2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類(lèi)與強(qiáng)化測(cè)試專(zhuān)題32平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)生版

專(zhuān)題32平面向量的概念及線性運(yùn)算一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【常用結(jié)論】1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【方法技巧】1.平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.2.(1)解決平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.3.與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.4.利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.二、【題型歸類(lèi)】【題型一】向量的基本概念【典例1】(多選)給出下列命題，不正確的有()A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線【典例2】(多選)下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B．零向量的長(zhǎng)度等于0C．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線D．若a＝b，b＝c，則a＝c【典例3】對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【題型二】平面向量的線性運(yùn)算【典例1】設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|【典例2】在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b【典例3】在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，點(diǎn)E是線段eq\o(BC,\s\up6(→))的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.【題型三】平面向量共線定理的應(yīng)用【典例1】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【典例2】已知向量a與b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝na＋b(m，n∈R)，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線的條件是()A．m＋n＝0 B．m－n＝0C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0【典例3】已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在()A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列關(guān)系中正確的是()A.eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up6(→)) B．eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up6(→))C.eq\o(ES,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→)) D．eq\o(AT,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up6(→))【訓(xùn)練二】若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，則S△AOC∶S△ABC＝________.【訓(xùn)練三】如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______.【訓(xùn)練四】經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R＋.(1)證明：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)為定值；(2)求m＋n的最小值.【訓(xùn)練五】經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R*.(1)證明：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)為定值；(2)求m＋n的最小值．【訓(xùn)練六】已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.若a，b為非零向量，則“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件2.設(shè)a＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))，b是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)＋b＝aC．a(chǎn)＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b|3.如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))4.已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部5.已知O是正方形ABCD的中心．若eq\o(DO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則eq\f(λ,μ)＝()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．－eq\r(2) D．eq\r(2)6.矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，則λ2＋μ2＝()A.eq\f(5,8) B.eq\f(1,4) C.1 D.eq\f(5,16)7.在△ABC中，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ－μ的值是()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)8.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，則x等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)【多選題】9.下列選項(xiàng)中的式子，結(jié)果為零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))10.(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0B．若|a|＝|b|且a∥b，則a＝bC．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．若a∥b，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa11.(多選)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點(diǎn)M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)12.點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－2eq\o(PA,\s\up6(→))|＝0，則△ABC不可能是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【填空題】13.若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．14.已知e1，e2為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點(diǎn)共線，則λ＝________．15.已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)16.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．【解答題】17.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).18.已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\