2023中考數(shù)學考試試卷試題中考數(shù)學初三真題及答案解析含答案

2023中考數(shù)學考試試卷試題中考數(shù)學初中學業(yè)水平考試初三真題及答案解析(含答案和解析)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁．考試時間120分鐘，滿分120分．溫馨提示：1．答題前，考生需用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號正確填寫在答題卡對應位置．待監(jiān)考老師粘貼條形碼后，再認真核對條形碼上的信息與自己的準考證上的信息是否一致．2．選擇題必須使用2B鉛筆在答題卡相應位置規(guī)范填涂．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡對應的框內，超出答題區(qū)答案無效；在草稿紙、試題卷上作答無效．3．保持答題卡整潔，不要折疊、弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀．4．考試結束后，將試卷及答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．每小題涂對得3分，滿分36分．1．下列各式正確的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5【分析】根據(jù)絕對值的性質和相反數(shù)的定義對各選項分析判斷即可．解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴選項A不符合題意；B、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項B不符合題意；C、∵|﹣5|＝5，∴選項C不符合題意；D、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項D符合題意．故選：D．2．如圖，AB∥CD，點P為CD上一點，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結論．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故選：B．3．冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0×10﹣9米，若用科學記數(shù)法表示110納米，則正確的結果是（）A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：110納米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．故選：C．4．在平面直角坐標系的第四象限內有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點M的坐標為（）A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）【分析】直接利用點的坐標特點進而分析得出答案．解：∵在平面直角坐標系的第四象限內有一點M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點M的縱坐標為：﹣4，橫坐標為：5，即點M的坐標為：（5，﹣4）．故選：D．5．下列圖形：線段、等邊三角形、平行四邊形、圓，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有2個．故選：B．6．如圖，點A在雙曲線y＝上，點B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，點C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關系S＝|k|即可判斷．解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，∵點A在雙曲線y＝上，∴四邊形AEOD的面積為4，∵點B在雙曲線線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．故選：C．7．下列命題是假命題的是（）A．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對角線互相垂直的矩形是正方形 C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【分析】利用正方形的判定依次判斷，可求解．解：A、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形是真命題，故選項A不合題意；B、對角線互相垂直的矩形是正方形是真命題，故選項B不合題意；C、對角線相等的菱形是正方形是真命題，故選項C不合題意；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，故選項D符合題意；故選：D．8．已知一組數(shù)據(jù)：5，4，3，4，9，關于這組數(shù)據(jù)的下列描述：①平均數(shù)是5，②中位數(shù)是4，③眾數(shù)是4，④方差是4.4，其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，然后根據(jù)算術平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，再根據(jù)方差公式計算數(shù)據(jù)的方差，然后利用計算結果對各選項進行判斷．解：數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，它的平均數(shù)為＝5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，數(shù)據(jù)的方差＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以A、B、C、D都正確．故選：D．9．在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C，若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．10．對于任意實數(shù)k，關于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判定【分析】先根據(jù)根的判別式求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內容判斷即可．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不論k為何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程沒有實數(shù)根，故選：B．11．對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實數(shù)），⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結論正確的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當x＝1時，y的值最小，此時，y＝a+b+c，而當x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤，故選：A．12．如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點A落在EF上的點A′處，得到折痕BM，BM與EF相交于點N．若直線BA′交直線CD于點O，BC＝5，EN＝1，則OD的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中位線定理可得AM＝2，根據(jù)折疊的性質和等腰三角形的性質可得A′M＝A′N＝2，過M點作MG⊥EF于G，可求A′G，根據(jù)勾股定理可求MG，進一步得到BE，再根據(jù)平行線分線段成比例可求OF，從而得到OD．解：∵EN＝1，∴由中位線定理得AM＝2，由折疊的性質可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2過M點作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故選：B．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每小題3分，共18分）11.2019年是中華人民共和國成立70周年，天安門廣場舉行了盛大的國慶閱兵式和群眾游行活動．其中，群眾游行隊伍以“同心共筑中國夢”為主題，包含有“建國創(chuàng)業(yè)”“改革開放”“偉大復興”三個部分，某同學要統(tǒng)計本班學生最喜歡哪個部分，制作扇形統(tǒng)計圖．以下是打亂了的統(tǒng)計步驟：①繪制扇形統(tǒng)計圖②收集三個部分本班學生喜歡的人數(shù)③計算扇形統(tǒng)計圖中三個部分所占的百分比其中正確的統(tǒng)計順序是____________．【答案】②③①【解析】【分析】制作扇形統(tǒng)計圖的一般步驟是：1、計算各部分在總體中所占的百分比；2、計算各個扇形的圓心角的度數(shù)；3、在圓中依次作出上面的扇形，并標出百分比；據(jù)此解答即可．【詳解】解：正確的統(tǒng)計順序是：②收集三個部分本班學生喜歡的人數(shù)；③計算扇形統(tǒng)計圖中三個部分所占的百分比；①繪制扇形統(tǒng)計圖；故答案為：②③①．【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖的相關知識，解題的關鍵明確制作扇形統(tǒng)計圖的一般步驟．12.如圖，點與點關于直線對稱，則______．【答案】-5【解析】【分析】根據(jù)點與點關于直線對稱求得a，b的值，最后代入求解即可．【詳解】解：∵點與點關于直線對稱∴a=-2，,解得b=-3∴a+b=-2+（-3）=-5故答案為-5．【點睛】本題考查了關于y=-1對稱點的性質，根據(jù)對稱點的性質求得a、b的值是解答本題的關鍵．13.小明為測量校園里一顆大樹的高度，在樹底部B所在的水平面內，將測角儀豎直放在與B相距的位置，在D處測得樹頂A的仰角為．若測角儀的高度是，則大樹的高度約為_____．（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】11m【解析】【分析】過D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解決問題．【詳解】如圖，過D作DE⊥AB，則四邊形BCDE是矩形，∴BC=DE，BE=CD，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為52o，∴∠ADE=52o，∵BC=DE=8m，∴AE=DE?tan52o≈8×1.28≈10.24m，∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.∴AB約為：11m.故答案為：11m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，構造直角三角形是解答的關鍵．14.如圖，點A、B在反比函數(shù)的圖象上，A、B的縱坐標分別是3和6，連接、，則的面積是__________．【答案】9【解析】【分析】設BD⊥y軸于點D，AC⊥y軸于點C，AC與OB的交點為點E，證得S四邊形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四邊形ABDC，根據(jù)梯形的面積公式求解即可．【詳解】如圖，設BD⊥y軸于點D，AC⊥y軸于點C，AC與OB的交點為點E，∵A、B的縱坐標分別是3和6，代入函數(shù)關系式可得橫坐標分別為4,2；∴A（4,3），B（2,6）；∴AC=4，BD=2，CD=3由反比例函數(shù)的幾何意義可得S△BOD=S△AOC，∴S四邊形EBDC=S△AOE，∴S△AOB=S四邊形ABDC=，故答案為：9．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)中三角形面積的求解，要能夠熟練掌握反比例函數(shù)的性質和幾何意義；雙曲線上任意一點向x軸或y軸引垂線，則該點、垂足、原點組成的三角形的面積相等，都是．15.已知的三邊a、b、c滿足，則的內切圓半徑=____．【答案】1【解析】【分析】先將變形成，然后根據(jù)非負性的性質求得a、b、c的值，再運用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．【詳解】解：則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，∵42+32=52∴△ABC是直角三角形∴的內切圓半徑==1．故答案為1．【點睛】本題考查了非負數(shù)性質的應用、勾股定理逆定理的應用以及直角三角形內切圓的求法，掌握直角三角形內切圓半徑的求法以及求得a、b、c的值是解答本題的關鍵．16.已知k為正整數(shù)，無論k取何值，直線與直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是_________；記直線和與x軸圍成的三角形面積為，則_____，的值為______．【答案】(1).(2).(3).【解析】【分析】聯(lián)立直線和成方程組，通過解方程組，即可得到交點坐標；分別表示出直線和與x軸的交點，求得交點坐標即可得到三角形的邊長與高，根據(jù)三角形面積公式進行列式并化簡，即可得到直線和與x軸圍成的三角形面積為的表達式，從而可得到和，再依據(jù)分數(shù)的運算方法即可得解．【詳解】解：聯(lián)立直線與直線成方程組，，解得，∴這兩條直線都交于一個固定的點，這個點的坐標是；∵直線與x軸的交點為，直線與x軸的交點為，∴，∴，故答案為：；；【點睛】本題考查了一次函數(shù)（k≠0，b為常數(shù))的圖象與兩坐標軸的交點坐標特點，與x軸的交點的縱坐標為0，與y軸的交點的橫坐標為0；也考查了坐標與線段的關系、三角形的面積公式以及分數(shù)的特殊運算方法．解題的關鍵是熟練掌握一次函數(shù)（k≠0，b為常數(shù))的圖象與性質，能靈活運用分數(shù)的特殊運算方法．三、解答題：解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟（共72分）17.計算：．【答案】1【解析】【分析】先運用乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、立方根的知識化簡，然后計算即可．【詳解】解：==1．【點睛】本題考查了乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、立方根等知識，掌握相關知識的運算法則是解答本題的關鍵．18.求代數(shù)式的值，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡原式，再把x的值代入化簡后的式子計算即可．【詳解】解：原式=====，當時，原式=．【點睛】本題考查了分式的化簡求值以及二次根式的混合運算，屬于常考題型，熟練掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．19.如圖，點O在的邊上，以為半徑作，的平分線交于點D，過點D作于點E．（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補全圖形；（2）判斷與交點的個數(shù)，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）與有1個交點，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知圓心和半徑作圓、作已知角的平分線、過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖的步驟作圖即可；（2）連接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分線得出∠1=∠3，等量代換進而證出OD∥BA，根據(jù)兩直線平行同旁內角互補，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切線，即與有1個交點.【詳解】解：（1）如下圖，補全圖形：（2）如下圖，連接OD，∵點D在上，∴OB=OD，∴∠1=∠2，又∵BM平分，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BA，∴∠ODE+∠BED=180°，∵∴∠ODE=90°，∴OD是的切線，∴與有1個交點.【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的步驟及圓的切線的判定定理是解題的關鍵.20.爭創(chuàng)全國文明城市，從我做起．尚理中學在八年級開設了文明禮儀校本課程，為了解學生的學習情況，隨機抽取了20名學生的測試成績，分數(shù)如下：94839086948896100898294828489889398949392整理上面的數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖：等級成績/分頻數(shù)AaB8C5D4根據(jù)以上信息，解答下列問題．（1）填空：_______，______；（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，估計該校1200名八年級學生中，達到優(yōu)秀等級人數(shù)；（3）已知A等級中有2名女生，現(xiàn)從A等級中隨機抽取2名同學，試用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）3，40；（2）660人；（3）【解析】【分析】（1）用20分別減去其它三個等級的人數(shù)即為a的值，用B等級的頻數(shù)除以20即可求出b的值；（2）用A、B兩個等級的人數(shù)之和除以20再乘以1200計算即可；（3）先畫出樹狀圖求出所有等可能的結果數(shù)，再找出恰好抽到一男一女的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式解答．【詳解】解：（1）；8÷20=40%，∴b=40；故答案為：3，40；（2）人；答：估計該校1200名八年級學生中，達到優(yōu)秀等級的人數(shù)是660人；（3）記A等級中的2名女生為M、N，1名男生為Y，所有可能的情況如圖所示：由上圖可知：共有6種等可能的結果，其中恰好抽到一男一女的結果有4種，∴恰好抽到一男一女的概率=．【點睛】本題考查了頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計圖、利用樣本估計總體和求兩次事件的概率等知識，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．21.如圖，中，，D、E分別是邊、的中點．將繞點E旋轉180度，得．（1）判斷四邊形的形狀，并證明；（2）已知，，求四邊形的面積S．【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可得，根據(jù)旋轉的性質，，可證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，D、E分別是邊、的中點，可知，所以四邊形是菱形；（2）由（1）得菱形的對角線互相垂直平分，再根據(jù)，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根據(jù)菱形的面積求解公式計算即可；【詳解】（1）四邊形ABCD菱形，理由如下：∵D、E分別是邊、的中點，∴，又∵繞點E旋轉180度后得，∴，∴，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵，∴，∴四邊形ABCD是菱形．（2）如圖，連接AD、BF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD與BF相互垂直且平分，又∵，∴，令，，在Rt△ABO中，，∴,即，解得：，，即由圖可知，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質綜合應用，準確理解中位線定理和旋轉性質是解題的關鍵．22.某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關信息如下表：原進價（元/張）零售價（元/張）成套售價（元/套）餐桌a380940餐椅160已知用600元購進的餐椅數(shù)量與用1300元購進的餐桌數(shù)量相同．（1）求表中a的值；（2）該商場計劃購進餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過200張．若將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】（1）a=260；（2）購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．【解析】【分析】（1）用含a的代數(shù)式分別表示出600元購進的餐椅數(shù)量與用1300元購進的餐桌數(shù)量，再根據(jù)二者數(shù)量相等即可列出關于a的方程，解方程并檢驗即得結果；（2）設購進餐桌x張，銷售利潤為W元．根據(jù)購進總數(shù)量不超過200張，得出關于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范圍，再根據(jù)“總利潤＝成套銷售的利潤+零售餐桌的利潤+零售餐椅的利潤”即可得出W關于x的一次函數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質即可解決問題．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得：，解得：a=260，經檢驗：a=260是所列方程的解，∴a=260；（2）設購進餐桌x張，則購進餐椅（5x+20）張，銷售利潤為W元．由題意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．∵a＝260，∴餐桌的進價為260元/張，餐椅的進價為120元/張．依題意可知：W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，∵k＝280＞0，∴W隨x的增大而增大，∴當x＝30時，W取最大值，最大值為9200元．故購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元．【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式和一次函數(shù)的應用，屬于?？碱}型，解題的關鍵是：（1）正確理解題意、由數(shù)量相等得出關于a的分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關系找出W關于x的函數(shù)解析式，靈活應用一次函數(shù)的性質．23.如圖，在梯形中，，，，．P為線段上的一動點，且和B、C不重合，連接，過點P作交射線于點E．聰聰根據(jù)學習函數(shù)的經驗，對這個問題進行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)，請你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變的長度，運動點P，得到不同位置時，、的長度的對應值：當時，得表1：…12345……0.831.331.501330.83…當時，得表2：…1234567……1.172.002.502.672.502.001.17…這說明，點P在線段上運動時，要保證點E總在線段上，的長度應有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在和的長度這兩個變量中，_____的長度為自變量，_____的長度為因變量；②設，當點P在線段上運動時，點E總在線段上，求m取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因為∠B＝∠C＝90°，即可證得相似；（2）①由題意可得隨著P點的變化，CE的長度在變化，即可判斷自變量和因變量；②設BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，由△ABP∽△PCE，利用對應邊成比例求出y與x的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；【詳解】解：（1）證明：∵，∴∠APE＝90°，∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，∴∠APB＝∠CEP，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△PCE；（2）①由題意可得隨著P點的變化，CE的長度在變化，所以BP的長度為自變量，CE的長度為因變量；故答案為：BP，CE；②設BP的長度為xcm，CE的長度為ycm，∵△ABP∽△PCE，∴，即，∴y＝＝，∴當x＝時，y取得最大值，最大值為，∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，∴≤2，解得m≤，∴m的取值范圍為：0＜m≤．【點睛】本題考察了代數(shù)幾何綜合題、相似三角形的判定與性質、梯形的性質、二次函數(shù)最值等知識點，所涉及考點眾多，有一定的難度．注意第（2）問中求m取值范圍時二次函數(shù)性質的應用．24.（1）【閱讀與證明】如圖1，在正的外角內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．①完成證明：點E是點C關于的對稱點，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）【類比與探究】把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關系___________．（3）【歸納與拓展】如圖3，點A在射線上，，，在內引射線，作點C關于的對稱點E（點E在內），連接，、分別交于點F、G．則線段、、之間的數(shù)量關系為__________．【答案】（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【解析】【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據(jù)（1）（2）的結論，即可總結出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點C關于的對稱點E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEF