2019-2020學年高中數(shù)學第二章解析幾何初步1.5平面直角坐標系中的距離公式練習(含解析)北師大版必修2

PAGE9-1．5平面直角坐標系中的距離公式填一填1.兩點間的距離公式(1)數(shù)軸上：一般地，數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的實數(shù)分別是xA，xB，則|AB|＝|xB－xA|.(2)平面直角坐標系中：一般地，若兩點A，B對應(yīng)的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．點到直線的距離點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離記為d，則d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩平行線間的距離兩條平行直線的方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，兩條直線間的距離記為d，即d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)).判一判1.原點O到點P(x，y)的距離為|OP|＝eq\r(x2＋y2).(√)2．平面內(nèi)兩點間的距離公式與坐標順序有關(guān)．(×)3．平面內(nèi)任意兩點間的距離均可使用兩點間的距離公式．(√)4．直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離是|C1－C2|.(×)5．原點到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式是eq\f(|C|,\r(A2＋B2)).(√)6．平行線間的距離是兩平行線上兩點間距離的最小值．(√)7．連接兩條平行直線上兩點，即得兩平行線間的距離．(×)8．點到直線的距離是直線上的點與直線外一點連線的長度中的最小值．(√)想一想1.在使用點到直線的距離公式時，對直線方程的形式有什么要求？提示：點到直線的距離公式只適用直線方程的一般式．2．兩條平行直線間的距離公式寫成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))時對兩條直線應(yīng)有什么要求？提示：兩條平行直線的方程都是一般式，并且x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等．3．兩條平行直線間距離有哪幾種求法？提示：(1)直接利用兩平行線間的距離公式．(2)在一條直線上任意選取一點利用點到直線的距離公式求解(一般要選特殊的點，如直線與坐標軸的交點、坐標為整數(shù)的點)．(3)當兩直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決．①當兩直線都與x軸垂直時，l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；②當兩直線都與y軸垂直時，l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|.4．距離公式綜合應(yīng)用的常見類型有哪些？提示：(1)最值問題．①利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題．②利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離．③利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值．(2)求參數(shù)問題．利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組求值．(3)求方程的問題．立足確定直線的幾何要素——點和方向，利用直線方程的各種形式，結(jié)合直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系)，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解．思考感悟：練一練1.已知A(3,7)，B(2,5)，則A，B兩點間的距離為()A．5B.eq\r(5)C．3D．29答案：B2．已知直線上兩點A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，則()A．原點一定是線段AB的中點B．A，B一定都與原點重合C．原點一定在線段AB上，但不是線段AB的中點D．原點一定在線段AB的垂直平分線上答案：D3．點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是()A．3eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C．3D.eq\f(3\r(2),2)答案：D4．點(5，－3)到直線x＋2＝0的距離等于()A．7B．5C．3D．2答案：A5．直線l1：x＋y＝0與直線l2：2x＋2y＋1＝0間的距離是________．答案：eq\f(\r(2),4)知識點一兩點間距離公式的應(yīng)用1.已知點A(2，m)與點B(m,1)間的距離是eq\r(13)，則實數(shù)m＝()A．－1B．4C．－1或4D．－4或1解析：∵|AB|＝eq\r(m－22＋1－m2)＝eq\r(13)，∴m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m答案：C2．已知點A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，則△ABC中，BC邊上的中線長為________．解析：BC中點為(－1,2)，所以BC邊上中線長為eq\r(2＋12＋1－22)＝eq\r(10).答案：eq\r(10)知識點二求點到直線的距離3.已知點(a,1)到直線x－y＋1＝0的距離為1，則a的值為()A．1B．－1C.eq\r(2)D．±eq\r(2)解析：由題意，得eq\f(|a－1＋1|,\r(12＋－12))＝1，即|a|＝eq\r(2)，所以a＝±eq\r(2).故選D.答案：D4．點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O是原點，則|OP|的最小值是()A.eq\r(10)B．2eq\r(2)C.eq\r(6)D．2解析：由題意可知|OP|的最小值即原點(0,0)到直線x＋y－4＝0的距離d＝eq\f(|－4|,\r(2))＝2eq\r(2).答案：B知識點三兩條平行直線間的距離5.已知兩條平行直線l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0間的距離為3，則b＋c等于()A．－12B．48C．36D．－12或48解析：將l1：3x＋4y＋5＝0改寫為6x＋8y＋10＝0，因為兩條直線平行，所以b＝8.由eq\f(|10－c|,\r(62＋82))＝3，解得c＝－20或c＝40.所以b＋c＝－12或48.故選D.答案：D6．已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是()A．4B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26)D.eq\f(7\r(13),26)解析：由兩直線平行可知eq\f(3,6)＝eq\f(2,m)≠eq\f(－3,1)，故m＝4.又方程6x＋4y＋1＝0可化簡為3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0，∴平行線間的距離為eq\f(|\f(1,2)－－3|,\r(22＋32))＝eq\f(7\r(13),26).故選D.答案：D知識點四對稱問題7.直線y＝3x－4關(guān)于點P(2，－1)對稱的直線l的方程是()A．y＝3x－10B．y＝3x－18C．y＝3x＋4D．y＝4x＋3解析：在直線上任取兩點A(1，－1)，B(0，－4)，則其關(guān)于點P的對稱點A′，B′可由中點坐標公式求得為A′(3，－1)，B′(4,2)，由兩點式可求得方程為y＝3x－10.答案：A8．直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線的方程是()A．3x－2y＋2＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：由平面幾何知識易知所求直線與已知直線2x＋3y－6＝0平行，則可設(shè)所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0(C≠－6)．在直線2x＋3y－6＝0上任取一點(3,0)，其關(guān)于點(1，－1)對稱的點為(－1，－2)，則點(－1，－2)必在所求直線上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0.答案：D綜合知識距離公式的綜合應(yīng)用9.已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．(1)求BC邊上的高所在直線方程的一般式；(2)求△ABC的面積．解析：(1)因為kBC＝eq\f(3－－2,4－3)＝5，所以BC邊上的高AD所在直線斜率k＝－eq\f(1,5).所以AD所在直線方程為y＋1＝－eq\f(1,5)(x－2)．即x＋5y＋3＝0.(2)BC的直線方程為：y＋2＝5(x－3)．即5x－y－17＝0，點A到直線BC的距離為eq\f(|2×5－－1－17|,\r(52＋－12))＝eq\f(6,\r(26)).又因為|BC|＝eq\r(3－42＋－2－32)＝eq\r(26)，所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(6,\r(26))×eq\r(26)＝3.10．已知直線l1經(jīng)過點A(0,1)，直線l2經(jīng)過點B(5,0)，且直線l1∥l2，l1與l2間的距離為5，求直線l1，l2的方程．解析：∵直線l1∥l2，∴當直線l1，l2垂直于x軸時，直線l1的方程為x＝0，直線l2的方程為x＝5，這時直線l1，l2之間的距離等于5，符合題意．當直線l1，l2不垂直于x軸時，可設(shè)其斜率為k，依題意得，直線l1的方程為y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，直線l2的方程為y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由兩條平行直線間的距離公式，得eq\f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，解得k＝eq\f(12,5).∴直線l1的方程為12x－5y＋5＝0，直線l2的方程為12x－5y－60＝0.綜上，符合題意的直線l1，l2的方程有兩組：l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.基礎(chǔ)達標一、選擇題1．點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是()A．3B.eq\f(5,3)C．1D.eq\f(\r(2),2)解析：點P(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|3×－1－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，選B.答案：B2．已知點M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數(shù)m＝()A．0B.eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)解析：點M到直線l的距離d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，選D.答案：D3．兩條平行直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0間的距離為()A.eq\f(13,10)B.eq\f(13,5)C.eq\f(7,2)D.eq\f(23,5)解析：直線3x＋4y－12＝0，即直線6x＋8y－24＝0，根據(jù)直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0平行，可得a＝6，故兩條平行直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0間的距離為eq\f(|－24－11|,\r(36＋64))＝eq\f(7,2).答案：C4．已知點A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，則△ABC的面積等于()A．3B．4C．5D．6解析：設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h.|AB|＝eq\r(3－12＋1－32)＝2eq\r(2)，AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離．AB邊所在的直線方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.點C到直線x＋y－4＝0的距離為eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5.答案：C5．直線l垂直于直線y＝x＋1，原點O到l的距離為1，且l與y軸正半軸有交點．則直線l的方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋eq\r(2)＝0解析：因為直線l與直線y＝x＋1垂直，所以設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b.又l與y軸正半軸有交點，知b>0，即x＋y－b＝0(b>0)，原點O(0,0)到直線x＋y－b＝0(b>0)的距離為eq\f(|0＋0－b|,\r(12＋12))＝1，解得b＝eq\r(2)(b＝－eq\r(2)舍去)，所以所求直線l的方程為x＋y－eq\r(2)＝0.答案：A6．已知△ABC的三個頂點是A(－a,0)，B(a,0)和Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a))，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．斜三角形解析：因為kAC＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\f(a,2)＋a)＝eq\f(\r(3),3)，kBC＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\f(a,2)－a)＝－eq\r(3)，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC，又|AC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2)＝eq\r(3)|a|.|BC|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a－0))2)＝|a|，|AC|≠|(zhì)BC|.所以△ABC為直角三角形．答案：C7．若動點A(x1，y1)，B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為()A．3eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D．4解析：由題意，知點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為x＋y＋c＝0，則eq\f(|c＋7|,\r(2))＝eq\f(|c＋5|,\r(2))，即c＝－6，∴點M在直線x＋y－6＝0上，∴點M到原點的距離的最小值就是原點到直線x＋y－6＝0的距離，即eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案：A二、填空題8．已知點A(－1,2)，B(3，b)的距離是5，則b＝________.解析：根據(jù)兩點間的距離公式，可得eq\r(3＋12＋b－22)＝5，解得b＝5或b＝－1.答案：5或－19．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝eq\f(17,3).答案：－3或eq\f(17,3)10．兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋n＝0平行且距離為eq\r(10)，則m＋n＝________.解析：因為兩直線平行，所以m＝2，由兩平行線的距離公式知eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－\f(n,2))),\r(32＋12))＝eq\r(10)，解得n＝14或n＝－26.所以m＋n＝16或m＋n＝－24.答案：16或－2411．已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________________________________________________________________________．解析：顯然直線l的斜率不存在時，不滿足題意；設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，所以k＝2或k＝－eq\f(2,3).所以所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案：2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝012．已知實數(shù)x，y滿足2x＋y＋5＝0，那么eq\r(x2＋y2)的最小值為________．解析：求eq\r(x2＋y2)的最小值，就是求2x＋y＋5＝0上的點到原點的距離的最小值，轉(zhuǎn)化為坐標原點到直線2x＋y＋5＝0的距離d＝eq\f(5,\r(22＋12))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)三、解答題13．已知點P(2，－1)．(1)求過P點且與原點距離為2的直線l的方程；(2)求過P點且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．解析：(1)過P點的直線l與原點距離為2，而P點坐標為(2，－1)，可見，過P點垂直于x軸的直線滿足條件，此時直線l的斜率不存在，其方程為x＝2.若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此時l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)過P點且與原點O距離最大的直線是過P點且與OP垂直的直線．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝eq\f(－1,kOP)＝2.由直線方程的點斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直線2x－y－5＝0是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，存在過點P且到原點距離最大為eq\r(5)的直線，因此不存在過點P到原點距離為6的直線．14．已知直線l1：x＋3y－3m2＝0和直線l2：2x＋y－m2－5m＝0相交于點P(m(1)用m表示直線l1與l2的交點P的坐標；(2)當m為何值時，點P到直線x＋y＋3＝0的距離最短？并求出最短距離．解析：(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3m2＝0，,2x＋y－m2－5m＝0，))得x＝3m，y＝m2－m，∴直線l1與l2的交點P的坐標為(3m，m2－m(2)設(shè)點P到直線x＋y＋3＝0的距離為d，d＝eq\f(|3m＋m2－m＋3|,2)＝eq\f(|m2＋2m＋3|,\r(2))＝eq\f(|m＋12＋2|,\r(2))＝eq\f(m＋12＋2,\r(2))，∴當m＝－1時，即P點坐標為(－3,2)時，點P到直線x＋y＋3＝0的距離最短，最短距離為eq\r(2).能力提升15.已知兩點A(2,3)，B(4,1)，直線l：x＋2y－2＝0，在直線l上求一點P.(1)使|PA|＋|PB|最小；(2)使||PA|－|PB||最大．解析：(1)可判斷A，B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點關(guān)于l的對稱點A1的坐標為(x1，y1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2,2)＋2·\f(y1＋3,2)－2＝0，,\f(y1－3,x1－2)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(2,5)，,y1＝－\f(9,5).))由直線的兩點式方程得直線A1B的方程為eq\f(y－1,－\f(9,5)－1)＝eq\f(x－4,－\f(2,5)－4)，即y＝eq\f(7,11)(x－4)＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,y＝\f(7,11)x－4＋1))得直線A1B與l的交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(56,25)，－\f(3,25)))，由平面幾何知識可知，此時|PA|＋|PB|最小．(2)由直線的兩點式方程求得直線AB的方程為eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－2,4－2)，即x＋y－5＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,x＋y－5＝0))得直線AB與l的交點為P(8，－3)，此時||PA|－|PB||最大．16．已知三條直線l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它們圍成△ABC.(1)求證：不論m取何值時，△ABC中總有一個頂點為定點；(2)當m取何值時，△ABC的面積取最值？并求出最值．解析：(1)證明：設(shè)直線l1與直線l3的交點為A.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋m＝0，,m＋1x－y＋m＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x