安徽省銅陵市大通中學高三數(shù)學理測試題含解析

安徽省銅陵市大通中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6，則數(shù)列{}的前5項和為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質．【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質和題干條件9S3=S6，求出等比數(shù)列{an}的公比，即可求出該數(shù)列的前五項，數(shù)列的前5項和也就易求出．【解答】解：∵等比數(shù)列前n項和公式Sn=，而9S3=S6，∴列等式可知q=2，所以a1=1，a2=2，a3=4…其倒數(shù)列前五項為1、、、、，故前5項和為1++++=，故選B．2.參考答案：C3.設a，b，c∈R，則“1，a，b，c，16為等比數(shù)列”是“b=4”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先根據(jù)數(shù)列的第一項和第五項的值，求得公比q，進而通過等比數(shù)列的通項公式求得第三項b，再根據(jù)充分必要的條件的定義判斷即可．【解答】解：依題意可知a1=1，a5=16，∴=q4=16，∴q2=4，∴b=a1q2=4，則“1，a，b，c，16為等比數(shù)列”可以推出“b=4”，但由b=4不能推出“1，a，b，c，16為等比數(shù)列”，故選：A．4.對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“”如下：當m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，mn=m+n；當m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，mn=mn。則在此定義下，集合中的元素個數(shù)是

A．10個

B．15個

C．16個

D．18個參考答案：5.設是雙曲線的左右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若，則雙曲線C的漸近線方程是A． B． C． D．參考答案：A解析：因為P為右支上一點，由雙曲線的定義，可得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得，cos30°＝＝＝.

則有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，則b＝＝a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即為y＝±x，故選A.

6.已知,那么 （）A． B． C． D．參考答案：C略7.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則A. B. C. D.參考答案：D略8.設向量，滿足|+|=，|﹣|=，則?=（）A．1 B．2 C．3 D．5參考答案：A考點： 平面向量數(shù)量積的運算．

專題： 平面向量及應用．分析： 將等式進行平方，相加即可得到結論．解答： 解：∵|+|=，|﹣|=，∴分別平方得+2?+=10，﹣2?+=6，兩式相減得4?=10﹣6=4，即?=1，故選：A．點評： 本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關鍵，比較基礎．9.實數(shù)滿足,若的最大值為13,則實數(shù)的值為（

）A.2

B. C. D.5參考答案：C略10.設為的虛部，為的實部，則（

）A．-1

B．-2

C．-3

D．0參考答案：A因為，所以；因為，所以；因此，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為

.參考答案：4

4．考點：函數(shù)與方程，函數(shù)的零點．【名師點睛】本題考查方程根的個數(shù)問題，方程根的個數(shù)與函數(shù)的零點常常相互轉化，也常與函數(shù)的圖象聯(lián)系在一起，這樣通過數(shù)形結合思想得出結論．在函數(shù)的圖象不能簡單表示出時，我們可能研究函數(shù)的性質，研究函數(shù)的單調性，極值等，以確定函數(shù)圖象的變化趨勢，然后由數(shù)形結合思想得出結論．本題方程的實根個數(shù)可以轉化為函數(shù)與兩條直線的交點個數(shù)，因此要研究函數(shù)的性質，根據(jù)其解析式，分類討論，在，，三個范圍討論的性質（這三個范圍內都可以化云中的絕對值符號，從而可用易得出結論．12.已知；，若的充分不必要條件是，

則實數(shù)的取值范圍是___________________參考答案：13.已知，，則

．參考答案：

14.計算__________________.參考答案：略15.設集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，則集合P的非空子集個數(shù)是

．參考答案：3考點：定積分；子集與真子集．專題：導數(shù)的概念及應用．分析：根據(jù)積分公式，求出集合P，即可得到結論．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集為{2}，{3}，{2，3}．故答案為：3．點評：本題主要考查積分的計算依據(jù)集合子集個數(shù)的判斷，比較基礎．16.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線C相交于點M（點M位于第一象限），與它的準線相交于點N，且點N的縱坐標為4，，則實數(shù)________．參考答案：設準線與x軸交于點A，過點M作MB⊥AN，垂足為B.設|MN|=3m,|FM|=|BM|=m,由題得故填.

17.某校有學生2000人，其中高三學生500人，為了解學生的身體素質情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個200人的樣本，則樣本中高三學生的人數(shù)為

．參考答案：50三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=xex﹣alnx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）證明：b≤e時，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（1）=0，解方程可得a，由導數(shù)的單調性，結合f′（1）=0，可得f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）討論①當b≤0時，求得f（x）的最小值，可得結論成立；②當0＜b≤e時，設g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出導數(shù)，構造函數(shù)h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得導數(shù)，判斷單調性，可得g（x）最小值，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=xex﹣alnx的導數(shù)為f′（x）=（x+1）ex﹣，x＞0，依題意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）ex﹣，顯然f′（x）在（0，+∞）單調遞增且f′（1）=0，故當x∈（0，1）時，f′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0．所以f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（1，+∞）．（Ⅱ）證明：①當b≤0時，由（Ⅰ）知，當x=1時，f（x）取得最小值為e．又b（x2﹣2x+2）的最大值為b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②當0＜b≤e時，設g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，則h′（x）=（x+2）ex+﹣2b，當x∈（0，1）時，﹣2b≥0，（x+2）ex＞0，所以h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，（x+2）ex﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以當x∈（0，+∞）時，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又h（1）=0，所以當x∈（0，1）時，g′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以當x=1時，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．綜上，當b≤e時，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．19.（14分）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D為AC的中點．（Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求證：B1C1⊥平面ABB1A1；參考答案：【考點】：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【專題】：證明題．【分析】：（I）由中位線定理得到B1C∥MD，再由線面平行的判定理理得到B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）先證明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1求再由線面垂直的判定理得到B1C1⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）證明：如圖，連接AB1與A1B相交于M，則M為A1B的中點，連接MD，D又為AC的中點，∴B1C∥MD．又B1C不包含于平面A1BD，MD?平面A1BD，B1C∥平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．（5分）（Ⅱ）∵AB=B1B∴四邊形ABB1A1為正方形∴A1B⊥AB1又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1（9分）【點評】：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理以及三角形中位線定理．20.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=2，an+1=Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）已知bn=log2an，求數(shù)列{}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意和an=Sn﹣Sn﹣1化簡已知的式子，由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出公比和首項，由等比數(shù)列的通項公式求出an；（2）由（1）和對數(shù)的運算性質化簡bn，代入化簡后，利用裂項相消法求出前n項和Tn．【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2，∴當n≥2時，an=Sn﹣1+2，兩式相減得，an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，則an+1=2an，所以（n≥2），∵a1=2，∴a2=S1+2=4，滿足，∴數(shù)列{an}是以2為公比、首項的等比數(shù)列，則an=2?2n﹣1=2n；（2）由（1）得，bn=log2an=log22n=n，∴==，∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1=．【點評】本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式，數(shù)列的前n項和與通項之間關系，以及裂項相消法求數(shù)列的和，考查化簡、變形能力．21.已知動圓M在圓F1：（x+1）2+y2=外部且與圓F1相切，同時還在圓F2：（x﹣1）2+y2=內部與圓F2相切．（1）求動圓圓心M的軌跡方程；（2）記（1）中求出的軌跡為C，C與x軸的兩個交點分別為A1、A2，P是C上異于A1、A2的動點，又直線l：x=與x軸交于點D，直線A1P、A2P分別交直線l于E、F兩點，求證：DE?DF為定值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【分析】（1）由直線與圓相切，則|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，則M點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，即可求得橢圓方程；（2）方法一：分別求得直線PA1的方程，直線PA2的方程，分別求得E和F坐標，則，即可求得DE?DF為定值；方法二：設E和F坐標，聯(lián)立方程求得P的坐標，將P代入橢圓方程，即可求得，則為定值．【解答】解：（1）設動圓M的半徑為r，由已知得，|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，∴M點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，設橢圓方程：（a＞b＞0），則a=2，c=1，則b2=a2﹣c2=3，方程為；（2）解法一：設P（x0，y0），由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），則，直線PA1的方程為：，，直線PA2的方程為：，當時，，∴，又∵P（x0，y0）滿足，∴，∴為定值．（2）解法二：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），設直線PA1的斜率為k1，直線PA2的斜率為k2，由已知得，k1，k2存在且不為零．∴l(xiāng)1的方程為：y=k1（x+2），l2的