的方法對(duì)折n次（n≥1），然后從重疊的細(xì)繩的一端開始，每隔1厘米（兩端彎曲部分的繩長(zhǎng)忽略不計(jì)）剪1刀，共剪m刀（m≥1的整數(shù)），最后得到一些長(zhǎng)1cm和長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，如果長(zhǎng)1cm的細(xì)繩有222根，那么原來的細(xì)繩長(zhǎng)度l是多少cm？問題探究：為了解決問題，我們可以先從最簡(jiǎn)單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．探究一：對(duì)折1次，可以看成有21根繩子重疊在一起．如果剪1刀（如圖①），左端出現(xiàn)了2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，右端出現(xiàn)了21﹣1＝1根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為2×1+1×2＝4cm；如果剪2刀（如圖②），左端仍有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有1×21＝2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，右端仍有21﹣1＝1根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為（2+2）×1+1×2＝6cm；如果剪3刀（如圖③），左端仍有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有2×21＝4根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，右端仍有21﹣1＝1根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為（2+4）×1+1×2＝8cm；以此類推，如果剪m刀，左端仍有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有（m﹣1）×21＝2（m﹣1）根長(zhǎng)1cm細(xì)繩，右端仍有21﹣1＝1根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以，原繩長(zhǎng)為[2+（m﹣1）×21]×1+（21﹣1）×2＝（2m+2）＝2（m+1）cm．探究二：對(duì)折2次，可以看成有22根繩子重疊在一起．如果剪1刀（如圖④），左端出現(xiàn)了2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，兩端共出現(xiàn)了22﹣1＝3根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為2×1+3×2＝8cm；如果剪2刀（如圖⑤），左端仍有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有1×22＝4根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，兩端仍有22﹣1＝3根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為（2+4）×1+3×2＝12cm；如果剪3刀（如圖⑥），左端仍有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有2×22＝8根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，兩端共有22﹣1＝3根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為（2+8）×1+3×2＝16cm；以此類推，如果剪m刀，左端仍有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有（m﹣1）×22＝（4m﹣4）＝4（m﹣1）根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，兩端仍有22﹣1＝3根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為[2+（m﹣1）×22]×1+3×2＝（4m+4）＝4（m+1）cm．探究三：．對(duì)折3次（如圖⑦），可以看成有23根繩子重疊在一起．如果剪m刀，左端有2根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間有（m﹣1）×23＝（8m﹣8）＝8（m﹣1）根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，兩端有23﹣1＝7根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為[2+（m﹣1）×23]×1+7×2＝（8m+8）＝8（m+1）cm．總結(jié)規(guī)律：對(duì)折n次，可以看成有根繩子重疊在一起．如果剪m刀，左端有根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，中間會(huì)有根長(zhǎng)1cm的細(xì)繩，兩端會(huì)有根長(zhǎng)2cm的細(xì)繩，所以原繩長(zhǎng)為cm．問題解決：如果長(zhǎng)1cm的細(xì)繩有222根，根據(jù)以上探究過程可以推算出細(xì)繩可能被對(duì)折了次，被剪了刀，原來的細(xì)繩的長(zhǎng)度l是cm．拓展應(yīng)用：如果長(zhǎng)1cm的細(xì)繩有2024根，那么原來的細(xì)繩的長(zhǎng)度l是cm．2024年中考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】專練（江蘇專用）重難點(diǎn)02探究規(guī)律問題【命題趨勢(shì)】探究規(guī)律型問題是中考數(shù)學(xué)中的常考問題，題目數(shù)量一般是一個(gè)題，各種題型都有可能出現(xiàn)，一般以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律等?；窘忸}思路：從簡(jiǎn)單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、比較、提煉，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般結(jié)論，最后驗(yàn)證結(jié)論的正確性。探索規(guī)律題可以說是每年中考的必考題，預(yù)計(jì)2024年中考數(shù)學(xué)中仍會(huì)作為選擇題或填空題的壓軸題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要的。【滿分技巧】1）從簡(jiǎn)單的情況入手﹕從簡(jiǎn)單的情況入手﹕求出前三到四個(gè)結(jié)果，探究其規(guī)律，通過歸納猜想總結(jié)正確答案二．新定義型問題一般與代數(shù)、坐標(biāo)、函數(shù)知識(shí)結(jié)合較多，常見的命題背景有：楊輝三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個(gè)數(shù)的立方和、連續(xù)n個(gè)數(shù)的平方和、階乘等。2）關(guān)注問題中的不變量和變量﹕在探究規(guī)律的問題中，一般都會(huì)存在變量和不變量（也就是常量），我們要多關(guān)注變量，看看這些變量是如何變化的，仔細(xì)觀察變量的變化與序號(hào)（一般為n）之間的關(guān)系，我們找到這個(gè)關(guān)系就找到了規(guī)律所在．3）掌握一些數(shù)學(xué)思想方法規(guī)探索律型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律.它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，考察了學(xué)生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力.題型可涉及填空、選擇或解答.【限時(shí)檢測(cè)】A卷（真題過關(guān)卷）

一．選擇題（共6小題）1．(2023?鎮(zhèn)江）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個(gè)式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個(gè)式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個(gè)式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出來，再結(jié)合值等于789，可求相應(yīng)的n的值，即可判斷．【解答】解：由題意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，則n不是整數(shù)，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，則n不是整數(shù)，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，則n是整數(shù)，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，則n不是整數(shù)，故B3的值不可以等于789；故選：B．2．(2023?泗洪縣二模）有一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若a1＝2，則a2022為（）A． B．2 C．﹣1 D．2022【分析】分別求出a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2，可得規(guī)律每3個(gè)數(shù)循環(huán)一次，則a2022＝a3＝2．【解答】解：∵a1＝2，∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2，……∴每3個(gè)數(shù)循環(huán)一次，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝﹣1，故選：C．3．(2023?江陰市校級(jí)模擬）正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列a1，a2，……，an，……滿足：①數(shù)列遞增，即a1＜a2＜……an＜……；②an＝an﹣1+an﹣2（n≥3），則稱為“類斐波拉契數(shù)列”，例如：3，4，7，11，18，29，……，則滿足a5＝59的“類斐波拉契數(shù)列”有（）種．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題可發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在an＝an﹣1+an﹣2（n≥3）的規(guī)律，滿足a5＝59的“類斐波拉契數(shù)列”有多少種．【解答】解：滿足a5＝59的“類斐波拉契數(shù)列”應(yīng)滿足：①數(shù)列遞增，即a1＜a2＜a3＜a4＜a5；②an＝an﹣1+an﹣2（n≥3），故：①10，13，23，36，59；②7，15，22，37，59；③4，17，21，38，59；④1，19，20，39，59．故選：D．4．(2023?江都區(qū)三模）若x1＝a+1（a≠0且a≠﹣1），x2＝，x3＝，…，xn＝，則x2020等于（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)+1 C． D．【分析】根據(jù)題意對(duì)前面幾個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，由此得出規(guī)律，用2020除以4即可得到是第幾個(gè)循環(huán)數(shù)，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵x1＝a+1，∴x2＝＝＝﹣，x3＝＝＝，x4＝＝＝a+1＝x1，…由上可知，x1，x2，x3，…，xn，這列數(shù)依次按a+1，﹣，三個(gè)結(jié)果進(jìn)行循環(huán)，∵2020÷3＝673…1，∴x2020＝x1＝a+1，故選：B．5．(2023?丹陽市二模）某校為組織召開初三年級(jí)畢業(yè)典禮，需用m盆花將圓形主席臺(tái)圍繞一周進(jìn)行裝扮．若花有紅色和黃色兩種，擺放時(shí)要求與每盆花左右相鄰的兩盆花顏色不同．則m的取值可能是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】由題意得花盆擺放的情況有：紅紅黃黃或黃黃紅紅，只有當(dāng)m是4的倍數(shù)時(shí)滿足．【解答】解：由題意得：花盆擺放的情況有：紅紅黃黃，或黃黃紅紅，要滿足條件，m只能是4的倍數(shù)，而只有2020是4的倍數(shù)，故選：A．6．(2023?邗江區(qū)二模）利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別．某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為a×23+b×22+c×21+d×20，如圖2，第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示該生為5班學(xué)生．表示10班學(xué)生的識(shí)別圖案是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題中的規(guī)律分別計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)所表示的班級(jí)序號(hào)即可．【解答】解：由題知，A選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為1×23+0×22+1×21+0×20＝10，B選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為0×23+1×22+1×21+0×20＝6，C選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為1×23+0×22+0×21+1×20＝9，D選項(xiàng)班級(jí)序號(hào)為0×23+1×22+1×21+1×20＝7，故選：A．二．填空題（共10小題）7．(2023?宿遷）按規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，則第20個(gè)單項(xiàng)式是﹣x39．【分析】觀察指數(shù)規(guī)律與符號(hào)規(guī)律，進(jìn)行解答便可．【解答】解：根據(jù)前幾項(xiàng)可以得出規(guī)律，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，第n項(xiàng)的數(shù)為（﹣1）n+1×x2n﹣1，則第20個(gè)單項(xiàng)式是（﹣1）21×x39＝﹣x39，故答案為：﹣x39．8．(2023?揚(yáng)州）將黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律進(jìn)行排列：圖中黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為：1，3，6，10，…，將其中所有能被3整除的數(shù)按從小到大的順序重新排列成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)中的第33個(gè)數(shù)為1275．【分析】首先得到前n個(gè)圖形中每個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得到第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，再判斷其中能被3整除的數(shù)，得到每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，再計(jì)算出第33個(gè)能被3整除的數(shù)所在組，為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，代入計(jì)算即可．【解答】解：第①個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1，第②個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：＝3，第③個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：＝6，第④個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：＝10，…第n個(gè)圖形中的黑色圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，則這列數(shù)為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3個(gè)數(shù)中，都有2個(gè)能被3整除，33÷2＝16…1，16×3+2＝50，則第33個(gè)被3整除的數(shù)為原數(shù)列中第50個(gè)數(shù)，即＝1275，故答案為：1275．9．（2018?徐州）如圖，每個(gè)圖案均由邊長(zhǎng)相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）【分析】利用給出的三個(gè)圖形尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)白色正方形個(gè)數(shù)＝總的正方形個(gè)數(shù)﹣黑色正方形個(gè)數(shù)，而黑色正方形個(gè)數(shù)第1個(gè)為1，第二個(gè)為2，由此尋找規(guī)律，總個(gè)數(shù)只要找到邊與黑色正方形個(gè)數(shù)之間關(guān)系即可，依此類推，尋找規(guī)律．【解答】解：方法一：第1個(gè)圖形黑、白兩色正方形共3×3個(gè)，其中黑色1個(gè)，白色3×3﹣1個(gè)，第2個(gè)圖形黑、白兩色正方形共3×5個(gè)，其中黑色2個(gè)，白色3×5﹣2個(gè)，第3個(gè)圖形黑、白兩色正方形共3×7個(gè)，其中黑色3個(gè)，白色3×7﹣3個(gè)，依此類推，第n個(gè)圖形黑、白兩色正方形共3×（2n+1）個(gè)，其中黑色n個(gè)，白色3×（2n+1）﹣n個(gè)，即：白色正方形5n+3個(gè)，黑色正方形n個(gè)，故第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多4n+3個(gè)，方法二第1個(gè)圖形白色正方形共8個(gè)，黑色1個(gè)，白色比黑色多7個(gè)，第2個(gè)圖形比第1個(gè)圖形白色比黑色又多了4個(gè)，即白色比黑色多（7+4）個(gè)，第3個(gè)圖形比第2個(gè)圖形白色比黑色又多了4個(gè)，即白色比黑色多（7+4×2）個(gè)，類推，第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多[7+4（n﹣1）]個(gè)，即（4n+3）個(gè)，故第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多（4n+3）個(gè)．10．(2023?儀征市一模）設(shè)a1、a2、a3，…，a2021是從﹣1，0，2這三個(gè)數(shù)中取值的一列數(shù)，若a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，則a13+a23+a33+…+a20213＝69．【分析】設(shè)這一列數(shù)中有x個(gè)﹣1，y個(gè)2，根據(jù)已知列方程組得，解方程組可得x和y的值，最后代入可得答案．【解答】解：設(shè)這一列數(shù)中有x個(gè)﹣1，y個(gè)2，∵a1+a2+a3+…+a2021＝9，a12+a22+a32+…+a20212＝51，∴﹣x+2y＝9，（﹣1）2?x+22?y＝51，∴，解得：，∴a13+a23+a33+…+a20213＝x?（﹣1）3+y?23＝﹣x+8y＝﹣11+80＝69．故答案為：69．11．(2023?寶應(yīng)縣二模）設(shè)a1，a2…an都是正整數(shù)，其中a1表示第一個(gè)數(shù)，a2表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，an表示第n個(gè)數(shù)（n為正整數(shù)），已知a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，則a2＝3，a2021＝4041．【分析】先將4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，變形，結(jié)合a1＝1，a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，得出遞推公式an+1＝an+2，進(jìn)而可得an＝2n﹣1，將n＝2021代入即可求得答案．【解答】解：∵a1＝1，4an＝（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，∴an﹣1≥0，（an+1﹣1）2＝（an﹣1）2+4an＝（an+1）2，∴an+1﹣1＝an+1，∴an+1＝an+2，∵a1＝1，∴a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，…，∴an＝2n﹣1，∴a2021＝2×2021﹣1＝4041．故答案為：3；4041．12．(2023?常州二模）有2021個(gè)數(shù)排成一行，對(duì)于任意相鄰的三個(gè)數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和．若第一個(gè)數(shù)是0，第二個(gè)數(shù)是1，則這2021個(gè)數(shù)的和是1．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出這列數(shù)的前幾個(gè)數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可求得這2021個(gè)數(shù)的和．【解答】解：由題意可得，第一個(gè)數(shù)是0，第二個(gè)數(shù)是1，則第三個(gè)數(shù)是1﹣0＝1，第四個(gè)數(shù)是1﹣1＝0，第五個(gè)數(shù)是0﹣1＝﹣1，第六個(gè)數(shù)是﹣1﹣0＝﹣1，第七個(gè)數(shù)是﹣1﹣（﹣1）＝0，第八個(gè)數(shù)是0﹣（﹣1）＝1，…，由上可得，這列數(shù)依次以0，1，1，0，﹣1，﹣1循環(huán)出現(xiàn)，每六個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，∵2021÷6＝336…5，∴這2021個(gè)數(shù)的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）+…+0+1+1+0+（﹣1）＝[0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）]×336+[0+1+1+0+（﹣1）]＝0×336+1＝0+1＝1，故答案為：1．13．(2023?天寧區(qū)校級(jí)模擬）已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，則a2+a4+…+a2018+a2020＝22020﹣1．【分析】分別令x＝1代入得a0+a1+a2+a3+…+a2021，令x＝﹣1代入得a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021，令x＝0，a0＝1；從而可以得出答案．【解答】解：令x＝1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0+a1+a2+a3+…+a2021＝22021；令x＝﹣1，a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝0；∴a0+a1+a2+a3+…+a2021+a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020﹣a2021＝2（a0+a2+a4…+a2020），令x＝0，a0＝1；∴a2+a4+…+a2018+a2020＝22021÷2﹣1＝22020﹣1，故答案為：22020﹣1．14．(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）如圖，每個(gè)圖案均由相同大小的圓和正三角形按規(guī)律排列，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)比圓的個(gè)數(shù)多（2n+1）個(gè)．（由含n的代數(shù)式表示）【分析】每個(gè)圖形可以看成是1個(gè)圓配3個(gè)正三角形，再額外加1個(gè)三角形，根據(jù)其規(guī)律，可求其值．【解答】解：根據(jù)題意有，第1個(gè)圖形，圓的個(gè)數(shù)為：1；正三角形的個(gè)數(shù)為：1×3+1；第2個(gè)圖形，圓的個(gè)數(shù)為：2；正三角形的個(gè)數(shù)為：2×3+1；第3個(gè)圖形，圓的個(gè)數(shù)為：3；正三角形的個(gè)數(shù)為：3×3+1；……，第n個(gè)圖形，圓的個(gè)數(shù)為：n；正三角形的個(gè)數(shù)為：n×3+1；n×3+1﹣n＝3n﹣n+1＝2n+1，∴第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)比圓的個(gè)數(shù)多（2n+1）個(gè)．故答案為：（2n+1）．15．(2023?江陰市校級(jí)一模）如圖中，分別是由1個(gè)、2個(gè)、n個(gè)正方形連接成的圖形，在圖1中，x＝70°；在圖2中，y＝28°；通過以上計(jì)算，請(qǐng)寫出圖3中a+b+c+…+d＝90°n．（用含n的式子表示）【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出有n個(gè)小正方形時(shí)各夾角的度數(shù)和是90°n即可．【解答】解：連接各小正方形的對(duì)角線，如下圖：圖1中，61°+119°+20°+x+45°×2＝360°，即20°+x＝90°，圖2中，61°+119°+31°+121°+y+45°×4＝360°，即31°+121°+y＝180°＝2×90°，…，以此類推，a+b+c+…+d＝n×90°＝90°n，故答案為：90°n．16．(2023?徐州二模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形．第1幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a2，第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為a3，…，以此類推，則的值為．【分析】首先根據(jù)圖形中“●”的個(gè)數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求出即可．【解答】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）；∴+++…+＝+++…+＝++…++++…+＝（1﹣）+（﹣）＝，故答案為：，三．解答題（共9小題）17．(2023?江陰市校級(jí)模擬）已知一列數(shù)如下規(guī)律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)20，接下來的兩項(xiàng)20，21，再接下來的三象20，21，22，依此類推．（1）第10個(gè)1是這列數(shù)的第幾項(xiàng)；（2）該列數(shù)的第2018項(xiàng)為多少？（3）求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該列數(shù)的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．（參考公式：1+q++q2+…+qn）＝【分析】（1）根據(jù)第1個(gè)1是第1項(xiàng)，第2個(gè)1是第2項(xiàng)，第3個(gè)1是第4項(xiàng)，第4個(gè)1是第7項(xiàng)，…，這個(gè)規(guī)律推算結(jié)果便可；（2）根據(jù)“1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…”將其數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1，第一組：20，第二組：20，21，第三組：20，21，22，…，第k組：20，21，22，…，2k﹣1，由此得到此數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算即可；（3）由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣2﹣n，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪，只需將﹣2﹣n消去即可求得N的值．【解答】解：（1）由題意可知，第1個(gè)1是第1項(xiàng)，第2個(gè)1是第1+1＝2項(xiàng)，第3個(gè)1是第1+2+1＝4項(xiàng)，第4個(gè)1是第1+2+3+1＝7項(xiàng)，…由此規(guī)律可知：第10個(gè)1是第1+2+3+…+9+1＝46項(xiàng)，故第10個(gè)1是第46項(xiàng)；（2）將其數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1，第一組：20，第二組：20，21，第三組：20，21，22，…第k組：20，21，22，…，2k﹣1，共有項(xiàng)數(shù)為1+2+3+…+k＝，當(dāng)k＝63時(shí)，，則2018項(xiàng)應(yīng)該為第64組的第二項(xiàng)，∴該列數(shù)的第2018項(xiàng)為2；（3）由題意得，前n組的和為：S＝20+21+22+，…，+2n﹣1＝2n+1﹣n﹣22n+1為2的整數(shù)冪，只需將﹣2﹣n消去即可．∴第n+1組為：1，2，4，8，…，2n∴前n+1組的和為：2n+2﹣n﹣3∴只需要再加上第n+2組的前兩項(xiàng)即可消除，此時(shí)共有項(xiàng)數(shù)：1+2+3+…+n+n+1+2＝∵N＞100，∴令≥100∴n≥14，由題意2+n＝2k+1﹣1，可得n的最小值為29，k的最小值為4，，此時(shí)N＝+5＝440綜上所述，N的最小值為440．18．(2023秋?邗江區(qū)期中）如圖，用灰白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)地面．（1）第1個(gè)圖案用了4塊灰色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了6塊灰色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了8塊灰色的瓷磚；（2）第1個(gè)圖案用了5塊白色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了8塊白色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了11塊白色的瓷磚；（3）第n個(gè)圖案中灰色瓷磚和白色瓷磚共用了多少塊？【分析】（1）根據(jù)所給的圖案進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給的圖案進(jìn)行求解即可；（3）不難看出每增加一個(gè)圖案，則灰色瓷磚增加2塊，白色瓷磚增加3塊，據(jù)此可求解．【解答】解：（1）由題意得：第1個(gè)圖案用了4塊灰色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了6塊灰色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了8塊灰色的瓷磚；故答案為：4，6，8；（2）第1個(gè)圖案用了5塊白色的瓷磚，第2個(gè)圖案用了8塊白色的瓷磚，第3個(gè)圖案用了11塊白色的瓷磚；故答案為：5，8，11；（3）由題意得：第n個(gè)圖案中灰色瓷磚的數(shù)量為：4+2（n﹣1）＝（2n+2）塊，第n個(gè)圖案中白色瓷磚的數(shù)量為：5+3（n﹣1）＝（3n+2）塊，則一共所用的瓷磚為：2n+2+3n+2＝（5n+4）塊．答：第n個(gè)圖案中灰色瓷磚和白色瓷磚共用了（5n+4）塊．19．(2023秋?常州期中）某長(zhǎng)方形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色直角三角形地磚排列而成，如圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．【觀察思考】如圖2，當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，直角三角形地磚有6塊；如圖3，當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，直角三角形地磚有8塊，……以此類推．【規(guī)律總結(jié)】（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則直角三角形地磚增加2塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則直角三角形地磚的塊數(shù)是2n+4（用含有n的代數(shù)式表示）．【問題解決】（3）現(xiàn)有2021塊直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？剩余直角三角形地磚多少塊？【分析】（1）觀察圖形規(guī)律，即可得其值；（2）觀察圖形規(guī)律，可以把圖形看成是每塊正方形地磚配兩塊直角三角形地磚，再額外加4塊直角三角形地磚，進(jìn)而可得出其表達(dá)式；（3）當(dāng)使用的正方形地磚數(shù)量最多時(shí)，剩余直角三角形地磚最少，只需求出n的最大值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，每增加1塊正方形地磚，則直角三角形地磚增加2塊．故答案為：2；（2）根據(jù)題意可得，直角三角形地磚的塊數(shù)是2n+4．故答案為：2n+4；（3）根據(jù)題意可得，2n+4＝2021，解得：n＝＝1008.5，∵n為整數(shù)，∴n＝1008，當(dāng)n＝1008時(shí)，2n+4＝2×1008+4＝2020，2021﹣2020＝1，∴需要正方形地磚1008塊，剩余直角三角形地磚1塊．20．(2023秋?鹽都區(qū)月考）閱讀理解：我們知道|x|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：|x1﹣x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．舉例：數(shù)軸上表示數(shù)a和﹣1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是AB＝|a﹣（﹣1）|＝|a+1|．問題探究：參考閱讀材料，解答下列問題．（1）求數(shù)軸上表示2和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離；（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于﹣3與5之間，求|a+3|+|a﹣5|的值；（3）當(dāng)|a﹣1|+|a﹣2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2；（4）求|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是2．實(shí)際應(yīng)用：（5）問題：某一直線沿街一側(cè)有2023戶居民（相鄰兩戶居民間隔相同），每戶按序標(biāo)記為：A1，A2，A3，A4，A5，…A2023，某餐飲公司想為這2023戶居民提供早餐，決定在路旁建立一個(gè)快餐店P(guān)，點(diǎn)P選在緊靠A1012居民家，才能使這2023戶居民到點(diǎn)P的距離總和最小．（填住戶標(biāo)記字母）拓展提升：（6）若數(shù)a，b滿足|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，求a+b的最小值為﹣4．【分析】（1）由兩點(diǎn)間距離直接求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算便可；（3）由題意兩點(diǎn)距離的意義進(jìn)行解答；（4）當(dāng)a取2時(shí)代數(shù)式的值最小，據(jù)此計(jì)算便可；（5）取最中間點(diǎn)便可；（6）在a≤1，b≤﹣5范圍內(nèi)，解方程|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11便可．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2與﹣3兩點(diǎn)之間的距離為|2+3|＝5；（2）∵﹣3≤a≤5，∴|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8；（3）|a﹣1|+|a﹣2|表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)1和2的點(diǎn)的距離之和，當(dāng)a位于1與2之間時(shí)，其距離之和最小，∴|a﹣1|+|a﹣2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2，故答案為：1≤a≤2；（4）當(dāng)a＝2時(shí)，|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|取最小值為：1+0+1＝2，故答案為：2；（5）點(diǎn)P選在A1012居民家．才能使這2023戶居民到點(diǎn)P的距離總和最小，故答案為：A1012；（6）∵|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，∴當(dāng)a≤1，b≤﹣5時(shí)，1﹣a+3﹣a+4﹣b﹣b﹣5＝11，∴a+b＝﹣4，∴若數(shù)a，b滿足|a﹣1|+|a﹣3|+|b﹣4|+|b+5|＝11，a+b的最小值為﹣4，故答案為：﹣4．21．(2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）圖①是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了n層，將圖①倒置后與原圖拼成圖②所示的形狀，這樣我們可以算出圖①中所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n＝.如果圖①﹣④中各有11層．（1）圖①中共有66個(gè)圓圈；（2）我們自上而下，在圓圈中按圖④的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，則最底層最左邊圓圈的數(shù)是56．（3）我們自上而下，按圖④的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，求圖④所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和．【分析】（1）根據(jù)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)變化規(guī)律求解；（2）11層時(shí)最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是第10層的最后一個(gè)數(shù)加1；（3）由（1）得出圓圈的總個(gè)數(shù)，從而分析出23個(gè)負(fù)數(shù)后，又有多少個(gè)正數(shù)．【解答】解：（1）×11×（11+1）＝66，故答案為：66；（2）×10×（10+1）＝55，55+1＝56，故答案為：56；（3）圖4中共有66個(gè)數(shù)，其中23個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)0，42個(gè)正數(shù)，所以圖4中所有圓圈中各數(shù)的和為：|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+42＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+42）＝276+903＝1179．22．(2023秋?東臺(tái)市校級(jí)期末）研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；⑤13+23+33+43+53＝152…（1）根據(jù)以上算式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第⑥個(gè)算式；（2）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個(gè)算式；（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：73+83+93+103．【分析】（1）利用類比的方法得到第⑥個(gè)算式為13+23+33+43+53+63＝212；（2）同樣利用類比的方法得到第n個(gè)算式為；（3）將73+83+93+...+103轉(zhuǎn)化為（13+23+33+43+...+103）﹣（13+23+33+43+...+63）后代入總結(jié)的規(guī)律求解即可．【解答】解：（1）①當(dāng)n＝1時(shí)，13＝12，即，②n＝2時(shí)，13+23＝32，即，③n＝3時(shí)，13+23+33＝62，即，④n＝4時(shí)，13+23+33+43＝102，即，⑤n＝5時(shí)，13+23+33+43+53＝152，即，∴當(dāng)n＝6時(shí)，，故第⑥個(gè)算式為13+23+33+43+53+63＝212；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律可得第n個(gè)式子為：；（3）73+83+93+103＝（13+23+33+43+...+103）﹣（13+23+33+43+...+63）＝＝552﹣212＝（55﹣21）×（55+21）＝34×76＝2584．23．(2023秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）[實(shí)際問題]某商場(chǎng)在“十一國(guó)慶”期間為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)計(jì)了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎(jiǎng)時(shí)可以從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、……等若干張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì)，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？[問題建模]從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，這5個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？[模型探究]我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡(jiǎn)單的情形入手，從中找出解決問題的方法．從1，2，3這3個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？所取的2個(gè)整數(shù)1，21，32，32個(gè)整數(shù)之和345如表①，所取的2個(gè)整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．（1）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，這2個(gè)整數(shù)之和共有7種不同的結(jié)果．（2）從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)之和共有（3n﹣8）種不同的結(jié)果．（3）歸納結(jié)論：從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，這5個(gè)整數(shù)之和共有（5n﹣24）種不同的結(jié)果．[問題解決]從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，共有476種不同的優(yōu)惠金額．[問題拓展]從3，4，5，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n﹣2個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有121種不同的結(jié)果，求n的值．（寫出解答過程）【分析】（1）根據(jù)整數(shù)的總個(gè)數(shù)n，與任取的a個(gè)整數(shù)，分別計(jì)算這a個(gè)整數(shù)之和的最大值、最小值，進(jìn)而得出共有多少種不同結(jié)果情況，然后延伸到一般情況．（2）根據(jù)整數(shù)的總個(gè)數(shù)n，與任取的a個(gè)整數(shù)，分別計(jì)算這a個(gè)整數(shù)之和的最大值、最小值，進(jìn)而得出共有多少種不同結(jié)果情況，然后延伸到一般情況．（3）根據(jù)整數(shù)的總個(gè)數(shù)n，與任取的a個(gè)整數(shù)，分別計(jì)算這a個(gè)整數(shù)之和的最大值、最小值，進(jìn)而得出共有多少種不同結(jié)果情況，然后延伸到一般情況．【解答】解：（1）從1，2，3，4，5這5個(gè)整數(shù)中任取2個(gè)整數(shù)，則這2個(gè)整數(shù)之和最小值為：1+2＝3，最大值為：4+5＝9，則這2個(gè)整數(shù)之和共有9﹣3+1＝7種不同情況，故答案為：7；（2）從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取3個(gè)整數(shù)，則這3個(gè)整數(shù)之和最小值為：1+2+3＝6，最大值為：n﹣2+n﹣1+n＝3n﹣3，則這3個(gè)整數(shù)之和共有不同結(jié)果的種數(shù)為：3n﹣3﹣6+1＝（3n﹣8）種，故答案為：（3n﹣8）；（3）歸納總結(jié)：從1，2，3，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這n個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，則這5個(gè)整數(shù)之和的最小值為：1+2+3+4+5＝15，最大值為n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n﹣10，則這5個(gè)整數(shù)之和共有不同結(jié)果的種數(shù)為：5n﹣10﹣15+1＝（5n﹣24）種，故答案為：（5n﹣24）；問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、……、100元的獎(jiǎng)券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎(jiǎng)券，則這5張獎(jiǎng)券的和的最小值為：1+2+3+4+5＝15（元），最大值為：100+99+98+97+96＝490（元），則這5張獎(jiǎng)券的和共有不同優(yōu)惠金額的種數(shù)為：490﹣15+1＝476（種），故答案為：476；問題拓展：從3，4，5，……，n（n為整數(shù)，且n≥6）這（n﹣2）個(gè)整數(shù)中任取5個(gè)整數(shù)，則這5個(gè)整數(shù)之和的最小值為：3+4+5+6+7＝25，最大值為n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n﹣10，則這5個(gè)整數(shù)之和共有不同結(jié)果的種數(shù)為：5n﹣10﹣25+1＝（5n﹣34）種．24．(2023秋?邗江區(qū)校級(jí)期中）[閱讀理解]我們知道，1+2+3+…n＝，那么12+22+32+...n2結(jié)果等于多少呢？在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和，即n2，這樣，該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…n2．[規(guī)律探究]將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為2n+1，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（12+22+32+…n2）＝，因此，12+22+32+…n2＝．[解決問題]根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算的結(jié)果為．【分析】【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可，所有圈中的數(shù)的和應(yīng)等于同一位置圓圈中的數(shù)的和乘以圓圈個(gè)數(shù)，據(jù)此可得，每個(gè)三角形數(shù)陣和即為三個(gè)三角形數(shù)陣和的，從而得出答案；【解決問題】運(yùn)用以上結(jié)論，將原式變形為，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得．【解答】解：【規(guī)律探究】由題意知，每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n﹣1+2+n＝2n+1，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）×，因此，12+22+32+…+n2＝；故答案為：2n+1，，；【解決問題】原式＝＝×(2023×2+1）＝，故答案為：．25．(2023秋?邗江區(qū)期中）我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”．【Ⅰ】如圖1，請(qǐng)你用“數(shù)形結(jié)合”的思想．（1）求的值為；（2）請(qǐng)你利用（1）的這種知結(jié)論，求下列各式的值：①＝；②計(jì)算：．【Ⅱ】將若干個(gè)同樣大小的小長(zhǎng)方形紙片拼成如圖形狀的大長(zhǎng)方形（小長(zhǎng)方形紙片寬為a，長(zhǎng)為b），請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖形，解答下列問題：（3）a和b之間的關(guān)系滿足．（4）圖2中陰影部分的面積與大長(zhǎng)方形面積的比值是．（5）請(qǐng)你仔細(xì)觀察圖中的一個(gè)陰影部分，根據(jù)面積的不同表示方法，請(qǐng)你寫出（b﹣a）2與（b+a）2，ab三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（6）應(yīng)用：根據(jù)探索中的等量關(guān)系，解決如下問題：x+y＝12，，求x﹣y的值．【分析】（1）根據(jù)圖形面積得出這些數(shù)的和即為1與的面積差，即可解答；（2）①根據(jù)（1）中總結(jié)的規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算即可；②將算式變形為符合（1）中規(guī)律的形式，再進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的不同拼圖即可解答；（4）根據(jù)b＝3a，將大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬用a表示，求出面積；再將陰影部分的面積為用a表示，即可解答；（5）將陰影部分面積表示為大正方形減去四個(gè)小長(zhǎng)方形即可解答；（6）根據(jù)（5）中得出的結(jié)論，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）．故答案為：；（2）①分析得：＝＝＝．故答案為：；②分析得：＝＝＝＝＝．（3）由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的不同拼圖可得4b＝3a+3b，即b＝3a，（4）由于b＝3a，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4b＝12a，寬為3a+b＝6a，因此面積為12a×6a＝72a2；陰影部分的面積為3（b﹣a）2＝3（2a）2＝12a2；因此其比值為，故答案為：；（5）如圖，陰影正方形的邊長(zhǎng)為（b﹣a），因此面積為（b﹣a）2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（b+a），因此面積為（b+a）2，四個(gè)小矩形的面積為4ab，因此有（b﹣a）2＝（b+a）2﹣4ab，（6）∵x+y＝12，，∴，∵112＝121，（﹣11）2＝121，∴x﹣y＝11或﹣11．【限時(shí)檢測(cè)】B卷（模擬提升卷）一．選擇題（共8小題）1．(2023?西藏）按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，﹣，…．則按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】把第3個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為：，不難看出分子是從1開始的奇數(shù)，分母是n2+1，且奇數(shù)項(xiàng)是正，偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)，據(jù)此即可求解．【解答】解：原數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：，﹣，，﹣，，﹣，…，∴＝（﹣1）1+1×，﹣＝（﹣1）2+1×，＝（﹣1）3+1×，..．∴第n個(gè)數(shù)為：（﹣1）n+1，∴第10個(gè)數(shù)為：（﹣1）10+1×＝﹣．故選：A．2．(2023?牡丹江）觀察下列數(shù)據(jù)：，﹣，，﹣，，…，則第12個(gè)數(shù)是（）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可以推算出第n個(gè)數(shù)是×（﹣1）n+1所以第12個(gè)數(shù)字把n＝12代入求值即可．【解答】解：根據(jù)給出的數(shù)據(jù)特點(diǎn)可知第n個(gè)數(shù)是×（﹣1）n+1，∴第12個(gè)數(shù)就是×（﹣1）12+1＝﹣．故選：D．3．(2023?新疆）將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是（）A．98 B．100 C．102 D．104【分析】由三角形的數(shù)陣知，第n行有n個(gè)偶數(shù)，則得出前9行有45個(gè)偶數(shù)，且第45個(gè)偶數(shù)為90，得出第10行第5個(gè)數(shù)即可．【解答】解：由三角形的數(shù)陣知，第n行有n個(gè)偶數(shù)，則得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45個(gè)偶數(shù)，∴第9行最后一個(gè)數(shù)為90，∴第10行第5個(gè)數(shù)是90+2×5＝100，故選：B．4．(2023?云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn【分析】根據(jù)題目中的單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)是一些連續(xù)的奇數(shù)，x的指數(shù)是一些連續(xù)的整數(shù)，從而可以寫出第n個(gè)單項(xiàng)式．【解答】解：∵單項(xiàng)式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為（2n﹣1）xn，故選：A．5．(2023?濟(jì)寧）如圖，用相同的圓點(diǎn)按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個(gè)圓點(diǎn)，第二幅圖7個(gè)圓點(diǎn)，第三幅圖10個(gè)圓點(diǎn)，第四幅圖13個(gè)圓點(diǎn)……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．297 B．301 C．303 D．400【分析】首先根據(jù)前幾個(gè)圖形圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個(gè)圖擺放圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：觀察圖形可知：擺第1個(gè)圖案需要4個(gè)圓點(diǎn)，即4+3×0；擺第2個(gè)圖案需要7個(gè)圓點(diǎn)，即4+3＝4+3×1；擺第3個(gè)圖案需要10個(gè)圓點(diǎn)，即4+3+3＝4+3×2；擺第4個(gè)圖案需要13個(gè)圓點(diǎn)，即4+3+3+3＝4+3×3；…第n個(gè)圖擺放圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：4+3（n﹣1）＝3n+1，∴第100個(gè)圖放圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：3×100+1＝301．故選：B．6．(2023?廣州）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個(gè)圖形需要6根小木棒，拼第2個(gè)圖形需要14根小木棒，拼第3個(gè)圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個(gè)圖形需要2022根小木棒，則n的值為（）A．252 B．253 C．336 D．337【分析】根據(jù)圖形特征，第1個(gè)圖形需要6根小木棒，第2個(gè)圖形需要6×2+2＝14根小木棒，第3個(gè)圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此規(guī)律，得出第n個(gè)圖形需要的小木棒根數(shù)即可．【解答】解：由題意知，第1個(gè)圖形需要6根小木棒，第2個(gè)圖形需要6×2+2＝14根小木棒，第3個(gè)圖形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此規(guī)律，第n個(gè)圖形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，當(dāng)8n﹣2＝2022時(shí)，解得n＝253，故選：B．7．(2023?玉林）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A處．兩枚跳棋跳動(dòng)規(guī)則是：紅跳棋按順時(shí)針方向1秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時(shí)針方向3秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，兩枚跳棋同時(shí)跳動(dòng)，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（）A．4 B．2 C．2 D．0【分析】分別計(jì)算紅跳棋和黑跳棋過2022秒鐘后的位置，紅跳棋跳回到A點(diǎn)，黑跳棋跳到F點(diǎn)，可得結(jié)論．【解答】解：∵紅跳棋從A點(diǎn)按順時(shí)針方向1秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，∴紅跳棋每過6秒返回到A點(diǎn)，2022÷6＝337，∴經(jīng)過2022秒鐘后，紅跳棋跳回到A點(diǎn)，∵黑跳棋從A點(diǎn)按逆時(shí)針方向3秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，∴黑跳棋每過18秒返回到A點(diǎn)，2022÷18＝112???6，∴經(jīng)過2022秒鐘后，黑跳棋跳到E點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)F作FM⊥AE，由題意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，在Rt△AFM中，AM＝AF＝，∴AE＝2AM＝2，∴經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是2．故選：B．8．(2023?荊州）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBn?nDn的面積是（）A． B． C． D．【分析】連接A1C1，D1B1，可知四邊形A1B1C1D1的面積為矩形ABCD面積的一半，則S1＝ab，再根據(jù)三角形中位線定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，則S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得規(guī)律．【解答】解：如圖，連接A1C1，D1B1，∵順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，∴四邊形A1BCC1是矩形，∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，∴A1C1⊥B1D1，∴S1＝ab，∵順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，∴S2＝C1×B1D1＝ab，……依此可得Sn＝，故選：A．二．填空題（共10小題）9．(2023?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第n個(gè)圖中共有木料根．【分析】觀察圖形可得：第n個(gè)圖形最底層有n根木料，據(jù)此可得答案．【解答】解：由圖可知：第一個(gè)圖形有木料1根，第二個(gè)圖形有木料1+2＝3（根），第三個(gè)圖形有木料1+2+3＝6（根），第四個(gè)圖形有木料1+2+