第三章非初等函數(shù)

第三章非初等函數(shù)

§3.1幕級(jí)數(shù)與泰勒展開(kāi)

3.1.1基級(jí)數(shù)

1)累級(jí)數(shù)的概念

下列形式的無(wú)窮和

00

S=。0+。億+。222+…+%z”+…(3.1.1)

n=0

(式中各項(xiàng)系數(shù)4,6,外,……都是復(fù)數(shù))稱為復(fù)變量Z的哥級(jí)數(shù)?；?jí)數(shù)的一般形式為

S—〉：(z-by'—a。+4(z-b)+a、(z—b)~+,??+a”(z-b)"+…(3.1.2)

”=o

式中b是一個(gè)復(fù)常數(shù)，稱為該幕級(jí)數(shù)的中心。

2)基級(jí)數(shù)的收斂性

按照比值法，事級(jí)數(shù)的收斂范圍由下式確定

limIqn(x)1=limI跖，2一勾_曰2—61limI-l<1

"->8”->8Q〃(Z—/?)"

由此得到

\z-b\<R,R=limIa/aI(3.1.3)

"T8nn+}

事級(jí)數(shù)的收斂范圍為以b為中心，R為半徑的圓，該圓又稱為收斂圓，R稱為收斂半徑。

在收斂圓內(nèi)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。阿貝爾證明：在收斂圓內(nèi)部的任意閉圓內(nèi)，幕級(jí)數(shù)是一致

收斂的。因此由基級(jí)數(shù)的各項(xiàng)可導(dǎo)可以推知其無(wú)限和可導(dǎo)，即塞級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部定義了一個(gè)

解析函數(shù)SQ)。

此外，容易證明幕級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于各項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)之和，幕級(jí)數(shù)的積分等于各項(xiàng)的積分之和，

其收斂圓保持不變。即

S(z)=￡a"(z")’=￡a,?

”=0n=0(3.1.4)

J；s?)人名]/上可力

/:=0〃=0〃十1

3)常用基級(jí)數(shù)

在數(shù)學(xué)物理以及相近學(xué)科中常用的幕級(jí)數(shù)有：

①幾何級(jí)數(shù)

00

S==l+z+z?+???+[〃+…(3.1.5a)

n=0

各項(xiàng)系數(shù)4三1，因此其收斂半徑為

/?=limll/ll=l(3.1.5b)

〃T8

②合流超幾何級(jí)數(shù)

c三(叫,?a(a+l)2上a(a+l)…(a+〃-l)..

?=o?!(/)?/2/(7+1)n!/(/+l)---(/+rt-l)

其中(a)“=a(e+l)…(a+n—1),其收斂半徑為

R=lim|?/__(叫"—1=lim|C季生|=oo(3.1.6b)

"T8n!(/)?(〃+l)!("+]"f8(a+n)

在收斂范圍內(nèi)(全平面)，它表示一個(gè)解析函數(shù)，稱為合流超幾何函數(shù)，記為?￡(a,y;z)。

合流超幾何函數(shù)滿足合流超幾何(庫(kù)默爾)微分方程

zwn+(/-z)w'—aw=0(3.1.7)

在數(shù)學(xué)物理中應(yīng)用很廣泛，許多常用的初等函數(shù)都是它的特例，例如，我們考慮a二Y時(shí)的情

況，得到

8]11

?片(a,a;z)=￡—z"=1+z+—z2+…+—z”+…

M〃！2〃！

它恰好是我們所熟悉的指數(shù)函數(shù)。

③超幾何級(jí)數(shù)

c弋9).(0,?a-^7+a(a+l)-W+l)72+

￡?!(7)?/2/(7+1)

其收斂半徑為

R=lim|皿

*(嘰")皿|=lim?(3)(〃5|=]

"T8加⑺“(/7+l)!(7)n+1…(&+〃)(77+〃)

在收斂范圍內(nèi)(Izkl),它表示一個(gè)解析函數(shù)，稱為超幾何函數(shù)，記為26(a,/?,7；z)。

超幾何函數(shù)滿足超幾何微分方程

z(l—z)w"+[7—(a+p+i)z]^-a/3w=0(3.1.9)

它的應(yīng)用也很廣泛，作為一個(gè)特例，我們考慮a二y時(shí)的情況，得到

26Q3a;z)=￡絲2tz"

M?!

W+D_2,，例P+1)…(夕+〃-1)_“，

=l+---------Z+…-I---------------------Z+…

2n\

=1—伙_z)+代Z(-)2+…+處-T)…9"+D(『)"+???

2n\

它恰好是我們所熟悉的基函數(shù)(l-z)一0的牛頓二項(xiàng)展開(kāi)式。

4)幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算

相同中心的基級(jí)數(shù)之間進(jìn)行四則運(yùn)算有著簡(jiǎn)單的規(guī)律，設(shè)

尸=-，G=￡2("W,"=￡g(Z-by

n=0n=0〃=0

則與E±G=〃對(duì)應(yīng)的系數(shù)關(guān)系為％=%±。,，即兩個(gè)基級(jí)數(shù)和或差的系數(shù)序列等于對(duì)應(yīng)的

兩個(gè)系數(shù)序列的和或差；與尸-G="對(duì)應(yīng)的系數(shù)為c“=(a*8)“，即兩個(gè)累級(jí)數(shù)乘積的系數(shù)序

列等于對(duì)應(yīng)的兩個(gè)系數(shù)序列的卷積。

作為乘法的逆運(yùn)算，兩個(gè)基級(jí)數(shù)相除后商的系數(shù)序列可以通過(guò)卷積關(guān)系所確定的代數(shù)方程

求出。具體地說(shuō)，如果尸=〃/G,即尸"G="，由對(duì)應(yīng)的系數(shù)關(guān)系c,=(“*%)“可以解出事

級(jí)數(shù)F的系數(shù).。

例3.1-1：求幕級(jí)數(shù)尸=Z"z",G=Z"』z"的乘積。

解：設(shè)尸?G=Z：=()c“z"，則有

%=(1*〃)“=2；=0>(〃一口=%(〃+1)

于是得到

6G=￡U〃(〃+l)z"

3.1.2泰勒展開(kāi)

一個(gè)幕級(jí)數(shù)是其收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)，反過(guò)來(lái)一個(gè)在已知圓內(nèi)解析的函數(shù)是否能夠展開(kāi)為

在該圓內(nèi)收斂的基級(jí)數(shù)呢？

1)>泰勒定理

泰勒證明：一個(gè)在區(qū)間Ix-blvR內(nèi)無(wú)限次可導(dǎo)的實(shí)函數(shù)人x)可以唯一地展開(kāi)為幕級(jí)數(shù)

8

f(x)^^an(x-hy'

n=0

展開(kāi)系數(shù)為

.小)

根據(jù)復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)在形式上的一致性，同樣可以證明：一個(gè)在復(fù)區(qū)域lz-bl<R內(nèi)解

析的函數(shù)式z)可以唯一地展開(kāi)為基級(jí)數(shù)

f(z)=^an(z-by(3.1.10)

"=0

展開(kāi)系數(shù)為

?！?與⑺S)(3.1.11)

n!

阿貝爾證明了該基級(jí)數(shù)在圓lz-bl<R內(nèi)絕對(duì)收斂，在閉圓lz-bl4r<R內(nèi)一致收斂。

在復(fù)變函數(shù)的情況下，應(yīng)用柯西積分公式，展開(kāi)系數(shù)還可以表示為

1

(3.1.12)

°F\C-b\=e<R(二一6)

2)常用展開(kāi)公式

利用泰勒定理，我們可以推出下列常用展開(kāi)公式

13

-----=￡z"=l+z+z*??+z3??

1一Z“=0

(1+Z)J之?弛〃』+。2+^^+--+呢"1)…

“=0n\2n\

sf_iy,+l234n

ln(l+z)=yl'-z"=z--7+-7—7+---+(-l)n+1—7+???

金〃234n

2n+l

t(2〃)！2n+1131-35(2n)!z

￡22"(〃!)2(2〃+l)2-32-4-522"(n!)2(2n+l)

以上展開(kāi)式的收斂區(qū)域?yàn)閘zl<k

%]11

e'=￡-z'=1+ZH—Z2H-----1—z"+??

￡〃！2n\

(-1)"2n+l.

近年上J-_=+=—.+Z+…

￡(2〃+l)!3!5!(2n+l)!

以上展開(kāi)式的收斂區(qū)域?yàn)镮zKooo

3)一般展開(kāi)方法

直接應(yīng)用泰勒定理進(jìn)行塞級(jí)數(shù)展開(kāi)，往往比較麻煩。利用泰勒展開(kāi)的唯一性，我們可以在

已知的常用展開(kāi)公式的基礎(chǔ)上，利用基級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行展開(kāi)。

例3.1-2：以b=0為中心，把函數(shù)f(z)=cosh(z)展開(kāi)。

解：由定義

coshz-i(,ez+e~:)

利用指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式

81PC1

/=，一/,二=￡1(一z)”

M=0〃,〃=0〃?

于是得到

,1/1+(-])””k1?(12k

coshz=->--------—z=>—z=>-------z

2￡n\"=扁;數(shù)濟(jì)！￡Qk)!

由于雙曲余弦函數(shù)在全復(fù)平面解析，故該哥級(jí)數(shù)在圓團(tuán)<8內(nèi)收斂。

例3.1-3：以b=0為中心，把函數(shù)/(z)=cos(z)展開(kāi)。

解：由正弦函數(shù)的展開(kāi)式和導(dǎo)數(shù)關(guān)系cosz=(sinz)'，立即可以得到

((-1)"/_2?+1

=(sinz)'=【Z2〃+lr12時(shí)產(chǎn)

cosz(2〃+l)/)■

n=0

oo/1\n_246

y^-z2"=i--+-—+---+(-irz2"

------F?

￡(2〃)！2!4!6!(2?)!

該幕級(jí)數(shù)在圓lzlV8內(nèi)收斂。

例3.1-4：以b=l為中心,把函數(shù)/(z)=cos(z)展開(kāi)。

解：為了能夠利用己知展開(kāi)公式，我們令t=z-1,于是

cosz=cos"+1)=cos1cosr-sinlsint=coslV-~~^—t1"-sinlV-------t2"+l

￡(2〃)！￡(2〃+l)!

。。s與SIU哆端(z-l)2n+,

該幕級(jí)數(shù)在圓1力<8內(nèi)收斂。

例315以b=0為中心，把Az)=ln(l-z)展開(kāi)。

解：考慮到關(guān)系式[ln(l-z)]'=-l/(l-z)，我們推出

,1_881

"々)=4匚dz=-J。f^，+l

1<M=0"=0〃十】

由于被展開(kāi)函數(shù)在z=1處有奇點(diǎn)，以b=0為中心的解析圓為lzl<1,所得基級(jí)數(shù)的收斂范圍也

是Izl<1?

例3.1-6：以b=0為中心，把/(z)=l/(l—z)2展開(kāi)。

解：考慮到關(guān)系式口/(1—Z)]'=1/(1—名產(chǎn),我們推出

110086

(一)2(1-Z)”=0n=0n=0

由于被展開(kāi)函數(shù)在z=1處有奇點(diǎn)，所得基級(jí)數(shù)的收斂范圍也是3<1。

3.1.3解析延拓

1)問(wèn)題的提出

函數(shù)定義域的擴(kuò)展稱為延拓，在保持解析性的條件下把一個(gè)解析函數(shù)的定義域進(jìn)行擴(kuò)展稱

為解析延拓。延拓后的函數(shù)在原定義區(qū)域內(nèi)與延拓前的函數(shù)保持相等，但在一個(gè)更大的區(qū)域內(nèi)

有定義。

在用基級(jí)數(shù)方法求解微分方程的時(shí)候，得到的結(jié)果僅僅在其收斂圓內(nèi)有定義，往往不能滿

足方程求解范圍的要求，這時(shí)，我們就需要對(duì)所得到的某級(jí)數(shù)進(jìn)行解析延拓。

2)解析延拓的方法

一般來(lái)說(shuō)，解析延拓可以利用泰勒展開(kāi)來(lái)進(jìn)行，即在解析函數(shù)Az)的原定義區(qū)域D的邊界

附近取一內(nèi)點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開(kāi)。顯然，在收斂圓與原定義區(qū)域D的交集內(nèi)，所得到的泰勒級(jí)數(shù)

S(z)與原解析函數(shù)_/(z)完全相等；如果泰勒級(jí)數(shù)S(z)的收斂圓有一部分超出了Az)的原定義區(qū)域

D,就以S(z)的值為1z)延拓到超出區(qū)域的函數(shù)值。這樣，解析函數(shù)式z)的定義域就擴(kuò)大了一部

分。通過(guò)這種方法，我們可以一步一步地對(duì)原定義域進(jìn)行擴(kuò)展，得到一個(gè)最大限度的延拓函數(shù),

這個(gè)函數(shù)稱為原解析函數(shù)Az)的完全解析函數(shù)。不過(guò)這種方法計(jì)算完全解析函數(shù)非常煩瑣，在

實(shí)際中很少使用。

已經(jīng)證明，解析延拓的結(jié)果具有唯一性，即不管你用什么方法，只要計(jì)算正確，得到的結(jié)

果總是相同的，因而我們?cè)趹?yīng)用中往往利用一些特殊方法來(lái)進(jìn)行解析延拓。通常，我們可以把

幕級(jí)數(shù)形式的解析函數(shù)化為非塞級(jí)數(shù)形式，這時(shí)它的定義域就不受收斂圓的限制了。例如，在

收斂圓lzl<l內(nèi)，解析函數(shù)》可以化為非基級(jí)數(shù)形式l/(l-z)，而后者在除了z=l之外

—〃=u

的整個(gè)復(fù)平面內(nèi)都有定義而且解析，就可以作為原解析函數(shù)的解析延拓。

我們還可以對(duì)實(shí)變函數(shù)進(jìn)行解析延拓。對(duì)于一個(gè)在給定區(qū)間內(nèi)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù)大X),即

Ax)eCx[a,b],利用實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)映射關(guān)系的相同性，直接把實(shí)自變量x改成復(fù)自變量z,

就可以得到一個(gè)解析函數(shù)。例如，r函數(shù)的定義為

r(x)=「/廣|力

Jo

它在區(qū)間(0,8)內(nèi)無(wú)限次可導(dǎo)，我們把實(shí)自變量X改成復(fù)自變量z,就得到一個(gè)除了在單極點(diǎn)｛-n

IneN)外完全解析的復(fù)變函數(shù)r(z)?

3)解析延拓舉例

例3.1-7：對(duì)幕級(jí)數(shù)f(z)=進(jìn)行解析延拓。

解：利用塞級(jí)數(shù)的性質(zhì)和幾何級(jí)數(shù)求和公式，我們得到

等式的右邊除了在Z=1處有一個(gè)二階極點(diǎn)之外，在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)解析。

例3.1-8：對(duì)幕級(jí)數(shù)/(z)=n2z"進(jìn)行解析延拓。

解：與上題類似，我們得到

a;-2.

71=0一“(一)2一(一)3

例3.1-9：對(duì)幕級(jí)數(shù)/(z)=X、仔"In進(jìn)行解析延拓。

解：利用事級(jí)數(shù)的性質(zhì)和幾何級(jí)數(shù)求和公式，我們得到

5_1

/⑶=z"=Jodz---=-ln(1-z)

n=0u-z;

§3.2廣義事級(jí)數(shù)與羅朗展開(kāi)

基級(jí)數(shù)中的基次為自然數(shù)，能不能推廣到一般整數(shù)的情況？下面就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題。

3.2.1負(fù)基級(jí)數(shù)與漸近展開(kāi)

1)負(fù)幕級(jí)數(shù)

負(fù)基級(jí)數(shù)的一般形式為

bn2n

S=YAz-by=b()+bSz-by'+b2(z-b)-+---+bn(z-by+---(3.2.1)

n=0

復(fù)常數(shù)b稱為該負(fù)幕級(jí)數(shù)的中心。

按照比值法，負(fù)基級(jí)數(shù)的收斂范圍由下式確定

limIqn(x)1=limI

M—>00M—>00

由此得到

\z-b\>r,r=Uni\bll+}/bnI(3.2.2)

n—>oo

由此得到負(fù)累級(jí)數(shù)的收斂范圍是以b為中心，r為半徑的圓外(包括無(wú)窮遠(yuǎn)處)。

在收斂區(qū)域內(nèi)，負(fù)幕級(jí)數(shù)絕對(duì)并且一致收斂的，即負(fù)基級(jí)數(shù)在收斂區(qū)域內(nèi)定義了一個(gè)解析

函數(shù)S(z),它也可以逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分而不改變收斂范圍。

2)漸近展開(kāi)

相應(yīng)地，在給定圓lz-bl=1?外解析的函數(shù)/(Z),可以唯一地展開(kāi)為負(fù)基級(jí)數(shù)

f⑶=￡b.(z-6尸=瓦+瓦口-b)7+b*-+…+-h"+…(3.2.3)

n=0

為了求出展開(kāi)系數(shù)，我們作變量變換f=l/(z-份。顯然，函數(shù)

，，2

F(t)=f(l/t)=Xbnt=ba+blt+b2t+--+b?t"+-

n=0

在圓ltl=l/r內(nèi)解析，于是得到展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算公式

b=-F(n\0)

nn\

利用柯西公式，上式又可以化為

止當(dāng)力與以(3.2.4)

n+

2疝J嚴(yán)12MJkl=l/6>rZ-'

當(dāng)自變量的模很大時(shí)一個(gè)函數(shù)的近似表達(dá)式稱為漸近展開(kāi)，把一個(gè)圓外解析的函數(shù)展開(kāi)為

負(fù)幕級(jí)數(shù)，實(shí)際上就是一種特殊的漸近展開(kāi)。一般地說(shuō)，漸近展開(kāi)不限于自變量的模很大的情

況，展開(kāi)后得到的漸近級(jí)數(shù)也不一定收斂。

3)漸近展開(kāi)舉例

例3.2-1：把解析函數(shù)Az)=l/(l-z)漸近展開(kāi)。

解：顯然，函數(shù)Az)在除孤立奇點(diǎn)z=l外的全平面內(nèi)解析，作變換f=l/z，可以把漸近展開(kāi)

化為原點(diǎn)鄰域的泰勒展開(kāi)。

11一r""

所得負(fù)幕級(jí)數(shù)的收斂范圍為IZl>lo

例3.2-2：把解析函數(shù)f(z)=1/z2在圓1外漸近展開(kāi)。

解：顯然，函數(shù),他)在所給圓外解析，作變換f=l/(z-l)，可以把漸近展開(kāi)化為單位圓內(nèi)的泰

勒展開(kāi)。

1172opco

—=-------7=-----r=J=Vn(z-1)-"-1

Z-—(1T)-士￡

所得負(fù)事級(jí)數(shù)的收斂范圍為Izl>1?

例3.2-3：在lzl>2的區(qū)域上把解析函數(shù)Az)=l/W+4)展開(kāi)。

解：令/=—4〃2,對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)橐虼?/p>

]

/(Z)=

-4/Z+4

3.2.2廣義基級(jí)數(shù)與羅朗展開(kāi)

1)雙邊塞級(jí)數(shù)

雙邊基級(jí)數(shù)的一般形式為

S=X4(Z-b)"、

Me(3.2.5)

=---+d_ll(z—b')"H----'+d0+dt(z-b)+d2(z—+…

復(fù)常數(shù)b稱為該雙邊某級(jí)數(shù)的中心。

容易發(fā)現(xiàn)，任何雙邊基級(jí)數(shù)S都可以分解為一個(gè)負(fù)累級(jí)數(shù)S一與一個(gè)正基級(jí)數(shù)S+之和。

設(shè)負(fù)基部分S一的收斂區(qū)域?yàn)閘z-bl>r,正基部分S+的收斂區(qū)域?yàn)閘z-bl<R,則該雙邊基級(jí)數(shù)S

的的收斂區(qū)域?yàn)閮刹糠质諗繀^(qū)域的交集，即

r<\z-b\<R(3.2.6)

換句話說(shuō)，雙邊累級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐粋€(gè)環(huán)形區(qū)域，稱為收斂環(huán)。在收斂環(huán)內(nèi)，雙邊辱級(jí)數(shù)定義

了一個(gè)解析函數(shù)。

廣義地說(shuō)，正負(fù)基級(jí)數(shù)都可以看成雙邊幕級(jí)數(shù)的特例，我們統(tǒng)稱為廣義某級(jí)數(shù)。

2)羅朗展開(kāi)

現(xiàn)在的問(wèn)題是：一個(gè)雙邊幕級(jí)數(shù)是其收斂環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)，反之如何？

羅朗證明：一個(gè)在環(huán)r<lz-bl<R內(nèi)解析的函數(shù)./(z)可以唯一地展開(kāi)為雙邊累級(jí)數(shù)

8

2

/(z)=E=--+d_l(z-b)~'+d0+dl(z-b)+d2(z-b)+???(3.2.7)

〃=-00

該雙邊募級(jí)數(shù)在環(huán)r<lz-bl<R內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。注意觀察泰勒展開(kāi)的系數(shù)公式(3.1.12)和

漸近展開(kāi)的系數(shù)公式(3.2.4),我們猜想環(huán)內(nèi)解析函數(shù)羅朗展開(kāi)的系數(shù)公式為

dz,r<￡<R,nEZ(3.2.8)

(Z”嚴(yán)

上述猜想的證明請(qǐng)同學(xué)們課后完成。

廣義地說(shuō)，解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)和漸近展開(kāi)都可以看成羅朗展開(kāi)的特例，對(duì)應(yīng)的展開(kāi)系數(shù)

也都具有公式(3.2.8)的形式。

3)羅朗展開(kāi)舉例

例3.2-4：在區(qū)域1<Izl<3內(nèi)把解析函數(shù)/(Z)=1/(Z2+4Z+3)展開(kāi)。

解：由于羅朗展開(kāi)的唯一性，我們可以任意地選擇方便的展開(kāi)方法，不必按照公式(3.2.8)來(lái)

進(jìn)行計(jì)算。

，/、111111

/(z)=-----------=-------------=——---------------

J+4z+3(z+lXz+3)2z+12z+3

11111vrL1Vr

2zl-(-l/z)61—(—z/3)2z.z6金3

例3.2-5：以b=0為中心把解析函數(shù)｛z)=l/[(z-l)(z-2)]展開(kāi)為廣義辱級(jí)數(shù)。

解：由于題目未指定展開(kāi)區(qū)域，我們必須先進(jìn)行分析。容易看出，函數(shù)式z)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)z=l

和z=2,因比以b=0為中心時(shí)，解析區(qū)域可以分為三部分：圓內(nèi)部分Izl<1；環(huán)內(nèi)部分1<lzl<2；

圓外部分Izl>2。

在圓內(nèi)部分，我們可以進(jìn)行泰勒展開(kāi)?？紤]到Izl<1,有

-1—=J___

(z-lXz-2Hz2-z1-z2l-z/2總2

在圓外部分，我們可以進(jìn)行漸近展開(kāi)?？紤]到Izl>2,有

_1___________夕冬」和力

(z-l)(z-2)Z—2Z-Iz(l-2/z)z(l-l/z)zz總z

在環(huán)內(nèi)部分，我們可以進(jìn)行羅朗展開(kāi)?？紤]到l<lzl<2,有

------I----=---1--------1-=--1----1----1----1-------=--1-寺>(八——\、.--->(——)

(z-l)(z-2)2-zz-12l-z/2z1-1/z2總2裕z

由此，可以看到同一個(gè)函數(shù)、同一個(gè)中心，不同區(qū)域展開(kāi)的結(jié)果不同。

3.2.3孤立奇點(diǎn)的鄰域展開(kāi)

1)孤立奇點(diǎn)的鄰域展開(kāi)

利用羅朗定理，我們可以把函數(shù)人z)在孤立奇點(diǎn)z=b的鄰域0<lz-bl<￡進(jìn)行廣義基級(jí)數(shù)展

/(z)=(3.2.9)

例3.2-6：把解析函數(shù)式z)=即在孤立奇點(diǎn)z=0的鄰域進(jìn)行展開(kāi)。

解：作變換，=1/Z，可以把問(wèn)題化為原點(diǎn)鄰域的泰勒展開(kāi)。

所得廣義幕級(jí)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)負(fù)幕項(xiàng)。

例3.2-7：把解析函數(shù)Az)=cosh(z)/z2在孤立奇點(diǎn)z=0的鄰域進(jìn)行展開(kāi)。

解：由于羅朗展開(kāi)的唯一性，我們可以任意地選擇方便的展開(kāi)方法，不必按照公式(3.2.8)來(lái)

進(jìn)行計(jì)算?？紤]到

coshz=V-—z2k

臺(tái)（2幻！

因此有

coshz_(12k-2

z2

所得廣義塞級(jí)數(shù)只有2個(gè)負(fù)事項(xiàng)。

2)孤立奇點(diǎn)的分類與鄰域展開(kāi)

假設(shè)函數(shù)人z)在孤立奇點(diǎn)z=b的鄰域0<lz-bl<￡展開(kāi)后最多只有有限個(gè)負(fù)事項(xiàng)，即

f⑶工dgby…。

n=-N\3.Z.1U7

—d_N(z-b)H------Fd_](z-b)?+d0+d](z—b)+d2(z—b)~H—

顯然，當(dāng)N40,即展開(kāi)式?jīng)]有負(fù)事項(xiàng)時(shí)，lim：?/(z)為有限值，這表明該孤立奇點(diǎn)為可去奇

點(diǎn)；當(dāng)04N<8,即展開(kāi)式只有有限個(gè)負(fù)累項(xiàng)時(shí)，lim—8/Q)為N階無(wú)窮大，這表明該孤

立奇點(diǎn)為N階極點(diǎn)；由此可知，當(dāng)該孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)時(shí)，展開(kāi)式有無(wú)限多個(gè)負(fù)嘉項(xiàng)，

/(z)不確定。

3)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)與鄰域展開(kāi)

利用孤立奇點(diǎn)的鄰域展開(kāi)，我們還可以計(jì)算留數(shù)。按定義，解析函數(shù)人z)在孤立奇點(diǎn)b處

的留數(shù)為

Res/S)=」Jf(z)dz

將Az)在孤立奇點(diǎn)b處的鄰域展開(kāi)代入上式，得到

10G100

dndn

Res/(^)=—fYn^-b)dz=--；Ynf,fclU-b)dz

2用"-”=3仁2兀iJ

利用例題的結(jié)果，有

Res/S)=%(3.2.11)

即解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)等于在該點(diǎn)作鄰域展開(kāi)后負(fù)1次嘉的系數(shù)，這個(gè)結(jié)果不僅適用

于極點(diǎn)，而且適用于本性奇點(diǎn)。

例3.2?8：計(jì)算函數(shù)/(z)=z3cosh(l/z)在孤立奇點(diǎn)z=0處的留數(shù)。

解：將函數(shù)式z)=z3cosh(l/z)在孤立奇點(diǎn)z=0鄰域進(jìn)行展開(kāi)，得到

/COShL1=z3dWl[N產(chǎn)1/口

z臺(tái)（2口！金（2幻！

展開(kāi)式有無(wú)限多個(gè)負(fù)耗項(xiàng)，說(shuō)明z=0為函數(shù)/(z)的本性奇點(diǎn)。這時(shí)，我們無(wú)法按第二章中極點(diǎn)

留數(shù)的方法來(lái)計(jì)算，只能用鄰域展開(kāi)方法，由公式(3.2.11)得到

Res/(O)=dT1/4;

§3.3三角級(jí)數(shù)與傅立葉展開(kāi)

在理論和應(yīng)用上,常常要考察一個(gè)函數(shù)與一正交函數(shù)系之間的關(guān)系.傅立葉級(jí)數(shù)理論就是研

究在有限區(qū)間上的這個(gè)關(guān)系。

傅立葉分析在研究振動(dòng)和波動(dòng)現(xiàn)象及解數(shù)學(xué)物理方程時(shí)是個(gè)重要的工具.它在物理上還說(shuō)

明：任意波形總能進(jìn)行譜分解，即表為不同頻率，不同振幅的簡(jiǎn)諧波的線性疊加。

3.3.1圓周上的羅朗展開(kāi)

1)圓周上的羅朗展開(kāi)式

設(shè)解析函數(shù)Az)在環(huán)r<lz-bl<R內(nèi)收斂，我們考慮一個(gè)位于收斂環(huán)內(nèi)的圓lz-bl=p，在

圓周上有Z=6+「e'S,代入Az)在環(huán)內(nèi)的羅朗展開(kāi)式(327),得到

n=—oo

令c"=d"p",得到

g(9)=/3+pe")=Zc/呻(3.3.1)

“=-oo

由于式z)的單值性，g(<p+2兀)=g((p),即實(shí)變函數(shù)g(<p)是以2兀為周期的周期函數(shù)；由C-R

條件，g(<p)是自變量中連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。上式表明一個(gè)以2兀為周期的連續(xù)可導(dǎo)的實(shí)變函數(shù)可以展

開(kāi)為同周期實(shí)變復(fù)指數(shù)函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

根據(jù)羅朗展開(kāi)的系數(shù)公式(3.2.8),我們得到

尚M

(3.3.2)

=J-f，Te~invg{(p}d(p

27rJr

2)展開(kāi)式的三角函數(shù)形式

利用歐拉公式，(3.3.1)式又可以化為三角函數(shù)的形式

g(9)=￡c"e"=c°+f

”=-oon=l

00

=Co+XKg+J)COS〃e+i(c“一)sin"3]

n=\

定義=q,+c_.，a=i(c.-c_“)，上式成為

8

g(夕)。0+Z(/cosn(P+4sinn(p)(3.3.3)

~2w=i

即一個(gè)以2兀為周期的連續(xù)可導(dǎo)的實(shí)變函數(shù)可以展開(kāi)為同周期三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

利用(3.3.2)式，上面展開(kāi)式中的系數(shù)為

+c_“=：「(e7""+e%g(°)de=，「coB(p-g((p)d(p

2乃Jr71I

(3.3.4)

b?=，(%-，_“)=小「(er"°-e'"0)g")d9=，『sin"Qg(o)d。

2TT7t"

一般來(lái)說(shuō)，公式(332)中的函數(shù)g(<p)可以取復(fù)數(shù)值，即g((p)為實(shí)變復(fù)函，展開(kāi)系數(shù)%,打

是復(fù)數(shù)。如果g((p)為實(shí)變實(shí)函，則展開(kāi)系數(shù)4,么都是實(shí)數(shù)，這要求(3.3.1)式中的系數(shù)必須

滿足條件C_“=%*。

3)典型例題

例3.3-1：將函數(shù)Az)=l/(l-z)在區(qū)域lzl>l作以p>l為半徑的圓周展開(kāi)。

解：在圓周上z=pe%代入函數(shù)的羅朗展開(kāi)式

111co00

--=-----=z~k

1-ZZ1-1/Z金金

得到

1產(chǎn)—1產(chǎn)—

g")=-----￡=—ZF2”(cosk(p-isink(p)

pe’仁pM

例3.3-2：將函數(shù)Az)=l/(l-z)在區(qū)域lzl<l作以p<l為半徑的圓周展開(kāi)，并把結(jié)果化為等

價(jià)的實(shí)數(shù)形式。

解：在圓周上N=p*,代入函數(shù)的羅朗展開(kāi)式后得到

1_Q0__8_

g(9)=------=Z"(cosk(p+isink。)

pek=Qk=0

考慮到

1_1-pe~l<f)_l_pcoso+ipsin。

pei(p~pei(p)(\-pe-i(p)~l-2/?cos+

由此等價(jià)的實(shí)數(shù)形式

1-PCOS69白kr

--------------=ypCOSk(p

l-2pco儂+夕7M

夕sin。白…，

?。?---------『工Psmk(p

l-2pco0+pM

3.3.2傅立葉展開(kāi)

1)傅立葉級(jí)數(shù)

傅立葉在研究熱傳導(dǎo)的過(guò)程中首先提出：一個(gè)以2兀為周期的任意實(shí)變函數(shù)g(⑹也可以展

開(kāi)為同周期三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，即(3.3.3)式，系數(shù)的計(jì)算仍然由公式(3.3.4)式確定。

利用(3.3.4)式，不難算出下列典型周期函數(shù)y=g(⑺的傅立葉級(jí)數(shù)。為了方便，我們只

給出被展開(kāi)函數(shù)在一個(gè)周期［-兀，兀)內(nèi)的表達(dá)式。

被展開(kāi)函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)

411

y=sgn(e)—V-sinn(p

冗鹿

-他\(p\>eSsinnO

y=<>-------cosn(p

X乃一6),\(p\<0后屋

代(-1廠.

y=<p2>---------sinn(p

n=\n

y=|°[產(chǎn)(2〃1)9

27t?=1(2n-l)

2/(-1)"

yw—+42一—cosn(p

3n=\

2/4y^-2

y-(p'\(p\、3s】n(2〃\)(psin2〃夕

萬(wàn)依(2n-l)J2n_

y=cos0sgn°—V-----------------sin2n(p

24g1c

y=|sin^|-----〉-------------cos2n(p

兀萬(wàn)￡(2“一1)(2〃+1)平

an登一(一才"[

a1(p\1e-l2[11)"4

y=e-------------X7-------;--------cosn(p

a/r冗得a~+n

2e41—(―1)5]〃.

y=sgn°〉,22S111n(P

兀?=1a+n

從上面的結(jié)果中可以觀察到：偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)只有余弦（包括常數(shù)）項(xiàng)，沒(méi)有正弦項(xiàng);

奇函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)只有正弦項(xiàng)，沒(méi)有余弦項(xiàng)。容易證明這個(gè)結(jié)論是普遍成立的。

進(jìn)一步的觀察表明，當(dāng)n很大時(shí)，如被展開(kāi)函數(shù)為分段可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，則展開(kāi)式的系數(shù)

與南成反比；如被展開(kāi)函數(shù)為分段可導(dǎo)的不連續(xù)函數(shù)時(shí)，則展開(kāi)式的系數(shù)與n成反比。

2）傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

傅立葉認(rèn)為傅立葉級(jí)數(shù)收斂于被展開(kāi)的函數(shù)g（（p）,拉格朗日強(qiáng)烈反對(duì)傅立葉的觀點(diǎn)，他批

評(píng)傅立葉的理論缺乏嚴(yán)密性，又對(duì)傅立葉在實(shí)際應(yīng)用中取得的成功感到非常困惑。狄利克雷認(rèn)

真研究了傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性，證明了下列定理：

如果函數(shù)g（（p）在區(qū)間［-鞏4）上絕對(duì)可積，則其傅立葉級(jí)數(shù)收斂，但是不一定收斂于該函

數(shù)。

如果函數(shù)g（q＞）在區(qū)間［-萬(wàn),萬(wàn)）內(nèi)分段單調(diào)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，那末其傅立葉級(jí)

數(shù)在連續(xù)點(diǎn)(P收斂于該函數(shù)，在第一類間斷點(diǎn)<Po收斂于該函數(shù)在該點(diǎn)左右極限的平均值

外g(%+o)+g(恁-0)］。在這種條件下，我們稱函數(shù)g((p)可以進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。傅立

葉級(jí)數(shù)展開(kāi)也可以寫(xiě)成(3.3.1)的形式，其中系數(shù)由(3.3.2)式確定。

在此基礎(chǔ)上，人們經(jīng)過(guò)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：

(i)如果函數(shù)g((p)連續(xù)，并且分段光滑，則其傅立葉級(jí)數(shù)一致收斂于該函數(shù)，(3.3.1)式處處

成立；

(ii)如果函數(shù)g(<p)分段光滑，則其傅立葉級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂，在連續(xù)點(diǎn)收斂于該函數(shù)本身，在間斷

點(diǎn)收斂于該函數(shù)左右極限的平均值，換句話說(shuō)，其傅立葉級(jí)數(shù)幾乎處處收斂于該函數(shù)，即

g((p)E(3.3.5)

n=-tx>

(iii)如果函數(shù)g(<p)在區(qū)間［-孫乃)內(nèi)平方可積，則有如下完備性關(guān)系

兀8

jIg(/)F4夕=2"Z1％產(chǎn)(3.3.6)

在一致收斂的情況下，導(dǎo)函數(shù)g'(⑺的傅立葉級(jí)數(shù)可由逐項(xiàng)微分g(中)的傅立葉級(jí)數(shù)得到，

即

g\(p)Z(4】cos〃Q+》“sin〃e)'=cosnx-ansinnx)(3.3.7)

〃=1H=I

g(<p)的積分的傅立葉級(jí)數(shù)可通過(guò)逐項(xiàng)積分g(⑺的傅立葉級(jí)數(shù)得到，即

，g((p)d(p=Wa°Jo1夕+1>廣cosn(pd(p+么J：sinn(pdcp)

w=，(3.3.8)

=4%。+￡一(4,sin“°一仇cosn。)

■?=in

收斂性質(zhì)并不發(fā)生變化。

.在逐點(diǎn)收斂但并非一致收斂的情況下，g(<p)的積分的傅立葉級(jí)數(shù)可通過(guò)逐項(xiàng)積分g((p)的傅

立葉級(jí)數(shù)得到，所得結(jié)果為一致收斂；但是傅立葉級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分的結(jié)果一般不收斂。即積分可

以改善傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性，而微分卻恰恰相反。請(qǐng)讀者思考一下，這是什么原因。

3)傅立葉展開(kāi)的變形

在(3.3.1)和(3.3.2)式中作變量變換苫=乙9/萬(wàn)，得到

>x

h(x)=g(cox)=fcne"'",co=—(3.3.9)

“=-00L

其中。=萬(wàn)/乙為圓頻率。

顯然上式的左邊是一個(gè)以T=2L為周期滿足狄利克雷條件的實(shí)變函數(shù)，右邊的虛指數(shù)函數(shù)

也都有周期2L,這表明傅立葉展開(kāi)可以推廣到以T=2L為周期的情況。相應(yīng)系數(shù)為

c=1^f￡e-h(x)dx

nL(3.3.10)

寫(xiě)成三角級(jí)數(shù)形式，有

00

￡0

〃(x)Z(ancosncox+hnsinncox)(3.3.11)

2n=l

和

IfL.1rL

an=cn+=—J(""‘s+)h(x)dx=—Jcoswx,h(x)dx

2L-L(3.3.12)

rMMX

b=i(cn-c_n)=—[(e~""-e",)h(x)dx=—[sinncox-h(x)dx

2LJ-LLJ-L

上面的結(jié)果雖然是對(duì)周期函數(shù)得到的，但是計(jì)算系數(shù)的公式(3.3.10)只涉及到一個(gè)周期,

即只要函數(shù)h(x)在區(qū)間［-L,L］上有定義并滿足狄利克雷條件，就可以展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。

傅立葉級(jí)數(shù)在區(qū)間［-L,L］上逐點(diǎn)收斂于被展開(kāi)的函數(shù)，在該區(qū)間之外逐點(diǎn)收斂于被展開(kāi)函數(shù)

h(x)的周期性延拓A(x),即

~/?(x),xe［-L,L］

/z(x)={~(3.3.13)

h(x+2L),xg［~L,L］

進(jìn)一步，對(duì)定義在區(qū)間［a,b］上并滿足狄利克雷條件的函數(shù)/4)，也可以進(jìn)行傅立葉展開(kāi)。

顯然，2L=b—a為區(qū)間的長(zhǎng)度，%=3(a+A)為區(qū)間的中點(diǎn)，作變量變換x=f—%后，函數(shù)

h{x)=/(x+fo)=/Q)的定義區(qū)間為［-L,L］,可以按(3.3.7)式展開(kāi)。因此有/(t)的傅立葉

展開(kāi)式

8S8)7r

f(t)=hM=Zc/3=Z=Z8(3314)

“=-oon=—oo=—00力一。

其中展開(kāi)系數(shù)可以借助(3.3.8)式求得

ino,(x+，o)

dn=cQM=—j'e-hMdx=—(3.3.15)

4)傅立葉展開(kāi)的推廣

如果我們把收斂性的要求從逐點(diǎn)收斂放寬到幾乎處處收斂，則能夠進(jìn)行傅立葉展開(kāi)的函數(shù)

范圍還可以從滿足狄利克雷條件的函數(shù)進(jìn)一步擴(kuò)大到函數(shù)空間L?［a,b］中。利用函數(shù)內(nèi)積的定

義

容易驗(yàn)證

(e""%e'"0)=S—。)鬃,“，n,m&Z(3.3.16)

展開(kāi)系數(shù)可以簡(jiǎn)明地表示為

4=(e叫/⑻他一。)(3.3.17)

由此可以推出

2

—El2H=（%）-」⑴-七工…）

（八），Z2d產(chǎn)）—（Z二"皿，加）

=ll/（/）ll2-（b-a^\dj

利用完備性關(guān)系（3.3.6）,立刻可以證明

I"⑺一￡二4/"例11=0（3.3.18）

即

/⑺工二2（3.3.19）

我們還可以把傅立葉展開(kāi)推廣到二元函數(shù)甚至多元函數(shù)的情況。如果對(duì)任意給定的y值，

函數(shù)/（x,y）在區(qū)間［-L,L］上對(duì)自變量x平方可積，則有帶保留變量的傅立葉展開(kāi)式

n,ax

f\x,y）X%（）'）e，cn（y）=—\e-'f（x,y）d.（3320）

//J-L

n=—<x>乙L

式中的傅立葉系數(shù)中帶有保留變量yo

如果二元函數(shù)/（x,y）在矩形區(qū)域R｛-l<x<l,-h<y<h）上平方可積，則可以展開(kāi)為

二重傅立葉級(jí)數(shù)

/（內(nèi)）E,8\=鼻9=三（3.3.21）

m,n--ooLA

式中的系數(shù)為

Cra-n=4LHWe-i（ni^+n^f（x,y）dxdy（m,neZ）（3.3.22）

3.3.3廣義傅立葉展開(kāi)

1）傅立葉展開(kāi)的實(shí)質(zhì)

從函數(shù)空間的角度看，定義在區(qū)間［a,b］上平方可積函數(shù)人x）的傅立葉展開(kāi)式（3.3.9）實(shí)

際上是把函數(shù)空間L?［a,b］中的一個(gè)矢量式x）用該空間中的一組基矢｛eino>xIneZ｝來(lái)線性表示,

而完備性關(guān)系（3.3.6）保證了該組基矢的完備性。由于這組基矢滿足正交性關(guān)系（3316）,即

相互之間兩兩正交，形成了一組正交基。利用正交性關(guān)系，把基矢丁儂與傅立葉展開(kāi)式（3.3.9）

作內(nèi)積，得到

（e叫/?））=（/?-a）d“（3.3.23）

這就給出了計(jì)算展開(kāi)系數(shù)的公式（3.3.17）。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，傅立葉展開(kāi)的實(shí)質(zhì)就是把平方可積函數(shù)空間中的矢量用一組特殊的正交基來(lái)線

性表示。顯然，我們也可以用其它正交基來(lái)線性表示平方可積函數(shù)空間中的矢量。

2）廣義傅立葉展開(kāi)

一般地，設(shè)｛/（x）lnwN｝為函數(shù)空間L?［a,b］中的一組正交基，滿足正交性關(guān)系

(%(x)，e”(x))=N,也"(3.3.24)

上式中的N“=11(pn(x)II為基函數(shù)(p”(x)的模。

把函數(shù)空間中的任意矢量式x)用這組正交基來(lái)展開(kāi)，得到一個(gè)廣義傅立葉級(jí)數(shù)

00

f(x)=Zf“%(x)(3.3.25)

n=0

用基函數(shù)%,(x)分別與上式兩邊作內(nèi)積，得到

”,“(X),/(X))=Z力3“(X)，O,(X))=ZE,N第mn=

n=0"=0

由此可以求出廣義傅立葉系數(shù)

工”=3.(x)J(x))/N：(3.3.26)

而廣義傅立葉展開(kāi)的收斂性

H/W-EZ,%W"=0<3.3.27)

n=0

需要有基函數(shù)集合的完備性關(guān)系來(lái)保證，即

(/(X)J(X))=f""FN：(3.3.28)

n=0

例如，勒讓德多項(xiàng)式｛q(x)=品力/-1)，I/€N｝為函數(shù)空間L211,1］中的一組正交基,

滿足正交性關(guān)系

C(x)/*))=用“時(shí)=金