342288312022年全國一卷新高考數(shù)學題型分類匯編之大題概率統(tǒng)計3

2022年全國一卷新高考題型分類4——大題——3統(tǒng)計8-3試卷主要是2022年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計174套。

其中全國卷4套，廣東考卷30套，山東24，江蘇24，福建14，湖南32，湖北30，河北16套。題目設(shè)置有尾注答案，復制題干的時候，答案也會被復制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便各位老師備課選題。后期題目會繼續(xù)細分，不定內(nèi)容，不定時間。統(tǒng)計：20.（2022年山東臨沂J15）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．（Ⅰ）分別求甲隊以勝利的概率；（【答案】（Ⅰ）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】解法一（Ⅰ）設(shè)甲勝局次分別為負局次分別為（Ⅱ）根據(jù)題意乙隊得分分別為所以乙隊得分的分布列為

解法二（Ⅰ）記“甲隊以3：0勝利”為事件，“甲隊以3：1勝利”為事件，“甲隊以3：2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故，，所以，甲隊以3：0,3:1,3:2勝利的概率分別是，，；（Ⅱ）設(shè)“乙隊以3:2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以由題意，隨機變量的所有可能的取值為0,1,2,3，，根據(jù)事件的互斥性得,,,故的分布列為

0

1

2

3

所以．【考點定位】本題考查了獨立事件互斥事件的識別與概率運算、離散型隨機變量的分布列和期望，要注意對不同事件的合理表述，便于書寫過程．服從于二項分布，可用概率公式進行運算，也可以采用羅列方式進行，是對運算能力的常規(guī)考查.（Ⅱ）若比賽結(jié)果為求或，則勝利方得分，對方得分；若比賽結(jié)果為，則勝利方得分、對方得分．求乙隊得分的分布列及數(shù)學期望．20.（2022年山東淄博一模J18）某選手參加射擊比賽，共有3次機會，滿足“假設(shè)第k次射中的概率為p．當?shù)趉次射中時，第次也射中的概率仍為p；當?shù)趉次未射中時，第次射中的概率為．”已知該選手第1次射中的概率為．（1）求該選手參加比賽至少射中1次的概率；（【答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用事件的對立性求解即可；（2）先取可能的取值有，然后分別求出概率，再求數(shù)學期望即可.【小問1詳解】由題意，第1次射中的概率為，則不中的概率為，當?shù)?次不中時，第2次射中的概率為，所以第2次不中的概率為；當?shù)?次不中時，第3次射中的概率為，所以第3次不中的概率為.所以3次都不中的概率為.所以(該選手參加比賽至少射中1次).【小問2詳解】令該選手射中的次數(shù)為，則可能的取值有.由（1）可知；；；.所以本次比賽選手平均射中次數(shù)為.（2）求本次比賽選手平均射中多少次？17.（2022年山東淄博J19）小葉紫檀是珍稀樹種，因其木質(zhì)好備受玩家喜愛，其幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得數(shù)據(jù)如下：

數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：為近似描述y與x的關(guān)系，除了一次函數(shù)，還有和兩個函數(shù)可選．（1）從三個函數(shù)中選出“最好”的曲線擬合y與x的關(guān)系，并求出其回歸方程（保留到小數(shù)點后1位）；（2）判斷說法“高度從1000cm長到1001cm所需時間超過一年”是否成立，并給出理由．（【答案】【答案】（1）選用；；（2）說法“高度從1000cm長到1001cm所需時間超過一年”成立.理由見解析.【解析】【分析】(1)由散點圖可知最好擬合的曲線為，根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)和最小二乘法計算即可求出y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)結(jié)合(1)，令，分別求出對應(yīng)天數(shù)，進而相減，即可下結(jié)論.【小問1詳解】由散點圖可知，這些數(shù)據(jù)集中在圖中曲線的附近，而曲線的形狀與函數(shù)的圖象很相似，因此可以用類似的表達式來描述y與x的關(guān)系，即三個函數(shù)中的圖象是擬合y與x的關(guān)系“最好”的曲線.令，則，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，得，，所以，又回歸直線經(jīng)過點(4,8)，所以，所以y關(guān)于x的回歸直線方程為，即；【小問2詳解】說法“高度從1000cm長到1001cm所需時間超過一年”成立.設(shè)其幼苗從觀察之日起，第m天的高度為1000cm，有，解得，第n天的高度為1001cm，有，解得，天，所以說法“高度從1000cm長到1001cm所需時間超過一年”成立.參考公式：，．參考數(shù)據(jù)（其中，）：，，，，，，，，，．19.（2022年山東淄博三模J20）元旦期間，某轎車銷售商為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種.方案一：每滿萬元，可減千元；方案二：金額超過萬元（含萬元），可搖號三次，其規(guī)則是依次從裝有個幸運號、個吉祥號的一號搖號機，裝有個幸運號、個吉祥號的二號搖號機，裝有個幸運號、個吉祥號的三號搖號機各搖號一次，其優(yōu)惠情況為：若搖出3個幸運號則打折，若搖出個幸運號則打折；若搖出個幸運號則打折；若沒搖出幸運號則不打折.（【答案】(1).(2)選擇第二種方案更劃算.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件可得若選擇方案二優(yōu)惠，即至少有一次摸出的是幸運球，其對立事件是三次都沒有摸出幸運球，其概率為，那么兩個人至少有一個人選擇方案二優(yōu)惠的概率為；（2）選擇方案一的價格為（萬元），選擇方案二，先列出付款金額的分布列，求的期望，然后再比較.試題解析：（1）選擇方案二方案一更優(yōu)惠，則需要至少摸出一個幸運球，設(shè)顧客不打折即三次沒摸出幸運球為事件，則，故所求概率．【答案】(1).(2)選擇第二種方案更劃算.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件可得若選擇方案二優(yōu)惠，即至少有一次摸出的是幸運球，其對立事件是三次都沒有摸出幸運球，其概率為，那么兩個人至少有一個人選擇方案二優(yōu)惠的概率為；（2）選擇方案一的價格為（萬元），選擇方案二，先列出付款金額的分布列，求的期望，然后再比較.試題解析：（1）選擇方案二方案一更優(yōu)惠，則需要至少摸出一個幸運球，設(shè)顧客不打折即三次沒摸出幸運球為事件，則，故所求概率．（2）若選擇方案一，則需付款（萬元）．若選擇方案二，設(shè)付款金額為萬元，則可能的取值為，，，，故的分布列為67810所以（萬元）（萬元），所以選擇第二種方案根劃算．（1）若某型號的車正好萬元，兩個顧客都選擇第二種方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友看中了一款價格為萬的便型轎車，請用所學知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.20.（2022年山東威海三模J27）某生物實驗室用小白鼠進行新冠病毒實驗，已知6只小白鼠中有1只感染新冠病毒且無患病癥狀，將它們分別單獨封閉隔離到6個不同的操作間內(nèi)，由于工作人員的疏忽，沒有記錄感染新冠病毒的小白鼠所在的操作間，需要通過化驗血液來確定．血液化驗結(jié)果呈陽性即為感染新冠病毒，呈陰性即沒有感染新冠病毒．下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染新冠病毒的小白鼠為止．方案乙：先任取4只，將它們血液混在一起化驗．若結(jié)果呈陽性，則表明感染新冠病毒的小白鼠為這4只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定感染新冠病毒的小白鼠為止；若結(jié)果呈陰性，則在另外2只中任取1只化驗．（1）求采用方案甲所需化驗的次數(shù)為4次的概率；（【答案】【答案】（1）（2）分布列見解析（3）【解析】【分析】（1）代古典概型概率計算公式計算即可（2）先確定可能的取值，再求取每個值時相應(yīng)的概率（3）事件“采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)”可拆分為方案乙化驗2次方案甲至少化驗3次，方案乙化驗3次甲方案至少化驗4次和方案乙化驗4次方案甲化驗5次三個互斥事件，按相應(yīng)公式即可求解【小問1詳解】記“采用方案甲所需化驗的次數(shù)為4次”為事件，則．【小問2詳解】可能的取值為2，3，4，，，，所以X的分布列為234【小問3詳解】設(shè)采用方案甲所需化驗的次數(shù)為3，4，5分別為事件，，，，設(shè)采用方案乙所需化驗的次數(shù)為2，3，4分別為事件，由第（2）間可知，設(shè)采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)為事件C，由題意可知與相互獨立，與，相互獨立，與相互獨立，則，所以采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)的概率為．（2）用X表示采用方案乙所需化驗的次數(shù)，求X的分布列：（3）求采用方案乙所需化驗的次數(shù)少于采用方案甲所需化驗的次數(shù)的概率．19.（2022年山東菏澤一模J37）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對某國家進行新型冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查．在某地抽取n人，每人一份血樣，共份，為快速有效地檢驗出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：方案甲：逐份檢驗，需要檢驗n次；方案乙：混合檢驗，把受檢驗者的血樣分組，假設(shè)某組有份，分別從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則說明這k個人全部為陰性，因而這k個人的血樣只要檢驗這一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k個人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對這k個人的血樣再逐份檢驗，因此這k個人的總檢驗次數(shù)就為．假設(shè)在接受檢驗的人中，每個人血樣檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨立的，且每個人血樣的檢驗結(jié)果是陽性的概率為．（1）若，，用甲方案進行檢驗，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒的概率；（2）記為用方案乙對k個人的血樣總共需要檢驗的次數(shù)．（【答案】（1）【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）利用每個人的血樣檢驗結(jié)果的獨立性解題.（2）分別計算出總檢驗次數(shù)為1與時的概率，即可列出分布列，進而求得；如果用方案乙能減少總檢驗次數(shù)，則，化簡后即可求解.【小問1詳解】對5個人的血樣進行檢驗，且每個人的血樣是相互獨立的，設(shè)事件A為“5個人的血樣中恰有2個人的檢驗結(jié)果為陽性”，則【小問2詳解】①當，時，5個人的血樣分別取樣再混合檢驗，結(jié)果為陰性的概率為，總共需要檢驗的次數(shù)為1次；結(jié)果為陽性的概率為，總共需要檢驗的次數(shù)為6次；所以的分布列為：16P所以．②當采用混合檢驗的方案時，根據(jù)題意，要使混合檢驗的總次數(shù)減少，則必須滿足，即，化簡得，所以當P滿足，用混合檢驗的方案能減少檢驗次數(shù)．①當，時，求；②從統(tǒng)計學的角度分析，p在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗次數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：）20.（2022年山東聊城一模J40）為了解某車間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢員從該車間一天生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，隨機不放回地抽取了20件產(chǎn)品作為樣本，并一一進行檢測.假設(shè)這100件產(chǎn)品中有40件次品，60件正品，用表示樣本中次品的件數(shù).（1）求的分布列（用式子表示）和均值；（【答案】（1）【答案】（1）的分布列為，的均值為；（2）【解析】【分析】（1）由題意隨機變量服從超幾何分布，從而即可求解；（2）樣本中次品率是一個隨機變量，由題意，，根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.【小問1詳解】解：由于質(zhì)檢員是隨機不放回的抽取20件產(chǎn)品，各次試驗之間的結(jié)果不相互獨立，所以由題意隨機變量服從超幾何分布，所以的分布列為，的均值為；【小問2詳解】解：樣本中次品率是一個隨機變量，所以.所以誤差不超過的概率為.（2）用樣本的次品率估計總體的次品率，求誤差不超過的概率.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，則，.20.（2022年山東濟寧三模J42）某娛樂節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下：選手依次參加第一、二、三關(guān)，每關(guān)闖關(guān)成功可獲得的獎金分別為元、元、元，獎金可累加；若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)；若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束，選手小李參加該闖關(guān)游戲，已知他第一、二、三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，，第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.（1）求小李第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎金為零的概率；（【答案】【答案】（1）（2）分布列見解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意包含兩種情況，第一種情況為：第一關(guān)闖關(guān)成功，第二關(guān)闖關(guān)失敗，第二種情況為：第一關(guān)闖關(guān)成功，第二關(guān)闖關(guān)成功，第三關(guān)闖關(guān)失敗，分別求概率相加即可求解；（2）根據(jù)題意得的可能取值為：，，，，再分別求每個隨機變量對應(yīng)的概率，再求分布列和期望.【小問1詳解】根據(jù)題意得，小李第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎金為零的事件分為兩類情況：第一種情況為：第一關(guān)闖關(guān)成功，第二關(guān)闖關(guān)失敗，其概率為：；第二種情況為：第一關(guān)闖關(guān)成功，第二關(guān)闖關(guān)成功，第三關(guān)闖關(guān)失敗，其概率為：；記“小李第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎金為零”為事件：則.【小問2詳解】根據(jù)題意得：的可能取值為：，，，，所以，，，，所以的分布列為：所以的期望為：.（2）設(shè)小李所得總獎金為，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望.21．（2022年山東實驗中學J46）某嬰幼兒游泳館為了吸引顧客，推出優(yōu)惠活動，即對首次消費的顧客按80元收費，并注冊成為會員，對會員消費的不同次數(shù)給予相應(yīng)的優(yōu)惠，標準如下：

該游泳館從注冊的會員中，隨機抽取了100位會員并統(tǒng)計他們的消費次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

假設(shè)每位顧客游泳1次，游泳館的成本為30元.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)估計該游泳館1位會員至少消費2次的概率：（【答案】【答案】(1)(2)平均利潤為44元(3)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）將消費2次、3次、4次的人數(shù)相加，除以100，求得結(jié)果；（2）按照題中所給的優(yōu)惠政策，分別計算出第1、2、3、4次消費時，游泳館獲得的利潤再求平均數(shù)即可；（3）分別計算出會員消費1次、2次、3次、4次時平均利潤和概率，從而可以求得的所有可能取值，以及對應(yīng)的概率，列出分布列，利用公式求得期望即可得結(jié)果.(1)，即隨機抽取的100位會員中，至少消費2次的會員有40位，所以估計該游泳館1位會員至少消費2次的概率(2)第1次消費時，（元），所以游泳館獲得的利潤為50元，第2次消費時，（元），所以游泳館獲得的利潤為46元，第3次消費時，（元），所以游泳館獲得的利潤為42元，第4次消費時，（元），所以游泳館獲得的利潤為38元，∵（元），∴這4次消費中，游泳館獲得的平均利潤為44元.(3)若會員消費1次，，則平均利潤為50元，其概率為；若會員消費2次，（元），，則平均利潤為48元，其概率為；若會員消費3次，（元），，則平均利潤為46元，其概率為；若會員消費4次，（元），，則平均利潤為44元，其概率為.由題意知，的所有可能取值為0，2，4，6.且，，，.∴的分布列為0246∴.(2)某會員消費4次，求這4次消費中，游泳館獲得的平均利潤；(3)假設(shè)每個會員最多消費4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，從該游泳館的所有會員中隨機抽取2位，記游泳館從這2位會員的消費中獲得的平均利潤之差的絕對值為X，求X的分布列和均值.18.（2022年山東J53）《中共中央國務(wù)院關(guān)于實現(xiàn)鞏固拓展脫貧攻堅成果同鄉(xiāng)村振興有效銜接的意見》明確提出，支持脫貧地區(qū)鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)發(fā)展壯大，加快脫貧地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品和食品倉儲保鮮、冷鏈物流設(shè)施建設(shè)，支持農(nóng)產(chǎn)品流通企業(yè)、電商、批發(fā)市場與區(qū)域特色產(chǎn)業(yè)精準對接．當前，脫貧地區(qū)相關(guān)設(shè)施建設(shè)情況如何？怎樣實現(xiàn)精準對接？未來如何進一步補齊發(fā)展短板？針對上述問題，假定有A、B、C三個解決方案，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)有的受調(diào)查者贊成方案A，有的受調(diào)查者贊成方案B，有的受調(diào)查者贊成方案C，現(xiàn)有甲、乙、丙三人獨立參加投票（以頻率作為概率）．（1）求甲、乙兩人投票方案不同的概率；（【答案】【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為.【解析】【分析】（1）利用對立事件和互斥事件的概率公式求解；（2）先求出X的所有可能取值為3，4，5，6，再求出對應(yīng)的概率即得分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】解：因為甲、乙兩人投票方案相同的概率為，所以甲、乙兩人投票方案不相同的概率為．【小問2詳解】解：X的所有可能取值為3，4，5，6，因為，，，，所以X的分布列如下：X3456P所以．（2）若某人選擇方案A或方案B，則對應(yīng)方案可獲得2票，選擇方案C，則方案C獲得1票，設(shè)是甲、乙、丙三人投票后三個方案獲得票數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望．21.（2022年山東猜想J54）運用計算機編程，設(shè)計一個將輸入的正整數(shù)“歸零”的程序如下：按下回車鍵，等可能的將中的任意一個整數(shù)替換的值并輸出的值，反復按回車鍵執(zhí)行以上操作直到輸出后終止操作.（1）若輸入的初始值為3，記按回車鍵的次數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學期望；（【答案】（1）分布列見解析，【答案】（1）分布列見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）先分析的取值并計算出對應(yīng)的概率，由此得到的概率分布并計算出其數(shù)學期望；（2）記運行“歸零”程序中輸出的概率為，然后根據(jù)之間的關(guān)系進行化簡可得，利用累乘法求可求解出.【詳解】（1）由題意可知：可取，當時，此時依次替換的數(shù)為，所以，當時，此時依次替換的數(shù)為或，所以，當時，此時替換的數(shù)為，所以，則的概率分布如下表：123所以.（2）設(shè)運行“歸零”程序中輸出的概率為，法一：則，故時，，以上兩式作差得，，則，則，，，，則，化簡得，而，故，又時，也成立，故.法二：同法一得，則，，，…，，則，化簡得，而，故，又時，也成立，故.法三：記表示在出現(xiàn)的條件下出現(xiàn)的概率，則，，，依此類推，，所以.法四：記表示在出現(xiàn)的條件下出現(xiàn)的概率，則，則，①則，②①－②得，則，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題第二問的關(guān)鍵在于分析出的關(guān)系，根據(jù)遞推公式以及累乘法求解數(shù)列通項公式的方法求解出，主要依據(jù)的思路：根據(jù)先輸出的情況下輸出、先輸出的情況下輸出、、先輸出的情況下輸出，將對應(yīng)概率相加即可表示出.（2）設(shè)輸入的初始值為，求運行“歸零”程序中輸出的概率.19.（2022年山東名校聯(lián)盟J55）某新華書店將在六一兒童節(jié)進行有獎促銷活動，凡在該書店購書達到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人贏取“購書券”的游戲．游戲規(guī)則為：游戲共三局，每局游戲開始前，在不透明的箱中裝有個號碼分別為、、、、的小球（小球除號碼不同之外，其余完全相同）．每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個小球（摸球者無法摸出小球號碼）．若雙方摸出的兩球號碼之差為奇數(shù)，則甲被扣除個積分，乙增加個積分；若號碼之差為偶數(shù)，則甲增加個積分，乙被扣除個積分．游戲開始時，甲、乙的初始積分均為零，游戲結(jié)束后，若雙方的積分不等，則積分較大的一方視為獲勝方，將獲得“購書券”獎勵；若雙方的積分相等，則均不能獲得獎勵．（1）設(shè)游戲結(jié)束后，甲的積分為隨機變量，求的分布列；（2）以（1）中的隨機變量的數(shù)學期望為決策依據(jù)，當游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時，記正整數(shù)的最小值為．①求的值，并說明理由；（【答案】（1）【答案】（1）答案見解析（2）①；理由見解析；②【解析】【分析】（1）分析可知隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率可得出隨機變量的分布列；（2）①求得，解不等式可得的值；②記“甲至少有一局被扣除積分”為事件，記“甲獲得“購書券”獎勵”為事件，計算出、的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：記“一局游戲后甲被扣除個積分”為事件，“一局游戲后乙被扣除個積分”為