2024年新高考數(shù)學一輪復習知識梳理與題型歸納第59講離散型隨機變量及其分布列學生版

第59講離散型隨機變量及其分布列思維導圖知識梳理1．離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機變量．所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量．(2)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，具有如下性質(zhì)：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．2．兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1－pp其中0<p<1，則稱離散型隨機變量X服從兩點分布．其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．3．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)．X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一個隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布．題型歸納題型1離散型隨機變量分布列的性質(zhì)【例1-1】設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101Peq\f(1,3)2－3qq2則q的值為()A．1B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)【例1-2】已知隨機變量X的分布規(guī)律為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，則P(X＝2)＝________.【跟蹤訓練1-1】離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜X＜\f(5,2)))的值為________．【跟蹤訓練1-2】設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機變量Y＝2X＋1的分布列；(2)求隨機變量η＝|X－1|的分布列；(3)求隨機變量ξ＝X2的分布列．【名師指導】離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.題型2超幾何分布【例2-1】某小組共10人，利用假期參加義工活動．已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列．【跟蹤訓練2-1】某大學生志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列．【跟蹤訓練2-2】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．【名師指導】1．隨機變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗是不放回地抽取n次；(2)隨機變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2．求超幾何分布的分布列的步驟第一步，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．題型3求離散型隨機變量的分布列【例3-1】已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列．【跟蹤訓練3-1】有編號為1,2,3，…，n的n個學生，入座編號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法．(1)求n的值；(2)求隨機變量X的分布列．【跟蹤訓練3-2】甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，決定各購置一輛純電動汽車．經(jīng)了解目前市場上銷售的主流純電動汽車，按行駛里程數(shù)R(單位：公里)可分為三類車型：A：80≤R<150，B：150≤R<250，C：R≥250.甲從A，B，C三類車型中挑選，乙從B，C兩類車型中挑選，甲、乙二人選擇各類車型的概率如表：車型概率人ABC甲eq\f(1,5)pq乙eq\f(1,4