2017-2018學年人教B版高中數學選修2-2全冊學案

2017-2018學年人教A版高中數學

選修2-2全冊學案

目錄

i.i.i函數的平均變化率

1.1.2瞬時速度與導數

1.1.3導數的幾何意義

1.2.1常數函數與基函數的導數-122導數公式表及數學軟件的應用

1.2.3導數的四則運算法則（一）

1.3.1利用導數判斷函數的單調性

1.3.2利用導數研究函數的極值（一）

1.3.2利用導數研究函數的極值（二）

1.3.3導數的實際應用

1.4.1曲邊梯形面積與定積分（一）

1.4.1曲邊梯形面積與定積分（二）

1.4.2微積分基本定理（一）

1.4.2微積分基本定理（二）

1章末復習課

2.1.1合情推理（一）

2.1.1合情推理（二）

2.1.2演繹推理

2.2.1綜合法與分析法

2.2.2反證法

2.3.1數學歸納法

2習題課綜合法和分析法

2章末復習課

3.1.1實數系-3.1.2復數的概念

3.1.3復數的幾何意義

3.2.1復數的加法與減法

3.2.2復數的乘法-3.2.3復數的除法

3習題課復數

3章末復習課

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第一章導數及其應用

1.1導數

1.1.1函數的平均變化率

【明目標、知重點】1.理解并掌握平均變化率的概念2會求函數在指定區(qū)間上的平均變化率3

能利用平均變化率解決或說明生活中的一些實際問題.

填要點?記疑點

1.函數的平均變化率

己知函數y=/(x),x0,xi是其定義域內不同的兩點，記Ax=a二與=力一yo=/(xi)—/(xo)

="x°+Ax)—RxQ,則當AxWO時，商黑好叫做函數y=/(x)在工。到xo+Ax(或

［xo+Jx,xol)之間的平均變化率.

2.函數y=/(x)的平均變化率的幾何意義

三空12表示函數y=/(X)圖象上過兩點⑴，/■)),(X2,黃川的割線的斜率.

%21

探要點?究所然

［情境導學］

某市2013年5月30日最高氣溫是33.4C,而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分

別是24.4℃和18.6℃,短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃,悶熱中的人們無不感嘆：“天

氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5℃和5月28日最高

氣溫18.6℃進行比較，可以發(fā)現二者溫差為15.TC,甚至超過了14.8℃,而人們卻不會發(fā)出

上述感慨，這是什么原因呢？顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那

么在數學中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢？

探究點一函數的平均變化率

思考1如何用數學反映曲線的“陡峭”程度？

1

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答如圖，表示/、8之間的曲線和5、C之間的曲線的陡峭程度，可以近似地用直線的斜

率來量化.

如用比值空陛近似量化8、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在［打，xc］上的平

Xc-XB

均變化率.

思考2什么是平均變化率，平均變化率有何作用？

答如果問題中的函數關系用y=/(x)表示，那么問題中的變化率可用式子空2Ps表示，

X2~X\

我們把這個式子稱為函數y=/(x)從不到檢的平均變化率，平均變化率可以描述一個函數在

某個范圍內變化的快慢.

思考3平均變化率有什么幾何意義？

答設48，人xi)),8(必，7(X2))是曲線y=/(x)上任意不同的兩點，函數y=/(x)的平均變化率

堯=曲2*1+?)-心)為割線羔的斜率.

△xX2-X\Ax

X|，X2是定義域內不同的兩點，因此Ar#o,但Ax可正也可負；?=加2)一/|)是相應Ax

=M—R的改變量，的值可正可負，也可為零.因此，平均變化率可正可負，也可為零.

例1某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示,試分別計算從出生到第3個月與第6

個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率.

解從出生到第3個月，嬰兒體重平均變化率為

6.5—3.5..?

-3—0—］(千克/月)?

從第6個月到第12個月，嬰兒體重平均變化率為

11-8.62.4―，口

12—6=%~=。4(千克/月)?

2

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反思與感悟求平均變化率的主要步驟：

(1)先計算函數值的改變量Aj,=/(X2)~/Cvi).

(2)再計算自變量的改變量Ax=x2-xi.

(3)得平均變化率先="匚等.

X2X|

跟蹤訓練1如圖是函數夕=兀0的圖象，則：

(1)函數外)在區(qū)間［-1,1］上的平均變化率為

(2)函數兀0在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為.

答案(1)|(2)1

/fl)——1)2—11

解析⑴函數/(X)在區(qū)間［一1,1］上的平均變化率畤二臺"=苛■苫

*+3

一1?1

(2)由函數,/(X)的圖象知，/(x)="2'

x+1,l<rW3

所以函數;(x)在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為4會嘰三］

探究點二求函數的平均變化率

例2已知函數人幻=》2,分別計算Hx)在下列區(qū)間上的平均變化率：

⑴［1,3］；⑵［1,2］：(3)［1,1.1］;(4)［1,1,001］.

解(1)函數人x)在［1,3］上的平均變化率為

,/(3)-/(1)32-12.

3-124

(2)函數/(x)在［1,2］上的平均變化率為

,A2)-AD22-12

27=3;

(3)函數/(x)在［1,1.1］上的平均變化率為

1.1-1—0.1―2」；

(4)函數外)在［1,1.001］上的平均變化率為蟲黑三絲=耳而1-=2.001.

1.W11u.uu1

反思與感悟函數的平均變化率可以表現出函數的變化趨勢，自變量的改變量加■取值越小,

越能準確體現函數的變化情況.

跟蹤訓練2求函數y=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,判斷哪一點附近平均變化率最大？

解在x=l附近的平均變化率為

3

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/(1+^-)-/(1)(1+AX)*2-1

k

'-M-==2+AX

在x=2附近的平均變化率為

人2+盤)一/(2)(2+最)2-22

=4+Ax；

后一展Ax

在x=3附近的平均變化率為

,義3+Ax)-/(3)(3+AX)2-32，一

自=^=6+Ax；

對任意Ax有,Ajv左2<自，

.?.在x=3附近的平均變化率最大.

思考一次函數卜=6+6伏W0)在區(qū)間［加，上的平均變化率有什么特點？

答根據函數平均變化率的幾何意義，一次函數圖象上任意兩點連線的斜率是定值&,即一

次函數的平均變化率是定值.

探究點三平均變化率的應用

例3甲、乙兩人走過的路程si(f),S2⑺與時間f的關系如圖，試比較『

兩人的平均速度哪個大？匕恣

解由圖象可知S|?o)=S2(fo),S1(O)>S2(O),

川SWO)—SI(O)7S2(M)—S2(0)M

川toto，

所以在從0到fo這段時間內乙的平均速度大.

反思與感悟平均變化率的絕對值反映函數在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值

越大，函數在區(qū)間上的變化越快：平均變化率的絕對值越小，函數在區(qū)間上的變化越慢.

跟蹤訓練3甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲、

乙兩人的經營成果？

解甲賺錢的平均速度為彳梟=普=/(萬元/月)，乙賺錢的平均速度為萬元/月).

因為乙平均每月賺的錢數大于甲平均每月賺的錢數,

所以乙的經營成果比甲的好.

當堂測?查疑缺

1.如果質點M按規(guī)律s=3+P運動，則在一小段時間［2,2.1］中相應的平均速度是()

A.4B.4.1C.0.41D.3

答案B

解析v=------而-------=4.1.

2.一物體的運動方程是s=3+2f,則在［2,2.1］這段時間內的平均速度為.

4

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答案2

3.已知函數〃(X)=-4.9X2+6.5X+10.

⑴計算從x=l到x=l+Ar的平均變化率，其中Ar的值為①2；②1；③0.1；@0.01.

(2)根據(1)中的計算，當|Ar|越來越小時，函數〃(x)在區(qū)間［1,1+Ax］上的平均變化率有怎樣的

變化趨勢？

解(l)；?=〃(l+Ax)-〃(l)

=-4.9(AX)2-3.3AX,

—4.9Ax—3.3.

Ax

①當Ax=2時，^=—4.9Ax—3.3=-13.1；

②當Ax=l時，言=—4.9Ax—3.3=—8.2；

③當Ax=0.1時，鳧=一4.9以-3.3=—3.79；

④當Ax=0.01時，蕓=-4.9Ax—3.3=—3.349.

(2)當|Ax|越來越小時，函數人》)在區(qū)間［1,1+Ar］上的平均變化率逐漸變大，并接近于一33

［呈重點、現規(guī)律］

1.函數的平均變化率可以表示函數值在某個范圍內變化的快慢；平均變化率的幾何意義是

曲線割線的斜率，在實際問題中表示事物變化的快慢.

2.求函數/(x)的平均變化率的主要步驟：

(1)先計算函數值的改變量與=/2)—/(陽)；

(2)再計算自變量的改變量Ax=x2—xi；

(3)得平均變化率非=丘妙.

X2-Xj

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1.1.2瞬時速度與導數

【明目標、知重點】1.理解瞬時速度及瞬時變化率的定義.2.會用瞬時速度及瞬時變化率定義

求物體在某一時刻的瞬時速度及瞬時變化率3理解并掌握導數的概念,掌握求函數在一點處

的導數的方法4理解并掌握開區(qū)間內的導數的概念，會求一個函數的導數.

填要點?記疑點

1.瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度二設物體運動路程與時間的關系是s=s(f),物體

在to時刻的瞬時速度。就是運動物體在to到而+加這段時間內的平均變化率>°十*r(fo),

A.vs"o+A/)-s(/o)

當AZ->0時的極限,即°=膽瓦=媽

At,

2.瞬時變化率

Ayy(x0+Ax)—y(x0)

一般地,函數y=/(x)在X。處的瞬時變化率是!眄)1=螞屐'

3.導數的概念

一般地，函數y=/(x)在X。處的瞬時變化率是!!叫黑―/0°)，我們稱它為函數y^Ax)

,/(.ro+A.r)—/fa)

在x=xo處的導數,記為廣(xQ,即，(x)=Hmhm

0Ax,

4.導函數

如果兀r)在開區(qū)間(a,6)內每一點x都是可導的，則稱

/(X)在區(qū)間(a,b)可導.這樣,對開區(qū)間(a,6)內每個值x,都對應一個確定的導數/(x),于

是在區(qū)間(a2)內/(x)構成一個新的函數,把這個函數稱為函數y=/(x)的導函數.記為/，(x)

或V(或VJ導函數通常簡稱為導數.

探要點?究所然

探究點一瞬時速度

思考1在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度網單位：m)與起跳后的時間(單位：

s)存在函數關系僦。=-4.9/2+6勺+10.在某些時間段內如何粗略地描述其運動狀態(tài)？平均

速度能否精確反映它的運動狀態(tài)？

答用0W/W0.5和1的平均速度方來粗略地描述其運動狀態(tài).

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在0W/W0.5這段時間里，v=Q=4.05(m/s)；

在這段時間里，。=~8.2（m/s）.

平均速度不能精確反映其運動狀態(tài)，如高臺跳水運動員相對于水面的高度h與起跳時間/的

函數關系⑺=-4.9/+6.5f+10,

65—〃篇）一碗）

易知〃（而）=人（0），。=-記-----=0，

而一0

而運動員依然是運動狀態(tài).

思考2如何描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)？

答可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的運動狀態(tài).

如求f=2時的瞬時速度，可考察在f=2附近的一個間隔加，當&趨近于0時，看平均速

度石的變化趨勢，用式子

lim〃（2+,；一例2）表示,這就是物體在,=2時的瞬時速度.

例1火箭豎直向上發(fā)射.熄火時向上速度達到100m/s.試問熄火后多長時間火箭向上速度

為0?

解火箭的運動方程為人（。=100/-金-，

火箭向上位移是初速度引起的位移（100。與重力引起的位移（一笈的合成.

在f附近的平均變化率為

100（/+Ar）-|g（r+A?）2-（100.-蝦）

100A/—g7-A/—2g(A0

當AZ-0時，上式趨近于100—gf.

可見，時刻的瞬時速度〃'⑺=100—gr.

令〃'（0=100—gr=O,

解得f=詈打黑七l°,2（s）?

所以火箭熄火后約10.2s向上速度變?yōu)?.

反思與感悟瞬時速度是平均速度在加一0時的極限值.要求瞬時速度，可以先求平均速度.

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思考3火箭向上速度變?yōu)?,意味著什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度嗎？

答火箭向上速度變?yōu)?,意味著火箭處于上升階段的最高點處，即火箭達到了最大高度，

由例1知火箭熄火后上升的時間為/=手，所以火箭熄火后上升的最大高度人=100X?一

OO

X(詈)2=端弋510.2(m).

跟蹤訓練1質點M按規(guī)律s(/)=a』+l做直線運動(位移單位：m,時間單位：s).若質點

M在t=2時的瞬時速度為8m/s,求常數a的值.

解；As=s(2+Af)-s(2)

=a(2+A/)2+1—a'22—1=4a^t+tz(Az)2,

??今=4a+aAf.在f=2時,瞬時速度為lim震=4a,

LAIALOZA<

即4<2=8,.\a=2.

探究點二導數的定義

思考1從平均速度當4-0時是瞬時速度，推廣到一般的函數方面，我們可以得到什么結

論？

答對函數y=/(x)來說，人幻在點x=x0附近改變At時，平均變化率為皿普跡.

當A.r-0時，如果平均變化率趨于一個常數I,則/稱為函數/(x)在點xo的瞬時變化率.

思考2導數和瞬時變化率是什么關系？導數有什么作用？

答函數在某點處的導數就是函數在這點處的瞬時變化率，導數可以反映函數在一點處變化

的快慢程度.

思考3導函數和函數在一點處的導數有什么關系？

答若函數兀0在區(qū)間(a,6)內可導，對伍")內每個值x,都對應一個確定的導數(X),/(x)

就叫函數y=/G)的導函數.

函數/(X)在點X=x0處的導數是導函數y=/(X)在X=x0處的函數值.

例2利用導數的定義求函數4)=一關2+3%在工=2處的導數.

解由導數的定義知，函數在x=2處的導數

H2+Ax)-A2)

(2)二［四)一亞一

而寅2+Ax)—X2)

=-(2+A,v)2+3(2+Ar)-(-22+3X2)

=—(Ax)2—Ax,于是

,—(Ar)2-Ax

/(2)=I螞―晟—=點邛一.一D=-L

反思與感悟求一個函數y=/(x)在x=刈處的導數的步驟如下:

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(1)求函數值的變化量Ay=/(xo+Ax)—/(x0);

(2)求平均變化率那?管及明

(3)取極限，得導數，(劭)=螞黑

跟蹤訓練2利用導數的定義求下列函數的導數:

(l)y=x2+ax+b在x=0處的導數;

(2?=5+2在x=2處的導數.

解⑴：Ay=/(O+AY)—/(0)=(0+Ax)2+a(0+Ax)+b—02—at)—b=(Ax)2+a(Ax),

.包3)2+g)

,ArAx—Ax+tz,

???/叫%=!德(&+。)=以

(2)VAy=d(2+Ax)+2-^2+2=^4+Ax-2,

.Ay_14+Ax-2_C\/4+Ax—2)(44+Ax+2)

?&_Ax-Ar(V4+Ax+2)

____]_

14+Ax+2

“⑵"感=螞,+1+2公

探究點三導數的實際應用

例3—正方形鐵板在0℃時，邊長為10cm,加熱后鐵板會膨脹.當溫度為rC時，邊長變

為10(l+af)cm,。為常數，試求鐵板面積對溫度的膨脹率.

解設溫度的增量為加，則鐵板面積S的增量為

AS=102[1+a(z+A0]2-102(1+”產

=200(。+冏A/+100a2(A/)2,

因此等=200(。+。％)+100tz2A/.

令加-0,得S'=200(a+a2?).

所以鐵板對溫度的膨脹率為200(“+/。.

反思與感悟函數的平均變化率和瞬時變化率的關系：

平均變化率%=?+受―心。),當故趨于o時，它所趨于的一個常數就是函數在向處的

瞬時變化率，即求函數的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解.另外，它

們都是用來刻畫函數變化快慢的，它們的絕對值越大，函數變化得越快.

跟蹤訓練3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加

熱.如果在第xh時，原油的溫度(單位：℃)為y=/(x)=x2—7x+15(0Wx<8).計算第2h

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和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

解在第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是，（2）和，（6）.

加提電物切＞▽Av/（2+AK）一/（2）

根據導數的7^.義，八丫―卜丫

（2+心）2—7（2+心）+15-（22-7X2+15）

=Ax

4AX+（AX）12-7AX

=￡=Ax—3,

所以，/⑵=螞景=螞（AX-3）=-3,

同理可得，/（6）=5.在第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5.它說明在

第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的

速率上升.

當堂測?查疑缺

1.一物體的運動方程是S=%/僅為常數），則該物體在，=歷時的瞬時速度是（）

A.atoB.~atoC.^atoD.2%

答案A

as,LAi-S（，o+△。-S（fo）1,,.A5

斛析?=Kt=呼加+%，?/】螞，發(fā)二函

2.函數於）在刈處可導，則做加。+?一/。）（）

A.與刈、h都有關

B.僅與刈有關，而與6無關

C.僅與〃有關，而與X。無關

D.與X。、h均無關

答案B

3.已知/（幻=一/+］（）,則人的在x=］處的瞬時變化率是（）

A.3B.-3C.2D.-2

答案B

??包

解析Ax—3,

?Ax

H即。爛-3.

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4.已知函數y(x)=古，則，(1)=

答案-2

1

叔加“八一.3+一)—-)「W+一

解析f(I)-hm及一螞Ax

_,_______211________J.

/Vv,°yj1+Ax(1+［1+Ax)2

［呈重點、現規(guī)律］

1.瞬時速度是平均速度當加->0時的極限值：瞬時變化率是平均變化率當Ar—0時的極限

值.

2.利用導數定義求導數的步驟:

⑴求函數的增量\y=f(Xo+Ax)—/(Xo)；

(2)求平均變化率卻；

(3)取極限得導數，(xo)=lim%

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1.1.3導數的幾何意義

【明目標、知重點】1.理解導數的幾何意義.2.根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切

線方程.

填要點?記疑點

1.割線斜率與切線斜率

設函數y=/（x）的圖象如圖所示，48是過點/（xo,八咐）與點8（.w+Ax，用6

+心））的一條割線，此割線的斜率是.變°+黑一刎.

當點5沿曲線趨近于點N時，割線繞點/轉動，它的極限位置為直線ZO,這條直線

叫做此曲線在點A處的切線.于是,當Ax-0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線

/(xo+Ar)—/(xo)

AD的斜率k,即A=廣(x)=Hm

0Ax

2.導數的幾何意義

函數尸危）在點x=xo處的導數的幾何意義是曲線y=/（x）在點尸（即,.危0））處的切線的魁些也

就是說,曲線y=/（x）在點P（xo，./（xo））處的切線的斜率是￡_色上相應地，切線方程為匚施。

=rUo）（x—xo）.

探要點?究所然

［情境導學］

如果一個函數是路程關于時間的函數，那么函數在某點處的導數就是瞬時速度，這是函數的

實際意義，那么從函數的圖象上來考察函數在某點處的導數，它具有怎樣的幾何意義呢？這

就是本節(jié)我們要研究的主要內容.

探究點一導數的幾何意義

思考1如圖，當點尸“（%”外“））（〃=1,2,3,4）沿著曲線及）趨近于點尸（如於0））時，割線PP“

的變化趨勢是什么？

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答當點P”趨近于點P時，割線PP”趨近于確定的位置，這個確定位置的直線尸7稱為點P

處的切線.

思考2曲線的切線是不是一定和曲線只有一個交點？

答不一定.曲線的切線和曲線不一定只有一個交點，和曲線只有一個

交點的直線和曲線也不一定相切.如圖，曲線的切線是通過逼近將割線

趨于確定位置的直線.

例I如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數力⑺=-4.9』+6.5/+10的圖象.根

據圖象,請描述、比較曲線人⑺在小小「2附近的變化情況.

解我們用曲線力⑺在擊，公玄處的切線，刻畫曲線例。在上述三個時刻附近的變化情況.

（1）當f=fo時，曲線〃⑺在歷處的切線/o平行于f軸.所以，在f=fo附近曲線比較平坦，幾

乎沒有升降.

（2）當/="時，曲線⑺在八處的切線。的斜率/?'（/|）＜0.所以，在/=4附近曲線下降，即函

數〃⑺在附近單調遞減.

（3）當，=女時，曲線人⑺在，2處的切線，2的斜率""2）＜0.所以，在/=，2附近曲線下降，即函

數〃⑺在f=f2附近也單調遞減.

從圖中可以看出，直線的傾斜程度小于直線/2的傾斜程度，這說明曲線〃⑺在“附近比在

打附近下降得緩慢.

反思與感悟導數與函數圖象升降的關系：

若函數y=/（x）在x=xo處的導數存在且，（x（））＞0（即切線的斜率大于零），則函數y=/（x）在x

=x（）附近的圖象是上升的；若，（M）＜0（即切線的斜率小于零），則函數y=y（x）在x=x（）附近

的圖象是下降的.導數絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢.

跟蹤訓練1⑴根據例1的圖象，描述函數⑺在4和〃附近增（減）以及增（減）快慢的情況.

解函數僦/）在f3、「4處的切線的斜率〃'⑺＞0,所以，在/=，3,，=，4附近單調遞增，且曲

線幽。在“附近比在以附近遞增得快.

（2）若函數y=/（x）的導函數在區(qū)間［〃，0上是增函數，則函數y=/（x）在區(qū)間口，句上的圖象可

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能是（

Oabx

D

答案A

解析依題意，（x）在［〃，可上是增函數，則在函數兀0的圖象上，各點的切線的斜率

隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足.

探究點二求切線的方程

思考1怎樣求曲線火X）在點（X0,.人吟）處的切線方程？

答根據導數的兒何意義，求出函數y=*x）在點（xo,兀⑹）處的導數，即曲線在該點處的切

線的斜率，再由直線方程的點斜式求出切線方程.

思考2曲線/（x）在點（xo,/（xo））處的切線與曲線過某點（xo,竹）的切線有何不同？

答曲線次x）在點（xo,火沏））處的切線，點（必，4刖））一定是切點，只要求出k=f（xo）,利用

點斜式寫出切線即可；而曲線;（X）過某點（xo,則）的切線，給出的點（xo,泗）不一定在曲線上,

即使在曲線上也不一定是切點.

例2已知曲線y=x2,求：

⑴曲線在點處的切線方程；

（2）曲線過點P（3,5）的切線方程.

解（1）設切點為（xo,則），

0O+AA)’——o

'：y'|x=x0=lim

x20+2x(rAx+(Ax)2—x2()

=2xo,.?.斜率G=2.

.,.曲線在點P（l,l）處的切線方程為

y—1=2（x—1）,即2x—y—1=0.

（2）點尸（3,5）不在曲線上，

設切點為（xo，y（））

由（1）知，k=2x0,

,切線方程為y—yo—2xo（x-xo）,

由尸（3,5）在所求直線上得5—泗=功（3—3①

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再由A(XQ,泗)在曲線y—^上得②

聯立①，②得，x0=l或x()=5.

從而切點力的坐標為(1,1)或(5,25)

當切點為(1,1)時，切線的斜率為上i=2x0=2,

此時切線方程為y—1=2(x—1),即2x—y—1=0,

當切點為(5,25)時，切線的斜率為％2=合0=10,

此時切線方程為y—25=10(x—5),

即10x-y-25=0.

綜上所述，過點尸(3,5)且與曲線^=》2相切的直線方程為左一7一1=0或10x-y-25=0.

反思與感悟求曲線上某點處的切線方程，可以直接利用導數求出曲線上此點處的斜率，然

后利用點斜式寫出切線方程；求曲線過某點的切線方程，要先求出切點坐標.

跟蹤訓練2已知直線/：y=4x+a和曲線C：y=f(x)=xi-2x2+3相切，求a的值及切點坐

標.

解設直線/與曲線C相切于點尸(xo,則)，

/(x+Ax)—/(x)

Ax

33

(x+Ax)—2(X+AX)2+3—(x—2X2+3)

=螞屐

2

=3X—4X9

==

??k'f(x())3xo—4XQ.

由題意可知k=4,即3巖一4xo=4,

2、

解得XQ——，或x()=2,

J切點的坐標為(一本招)或(2,3).

當切點為(一|,罵)時，有罵=4X(一|)+a,

解得。=巖1211.

當切點為(2,3)時，有3=4X2+〃，解得〃=一5.

；?當。=%時,切點坐標為(一全罵)；

當。=—5時，切點坐標為(2,3).

當堂測?查疑缺

1.已知曲線4)=2/上一點4(2,8),則點力處的切線斜率為()

A.4B.16C.8D.2

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答案c

物法m1.負2+?)一火2)

解析f(2)=l.m—直一

2(2+Ax)*2—*8

=lim-----7------=lim(8+2Ax)=8,即左=8.

Ax-oAxALO'7

2.若曲線在點(0,b)處的切線方程是x—y+l=O,則()

A.Q=1,b=\B.a=-1,b=\

C.〃=1,b=—\D.a=~\,b=—\

答案A

解析由題意，

(O+Ax)2+a(O+Ax)+Z?—6

知螞----------a----------=1,

又（0,力在切線上，：.b=\,故選A.

3.已知曲線y=/（x）=2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則P點坐標為

答案(3,30)

解析設點P(xo,2君+4xo),

人xo+Ax)~/(xo)

則了

（加=螞Ar

2(Ax/+4xo.Ax+4Ax

^=4X0+4,

令4x（）+4=16得x＜）=3,

；.P（3,30）.

［呈重點、現規(guī)律］

1.導數，（xo）的幾何意義是曲線y=/U）在點（xo,?xo））處的切線的斜率，即A:=Hm

*x°）=/（Xo）,物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度?

2.“函數兀0在點X。處的導數”是一個數值，不是變數，“導函數”是一個函數，二者有

本質的區(qū)別，但又有密切關系，，（Xo）是其導數^=/（X）在X=Xo處的一個函數值.

3.利用導數求曲線的切線方程，要注意已知點是否在曲線上.如果已知點在曲線上，則以

該點為切點的切線方程為y~f（XO）=f（Xo）（x一工0）；若已知點不在切線上，則設出切點（Xo,

1/（Xo））,表示出切線方程，然后求出切點.

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I導數及其應用

導數的運算

1.2.1常數函數與幕函數的導數

1.2.2導數公式表及數學軟件的應用

【明目標、知重點】1.能根據定義求函數y=c,y=x,y=x2,y=%^=也的導數2能利用

給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數.

填要點?記疑點

1.兒個常用函數的導數

原函數導函數

f?=0

/(x)=xf(x)=l

f(x)=2x

川)=:fa)=T

段）=也

2.基本初等函數的導數公式

原函數導函數

y=cV=0

y=x"(〃GN+)y'=4

y=xfl(x>0,且蚱Q)V=上

y=sinxyf=cos_x

y=cosxyr="sinx

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x*1x

y=a(a>0fQWI)y=aln_a

y=eYy'=E

y=log/(a>0,QWI,X>0)y'=y~

Jxlna

y=\nxy1--

JX

探要點卜究所然

［情境導學］

在前面，我們利用導數的定義能求出函數在某一點處的導致，那么能不能利用導數的定義求

出比較簡單的函數及基本函數的導數呢？這就是本節(jié)要研究的問題.

探究點一幾個常用函數的導數

思考1類比用導數定義求函數在某點處導數的方法，如何用定義法求函數y=/(x)的導函

數？利用定義求下列常用函數的導數：

?y=c,?y=x,?y=^,④尸⑤尸也.

答⑴計算光，并化簡；

⑵觀察當/x趨近于0時，光趨近于哪個定值；

(3)%趨近于的定值就是函數產向的導函數.

Q/=0,②=1,③J?—2x,@y'=!螞瞪=

11

x+Axx—11

Ax=二后面=—7(其它類同)，

⑤一去

思考2在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=2x,y=3x,y=4x的圖象，并根據導數定

義，求它們的導數.

(1)從圖象上看，它們的導數分別表示什么？

(2)這三個函數中，哪一個增加得最快？哪一個增加得最慢？

(3)函數y=日%#0)增(減)的快慢與什么有關？

答函數y=2x,y-3x,y=4x的圖象如圖所示，導數分別為—2,y'=3,y'—4.

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(1)從圖象上看，函數y=2x,y=3x,y=4x的導數分別表示這三條直線的斜率.

(2)在這三個函數中，y=4x增加得最快，y=2x增加得最慢.

(3)函數y=Ax/>0)增加的快慢與《有關系，即與函數的導數有關系，在越大，函數增加得越

快，女越小，函數增加得越慢.

函數y=h/<0)減少的快慢與閡有關系，即與函數導數的絕對值有關系，閡越大，函數減少

得越快，因越小，函數減少得越慢.

思考3畫出函數的圖象.根據圖象，描述它的變化情況，并求出曲線在點(1,1)處的切

線方程.

答函數的圖象如圖所示，結合函數圖象及其導數V=-點發(fā)。產J

現，當x<0時，隨著x的增加，函數減少得越來越快；當x>0-4-2

*2*4i

時，隨著冗的增加，函數減少得越來越慢.、卜2

點(1,1)處切線的斜率為-1,過點(1,1)的切線方程為y=—x+2.

探究點二基本初等函數的導數公式

思考利用導數的定義可以求函數的導函數，但運算比較繁雜，有些函數式子在中學階段無

法變形，怎樣解決這個問題？

答可以使用給出的導數公式進行求導，簡化運算過程，降低運算難度.

例1求下列函數的導數：

14

(l?=sin亨(2?=5*；(3)尸?；(4?=迎；

(5>=logjx.

解(1?'=0；

(2?'=(5)=5xIn5；

(3)》'=(5)'=@7)'=-3x~4；

4-3--

(4?’=(后'=(》4y=-x4--；

44

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(5獷=(隆力=焉—

反思與感悟對于教材中出現的基本初等函數的導數公式，要想在解題過程中應用自如，必

須做到以下兩點：一是正確理解，如sin^=坐是常數，而常數的導數一定為零，就不會出

現卜靖)'=cos；這樣的錯誤結果.二是準確記憶，靈活變形.如根式、分式可轉化為指數

式，然后利用公式求導.

跟蹤訓練1求下列函數的導數：

⑴y=f；(2?=(品(3)尸他；(4)y=log|x.

解(1?'=8/；

(2?'=(1)vln|=-(1)'ln2；

33-

(3)Vy=x\/x=X2，??y'=—x2；

例2判斷下列計算是否正確.

7T

求^=85%在X=］處的導數，過程如下：

“煮=(cosf)=-sin安一坐

解錯誤.應為_/=—sinx,

.,,n?幾近

??yh=；=-sin§=一亍

反思與感悟函數/(x)在點X。處的導數等于/(x)在點x=x()處的函數值.在求函數在某點

處的導數時可以先利用導數公式求出導函數，再將刖代入導函數求解，不能先代入后求導.

跟蹤訓練2求函數Mc)=lnx在x=l處的導數.

解f(x)=(ln?=p：.f(1)=1,

...函數/(x)在X=1處的導數為1.

探究點三導數公式的綜合應用

例3已知直線/.?Zx—y+dnO與拋物線y=x2相交于/、B兩點,O是坐標原點，試求與直

線/平行的拋物線的切線方程，并在弧「06上求一點尸，使尸的面積最大.

解設P?),泗)為切點，過點P與48平行的直線斜率〃=/=2xo，『

??k=2XQ=2,

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/?xo=1,yo=1-

故可得尸(1,1),

切線方程為2x-y-l=0.

由于直線/:2%一夕+4=0與拋物線＞=/相交于/、8兩點，所以|月8|為定值，要使△48P的

面積最大，只要P到的距離最大，故P(l,l)點即為所求弧上的點，使的面

積最大.

反思與感悟利用基本初等函數的求導公式，可求其圖象在某一點P(x°,則)處的切線方程,

可以解決一些與距離、面積相關的幾何的最值問題，一般都與函數圖象的切線有關.解題時

可先利用圖象分析取最值時的位置情況，再利用導數的幾何意義準確計算.

跟蹤訓練3曲線y=f+3x2+6x-l()的切線中，求斜率最小的切線方程.

解由題意知：

y'=3x?+6x+6=3(x+1)?+3,

...當x=-l時，，取最小值為3,即最小的斜率為3.此時切點坐標為(-1,-14).

斜率最小的切線方程為y+14=3(x+1),

即3x-y-ll=0.

當堂測?查疑缺

1.給出下列結論：

13

①若y=F，則y'=一丁；

②若y=/,貝!

③若y=土，則，——2x\

④若/(x)=3x,則4(1)=3.

其中正確的個數是()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析①y=$=x,3,

則=-3x-4=-

?y=yfx=,貝=|-x

?y=p=x-2,則y，=—2x-3；

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④由y(x)=3x,知/(x)=3,

:(1)=3.

①@④正確.

2.函數/*)=/,則/(3)等于()

A亞

6B.0

D坐

答案A

解析"'f=2r>

川⑶-2廳6?

3.設正弦曲線y=sinx上一點P,以點P為切點的切線為直線/,則直線/的傾斜角的范圍

是()

A.[0，加/,兀)

B.[0,it)

C京祟D.[0,。呢,普]

答案A

解