深圳杯數(shù)學建模A題論文單獨政策下人口預測的數(shù)學模型

單獨政策下人口預測的數(shù)學模型摘要本文根據(jù)2010年的全國人口普查數(shù)據(jù)對Leslie人口預測方程進行改進，對我國的人口增長建立了年齡遞歸模型。并將對2014年的人口與結構的估計作為測算的初始數(shù)據(jù)，通過獨生子女的比例、單獨家庭數(shù)量、生育意愿計算單獨政策的貢獻值，并將其與人口預測值相加即可視為單獨政策下的總人口。然后依次遞歸，預測至2050年的人口數(shù)據(jù)。將其與現(xiàn)有預測報告相比，再次證實單獨政策將不會引起人口激增，另外發(fā)現(xiàn)了單獨政策通過減少獨生子女引發(fā)的回饋作用，指出了預測報告政策貢獻值收斂過慢的缺點。并針對北京市，重點考慮城鎮(zhèn)化、綜合遷移率、政府控制等因素建立模型。對其未來各項人口數(shù)據(jù)進行了預測。期間我們圍繞遞推模型，逐步深入的建立了五個模型。模型一，只考慮生育率、死亡率對人口的影響。對2010年的各年齡死亡率進行擬合，發(fā)現(xiàn)其服從指數(shù)分布，對其進行修正。假定2010年后的生育率不變，基于2010年全國人口普查數(shù)據(jù)對Leslie預測方程進行改進。即用其生育率計算下一年的新生人口，其余年齡用死亡率逐步遞推的方法估測得2014年人口數(shù)據(jù)。為后續(xù)模型提供測算起點，并預測無單獨政策下的全國人口數(shù)據(jù)。由Matlb軟件計算得到我國人口將于2021年到達峰值1.39億。模型二，引入短期預測更為精準的灰色預測模型，對2014年的人口總數(shù)進行了預測，并與模型以進行了對比。證明了模型以的可行性，并對2014年的人口數(shù)據(jù)進行修正。模型三，在模型一的基礎上考慮單獨政策的影響，從05年1%人口抽樣調查得到的獨生子女人口結構，并通過擬合和遞推將其預測到2014年。獨生子女的婚姻情況可視為顯性配子自由組合的過程，由此通過孟德爾遺傳定律即可確定單獨家庭比例，進而計算政策受益的潛在人群。生育意愿的統(tǒng)計置信水平過低，故取高中低三個水平進行計算。將得到單獨政策的貢獻值與原預測結合經(jīng)過遞推，即可預測政策下的人口變化，其中我們特別加入了單獨政策的反饋處理。預測得單獨政策下2022年我國達到人口峰值14.06億人，其對人口影響有限，老齡化依然嚴重。模型四，基于模型三的思想，加入了人口遷入遷出、戶口限制、政府控制等因素影響，建立針對北京市的人口預測模型。模型五，為了重點考慮城鎮(zhèn)化的影響以及城、鎮(zhèn)、村三者生育理念、生育模式不同的問題，將人口數(shù)據(jù)按性別、城、鎮(zhèn)、村離散為六類，建立北京市城-鎮(zhèn)-村人口預測模型，模擬了因城鎮(zhèn)化人口向城市遷移的過程，令模型更符合實際情況。最后由預測得到的人口結構，分析了單獨政策對人口老齡化的改善、對教育的壓力、撫養(yǎng)比的變化以及延遲退休年齡至多少達到最優(yōu)，并就此給出合理化建議。關鍵詞：遞歸方程離散模型孟德爾遺傳定律反饋作用城鎮(zhèn)化1問題重述

人口的數(shù)量和結構是影響經(jīng)濟社會發(fā)展的重要因素。從20世紀70年代后期以來，我國鼓勵晚婚晚育，提倡一對夫妻生育一個孩子。該政策實施30多年來，有效地控制了我國人口的過快增長，對經(jīng)濟發(fā)展和人民生活的改善做出了積極的貢獻。但另一方面，其負面影響也開始顯現(xiàn)。如小學招生人數(shù)（1995年以來）、高校報名人數(shù)（2009年以來）逐年下降，勞動人口絕對數(shù)量開始步入下降通道，人口撫養(yǎng)比的相變時刻即將到來，這些對經(jīng)濟社會健康、可持續(xù)發(fā)展將產(chǎn)生一系列影響，引起了中央和社會各界的重視。黨的十八屆三中全會提出了開放單獨二孩，今年以來許多省、市、自治區(qū)相繼出臺了具體的政策。政策出臺前后各方面人士對開放“單獨二孩”的效應有過大量的研究和評論。問題1：根據(jù)每十年一次的全國人口普查數(shù)據(jù)，建立模型，用以調查人口的變化趨勢。問題2：收集典型的研究評論報告，根據(jù)問題1的基礎上，對報告的假設和某些結論發(fā)表自己的獨特見解。問題3：針對深圳市或其他某個區(qū)域，討論計劃生育新政策（可綜合考慮城鎮(zhèn)化、延遲退休年齡、養(yǎng)老金統(tǒng)籌等政策因素，但只須選擇某一方面作重點討論）對未來人口數(shù)量、結構及其對教育、勞動力供給與就業(yè)、養(yǎng)老等方面的影響。2問題的分析本題要求根據(jù)每十年一次的全國人口普查數(shù)據(jù)，建立模型，用以調查全國以及某地區(qū)人口的變化趨勢，并對報告要有獨特的見解。中國計劃生育政策特別是30多年來獨生子女政策的全面推行，不但改變了中國人口發(fā)展的歷史趨勢，改變了中國家庭社會的基本結構，而且出現(xiàn)了上億的獨生子女，形成了具有鮮明特點的獨生子女家庭類型[1],針對問題一：我們建立Leslie[2]離散人口模型，根據(jù)2010年全國第六次人口普查[3]的數(shù)據(jù)，針對育齡婦女生育一孩和育齡婦女生育二孩的原始生育率不變，以及政策調整所帶來的受益人群生育意愿的改變，將育齡婦女分組求得總生育貢獻值，并考慮到老齡人口比例逐年上升所帶來的死亡率升高，得到人口增長的短期效應。由于“單獨二孩[4]”新政策的出臺，將會在今后的二十多年，保持相對較高但有所衰減的人口增長率，之后由于“單獨二孩”的大量產(chǎn)生而導致新的滿足“單獨二孩”家庭的比例下降，增速會明顯放緩，具體將會在2035年前后出現(xiàn)明顯的轉折。所以還需增加模型要考慮的因素，對模型進行優(yōu)化。針對問題三：影響一個地區(qū)人口變化的因素不外乎死亡率、出生率以及性別比例幾種。在問題一的基礎上，對模型再分析，對于考慮城鎮(zhèn)鄉(xiāng)的人口變化情況時，遷徙率是重要的。因為現(xiàn)今農(nóng)村人口向城市的大量涌入，尋找就業(yè)機會已成為一個較為普遍的社會現(xiàn)象，這種現(xiàn)象必然會造成城市和鄉(xiāng)村人口的結構發(fā)生變化。3模型假設3.1問題一的假設(1)預測年限期間沒有大規(guī)模自然災害導致的死亡率變化。(2)沒有國內外大范圍人口流動。(3)國家經(jīng)濟發(fā)展水平按當前態(tài)勢穩(wěn)步發(fā)展。(4)原有一孩及二孩以上生育水平保持原有趨勢。(5)政策全面放開滿足條件家庭按意愿生育。(6)2014年起全面單獨二孩。(7)婚配完全隨機。3.2問題三的假設(1)假定一年內遷入和遷出北京的人口數(shù)及其性別比相同。(2)2014年起北京市開始實行單獨二孩政策。4名詞解釋及符號說明4.1模型一當年年齡為i的實際可生育婦女婚配率年齡為i的生育婦女的生育率第n年i歲整體人群的死亡率第n年年齡為i的人凈遷入人口第n年新生人口年齡為i的女性數(shù)量年齡為i的男性數(shù)量[,]育齡期存活率矩陣生育矩陣表示第年歲的人口數(shù)；4.2模型二表示第指標的參考數(shù)列表示生成的均值數(shù)列表示預測方程的發(fā)展系統(tǒng)表示預測方程的灰作用量表示第i個指標的原始數(shù)據(jù)的預測表示第i個指標累加數(shù)列的預測4.3模型三、四當年年齡為i的實際可生育婦女婚配率年齡為i的生育婦女的生育率第n年i歲整體人群的死亡率第n年年齡為i的人凈遷入人口第n年新生人口年齡為i的女性數(shù)量年齡為i的男性數(shù)量[,]育齡期存活率矩陣生育矩陣表示第年歲的人口數(shù)；4.4模型五分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲人口的死亡率；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲的人口數(shù)；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲的女性生育率；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲人口的女性比；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年的出生人數(shù)；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年的總和生育率；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年的總人數(shù)；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲女性的總人數(shù)；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲女性的死亡率；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲男性的總人數(shù)；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲男性的死亡率；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市出生人口中女性所占的比例；分別表示鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市第年歲人口的存活率；5模型一的建立與求解5.1問題進一步分析由于題目要求預測的單獨政策在2014年開始執(zhí)行，而全國人口普查最近則是2010年。針對數(shù)據(jù)年份的不同步問題，需要建立了改進后的Leslie模型，在只考慮出生率死亡率影響的情況下，求得2014年的人口數(shù)量和結構作為后續(xù)計算單獨政策影響的初始數(shù)據(jù)。由于需要計算保留Leslie模型的遞歸法，本年某年齡的人數(shù)是前一年該年齡人數(shù)減去改年齡人數(shù)在前一年中死亡人數(shù)。分析2010年全國人口普查的數(shù)據(jù)，由于人的生育意愿、生理狀態(tài)、性別觀念的綜合作用，不同年齡、不同性別的出生率是不同的。隨著年齡增大健康狀況改變，不同年齡、不同性別的死亡率也是不同的。因此在出生率與死亡率的處理上，應按年齡性別分別運算。5.2數(shù)據(jù)的預處理5.2.1婦女人數(shù)與生育率 生育預測是人口預測中的重要組成部分[5]。對比國家統(tǒng)計局公布的2010年全國人口普查數(shù)據(jù)中《全國分年齡、性別的人口》與《全國育齡婦女分年齡、孩次的生育狀況》發(fā)現(xiàn)二者在育齡婦女的統(tǒng)計上存在誤差。以15歲至19歲為例，全國分年齡、性別的人口數(shù)據(jù)，如表5-1所示。表5-12010年15歲-19歲婦女人數(shù)(單位：人)151617181984995868995340100145411001071810464099育齡婦女分年齡、孩次的生育狀況給出的數(shù)據(jù)。表5-22010年15歲-19歲育齡婦女人數(shù)(單位：人)1516171819820749820749820749820749820749廣義的育齡婦女是指某一生育期年齡的婦女數(shù)量總和，而生育表(表5-2)的育齡婦女數(shù)據(jù)則是考慮婚配狀況、生育情況多方面影響后可生育的婦女，再加之統(tǒng)計渠道不同帶來誤差因而相差差較大。其中為當年年齡為i的實際可生育婦女，為截至到當年年齡為i的婦女婚配率，為當年年齡為i的婦女總數(shù)，為因各種原因不會生育的婦女。因為婚配率與不育婦女的數(shù)據(jù)統(tǒng)計置信水平過低，我們取生育表(表5-2)中的分年齡分孩次出生人數(shù)，取人口表(表5-1)中女性總數(shù)作為廣義的育齡婦女人數(shù)，算出基于2010年各年齡婦女人口總數(shù)的生育率經(jīng)修正后的生育率如下：表5-3經(jīng)修正后的生育率(單位：‰)年齡15-19歲20-24歲25-29歲30-34歲35-39歲40-44歲45-49歲生育率5.9369.4784.0845.8418.717.514.68將生育率離散，即每一年齡的生育率取所屬集合的生育率值。（這樣的分布與實際生育率分布情況相差較大，故我們在后面的模型中進行了改進）5.2.2遷入率與遷出率的計算對于全國的總人口計算，凈遷移量主要由中國每年向外移民人口構成。相對由收集來得的數(shù)據(jù)：香港《南華早報》2月14日的報道中指出在2011年一年中，中國內地對世界幾個主要移民國家永久性移民數(shù)量在15萬人左右。我們以此作為2010年人口遷出量的參考值。計算得2010年中國人口凈遷移量占中國總人口比例為1.09‰，可以忽略遷移率的影響。5.2.3男性和女性死亡率的擬合考慮到2010年全國普查數(shù)據(jù)中死亡率隨年齡的增長曲線個別地方有小的波動，從而用指數(shù)增長模型曲線去擬合，得出較光滑死亡率數(shù)據(jù)，以免帶來不必要的誤差。擬合出男性和女性死亡率隨時間變化的函數(shù)表達式分別為為：圖5-1死亡率擬合殘差平方和分別為為0.0614和0.0236。5.3模型建立5.3.1年齡遞推對于一個地區(qū)，設第n-1年（取n-1年中旬做參考值）的年齡為i的人口總數(shù)為,考慮該年齡到第n年中旬的人口主要分為兩部分：第n-1年年齡為i的人存活下來的人數(shù)，第n-1年年齡為i的人的遷入數(shù)量和遷出數(shù)量之差。設為第n年i歲整體人群的死亡率，為第n年年齡為i的人凈遷入人口，則如下圖所示得到這一代人口數(shù)量從n-1年遞推至第n年的公式：nn年n+1年0歲1歲……i歲i+1歲……90歲0歲1歲……i歲i+1歲……90歲新生死亡外部0歲遷入死亡外部i歲遷入圖5-2年齡遞推圖5.3.2新生人口的改進模型而第n年0歲人口需要通過育齡期婦女[,]的生育情況分年齡計算當年新生人口數(shù)量。在Leslie人口預測模型中，新生人口矩陣=總和生育率×生育模式矩陣×育齡婦女年齡別矩陣×年齡組比例矩陣。而針對本題的預測過程，總和生育率會因單獨政策的出臺發(fā)生變化。而2010年全國人口普查對不同年齡段育齡婦女的生育率有詳細的統(tǒng)計，由此對Leslie預測的新生人口模型進行簡化，第n年新生人口其中是年齡為i的婦女生育率，為年齡為i的女性數(shù)量，為年齡為i的男性數(shù)量，[,]為育齡期。(在全國人口普查數(shù)據(jù)中，=15，=49)于是得到離散的人口發(fā)展方程模型：總人口：5.3.3差分模型基于Leslie人口預測模型的思想將上述模型矩陣化：人口構成矩陣：1-99歲人口存活矩陣：15歲-49歲婦女生育矩陣：從上上述數(shù)據(jù)得到人口的差分方程模型，記此即只考慮生育率與死亡率的離散人口發(fā)展模型5.4模型求解圖5-3模型一的短期預測圖5-42010年到2050年模型一預測人口變化圖表5-42011年-2014年總人口人口年份2011201220132014人口1368874566137385045813784863451382786019圖5-5全國2014年人口結構圖5-62050年人口結構圖圖5-760歲以上老年人口變化圖5.5結果分析通過模型一的短期預測，我們得到了2014年人口與結構的數(shù)據(jù)，全國人口總數(shù)在2021年將達到13.52億人，其中男性6.92億，女性6.60億。為后續(xù)模型的測算提供了起始數(shù)據(jù)。再擴大程序的遞推次數(shù)，對人口進行截止到2050年的長期預測，得到全國人口總數(shù)在2021年將達到13.98億人。由圖5-7可知，未來40年間我國的老年人口比例不斷攀升，老齡化程度不斷加重，到2050年時老年人口比例已達到41.7%，社會將面臨嚴重的老齡化問題。6模型二的建立與求解6.1問題進一步分析在上面的模型中，在人口預測中建立了改進后的Leslie模型，在只考慮出生率死亡率影響的情況下，求得2014年的人口數(shù)量和結構作為后續(xù)計算單獨政策影響的初始數(shù)據(jù)。對2014年以后做預測是以2010全國人口普查數(shù)據(jù)建立Leslie模型為基礎的，為了驗證2014人口預測數(shù)據(jù)的準確性，我們以中華人民共和國國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)為基礎，使用灰度預測，對2013到2022年的人口數(shù)量進行了預測。6.2模型建立灰色系統(tǒng)是指部分信息已知，部分信息未知的系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)的理論實質是將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進行累加生成數(shù)列，再重新建模。由于生成的模型得到的數(shù)據(jù)通過累加生成的逆運算――累減生成得到還原模型，再有還原模型作為預測模型。預測模型，是擬合參數(shù)模型，通過原始數(shù)據(jù)累加生成，得到規(guī)律性較強的序列，用函數(shù)曲線去擬合得到預測值?；疑A測模型建立過程如下：設為原始數(shù)據(jù)，為了使其成為有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，對原始數(shù)據(jù)作一次累加生成運算，從而得到新的生成數(shù)列一般近似地服從指數(shù)規(guī)律。則生成的離散形式的微分方程具體的形式為(10)即表示變量對于時間的一階微分方程是連續(xù)的。求解上述微分方程，解為(11)當=1時，，即，則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具體形式為 (12)當足夠小時，變量從到是不會出現(xiàn)突變的，所以取與的平均值作為當足夠小時的背景值，即將其值帶入式子，整理得(13)由其離散形式可得到如下矩陣：令稱為數(shù)據(jù)向量，為數(shù)據(jù)矩陣，為參數(shù)向量.則上式可簡化為線性模型：(14)由最小二乘估計方法得：(15)上式即為GM(1,1)參數(shù)的矩陣辨識算式，式中事實上是數(shù)據(jù)矩陣的廣義逆矩陣。將求得的，值代入微分方程的解式，則(16)其中，上式是GM(1,1)模型的時間響應函數(shù)形式，將它離散化得(17)對序列再作累減生成可進行預測.即(18)通過利用MATLAB編程求得，將的值代入微分方程的時間響應函數(shù)，6.3模型求解根據(jù)2012全國統(tǒng)計年鑒數(shù)據(jù)整理得到全國歷年年度人口統(tǒng)計表如表1.表6-12001年—2012年全國人口總數(shù)(單位：萬人)2001年2002年2003年2004年2005年2006年1276271284531292271299881307561314482007年2008年2009年2010年2011年2012年132129132802133450134091134735135404(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，建立含有12個觀察值原始數(shù)據(jù)序列：=[127627128453129227129988130756131448132129132802133450134091134735135404](2)生成累加序列：=[12762725608038530751529564605177749990962810424301175880130997114447061580110](3)使用Matlab進行灰度預測，對人口擬合如下：(4)精度檢驗值方差比：c＝0.0014(很好)小殘差概率：P＝1(很好)(5)得到2012年未來10的預測值如表6-2所示：表6-2：人口統(tǒng)計2013-2022年預測值(單位：萬人)2013年2014年2015年2016年2017年1362201369401376501383701391002018年2019年2020年2021年2022年139830140560141290142030142780(6)得到2012年未來10的預測值曲線圖如圖6-1所示：圖6-1人口統(tǒng)計2013-2022年預測值(單位：萬人)6.4結果分析圖6-2模型一與模型二2011年-2014年人口對比圖(單位：萬人)通過模型二的短期預測，我們得到了2014年人口總數(shù)量的數(shù)據(jù)，根據(jù)圖6-2得全國人口總數(shù)在2014年將達到13.69億人，與模型一預測的數(shù)據(jù)13.82億人相比之下有些許差異，這是因為模型一是由各年齡段人口數(shù)據(jù)累加之后的數(shù)據(jù)，與直接由歷年來人口變化趨勢得到的數(shù)據(jù)還有些許差異。7模型三的建立與求解7.1問題的進一步分析在第一個模型的基礎上考慮單獨政策影響，即求出因為單獨政策開放而導致的人口增加量與結構變化。7.1.1測算起始時間首先，在統(tǒng)一時間問題上，我們查詢資料發(fā)現(xiàn)單獨政策是在2014年中在全國各個省市逐漸放開。列出全國部分開放單獨政策省市地區(qū)的開放時間如表7-1：表7-1全國部分開放單獨政策省市地區(qū)的開放時間浙江江西安徽天津北京廣西上海1月16日1月18日1月23日2月14日2月21日3月1日3月1日江蘇湖北海南山西河北貴州......3月3月5月6月6月5月......其他現(xiàn)在還未開放單獨二孩政策的省市除新疆與西藏外均表示在2014年年內將放開單獨二孩政策，因此我們選用2014年作為我們預測單獨政策的影響的測算起始時間。最近的人口普查為2010年統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如需預測應采用模型一基于2010年人口普查數(shù)據(jù)對2014年人口數(shù)量與結構數(shù)據(jù)進行預測。7.1.2獨生子女數(shù)據(jù)對于現(xiàn)有獨生子女人口數(shù)據(jù)過于駁雜與不完整的問題，我們選取了置信水平較高的國家統(tǒng)計局公布的2005年全國1%人口抽樣調查數(shù)據(jù)。雖然年份與測算時間相差較大，但該數(shù)據(jù)為國家機構調查所得，調查方法科學嚴謹，置信水平高達95%，故應對其進行修正后作為獨生子女測算的初始數(shù)據(jù)。7.1.3計算單獨家庭比例單獨二孩政策的直接作用對象為符合政策的單獨家庭，一個單獨家庭中必定含有一個男性和一個女性，故單獨家庭個數(shù)計算的關鍵在于單獨家庭比例：7.1.4生育意愿聯(lián)系實際情況，顯然并不是所有符合單獨政策的婦女都有生育單獨二孩意愿，針對意愿問題，引入生育意愿矩陣。生育意愿分布問題:分析單獨二孩生育意愿調查的調查報告，我們發(fā)現(xiàn)不同年齡的婦女是否選擇生育單獨二孩的意愿也不相同，需要進行離散處理和創(chuàng)建分布模型。符合單獨政策的潛在人群我們可以用單獨家庭個數(shù)（或單獨家庭婦女數(shù)）來表征，他們應該同時具備下列2個條件:(1)夫婦目前已經(jīng)生育且僅有一個親生子女;(2)夫婦中丈夫為獨生子女，而妻子不是或妻子為獨生子女，而丈夫不是；首先要單獨政策針對必須加入入獨生子女的數(shù)量計算生育意愿的統(tǒng)計的置信水平過低故取上下限計算7.2數(shù)據(jù)預處理通過模型一預測在單獨政策未開放之前，截至到2014年的男女人口數(shù)據(jù)表7-2預測2014年男女人口數(shù)據(jù)年齡0123456男7055911703403670338867013322741606285514158491034女5821228580207458025315786147628772170664217098522年齡78910111213男8258767823376179767348023129728202374130977715083女6969525696630667374476764062613164662380296516949年齡14151617181920男7819459751150682759818147461844853095060539774432女6617656640757871043177057747742304384913448986438年齡21222324252627男10735992107182561105069914162078133191931224373312835900女10004130100000111045248913809418131824031217695712801859年齡28293031323334男112557219937223984564797667641122882898744599563876女113507129949459981524796639411103188496359009305847年齡35363738394041男100951129860771924008910516299107520271161507212196739女97047619543920886911410086503103408051118350811669087年齡42434445464748男12566345128281421386510612598066136328541073061212101321女12025598122267551334695212176067131819581044190511689190年齡49505152535455男12083571116880201357334210038660551993370568266477314女1163238011405106130608419761246554666768194786142566年齡56575859606162男8363633917623382991328699106867946577992297819790女7947103880656581828728496720859825078326817832299年齡63646566676869男6566190657812063270365377681513761046564054208775女6652151651228361383685360157509238547202634292162年齡70717273747576男4011333360863934797503411724322532326592622888127女4019919369280835675353525050333754228384113065213年齡77787980818283男2600722239540121251621892092179371814230051197569女2814217270248225075982273593215762617921551513651年齡84858687888990男1143008807206745697567616429812358909266380女149868711212731074114854555683204601481476781年齡91929394959697男19012514062910591374074471093423824350女3603732747662165891608871040847804355402年齡9899100男188911458811086女408703088922409獲得國家統(tǒng)計局05年全國1%人口抽樣調查數(shù)據(jù)中關于獨生子女的統(tǒng)計表，該數(shù)據(jù)是2005年全國獨生子女的一個樣本，因為數(shù)據(jù)中標注置信水平較高在95%以上。用樣本估計總體，即2005年當年全國獨生子女分年齡、分性別的人口數(shù)據(jù)。由概率統(tǒng)計公式估測出05年獨生子女數(shù)量與結構數(shù)據(jù)如表7-3所示：表7-305年獨生子女數(shù)量與結構數(shù)據(jù)年齡0歲1歲2歲3歲4歲5歲6歲7歲獨生男60615005800200525590052607005502900549280050661005432700獨生女56088005232800465400046075004643900442190038324003808800年齡8歲9歲10歲11歲12歲13歲14歲15歲獨生男52925005229400551140049214005058700484350047704004843700獨生女35763003351300344440031098003104200289310028102002924800年齡16歲17歲18歲19歲20歲21歲22歲23歲獨生男41411003466000319030024630001983500192540021493002603400獨生女25926002270200212360016778001500700162090018557002295100年齡24歲25歲26歲27歲28歲29歲30歲獨生男2149500181140018212001694000148350015314002057800獨生女1952200179360017913001730300160690017758002469100因為獨生子女群體分散在全國人口總體中，而并非封閉的的對象。因而不可采用模型一或模型二對獨生子女人口進行遞推和預測。利用Matlab軟件中的擬合工具CurveFittingTool分別對獨生男-年份、獨生女-年份的變化圖像進行擬合：用三角函數(shù)擬合獨生女變化趨勢，如下圖，擬合曲線為：圖7-1獨生女擬合曲線通過所得獨生男女擬合曲線求得每年新生獨生男女人口數(shù)，在代入2014年獨生子女數(shù)量由模型一遞推出2014年分性別分年齡人口數(shù)據(jù)表7-42014年分性別分年齡人口數(shù)據(jù)年齡0歲1歲2歲3歲4歲5歲6歲7歲獨生男63271546272480622725461782906123619606273359955075921719獨生女57073715565066543936153165235194759507344549523564831482年齡8歲9歲10歲11歲12歲13歲14歲15歲獨生男58415706013695577397652362765242736548482354750835049661獨生女47109075568347521446046415414596775463387844128003824819年齡16歲17歲18歲19歲20歲21歲22歲23歲獨生男54146365274322521050054903834901554503678948211214746790獨生女38013793569262334456934372773103307309753128867132803771年齡24歲25歲26歲27歲28歲29歲30歲31歲獨生男48179934117719344519231702572446890196999319117332133426獨生女29177582586073226421421177891673024149626416158971849677年齡32歲33歲34歲35歲36歲37歲38歲39歲獨生男25832412132087179607918049641677857146842315147872034051獨生女228724119452011786885178414717229261599588176711724561907.3模型建立7.3.1分孩次離散生育率單獨政策的本質是通過擴大生育第二孩的人群數(shù)量，通過二孩的增加量改變新生人口數(shù)量。7.3.2計算單獨家庭比例基于假設是否是獨生子女并不影響婚配情況，我們引入遺傳學中的孟德爾遺傳定律，用顯性和隱性的概念表示單獨政策執(zhí)行時獨生子和非獨生的關系。數(shù)量為x的獨生子與數(shù)量為y的獨生女在男性總體A和女性總體B中的婚配情況可近似的看作遺傳學中配子在孟德爾第二定律下自由組合的過程。我們把獨生子女視為顯性性狀的配子D，把非獨生子女視為隱形形狀的配子d。配子產(chǎn)生后，進行自由組合生成新的個體。子代中只要含有顯性性狀D的都呈顯性，即可以生二胎。只含有隱形形狀d的才呈隱形，即不能生二胎。孟德爾自由組合的過程如下圖所示：配子：DdDddDddDDddDD圖7-2孟德爾遺傳規(guī)律圖其中，DD：雙獨家庭，Dd單獨家庭，dd無獨生家庭。根據(jù)現(xiàn)實情況，我們發(fā)現(xiàn)雙獨家庭可生二孩政策早在2014年之前2010年之后各省已經(jīng)陸續(xù)開放，故我們需要在雙獨政策影響的基礎上計算單獨政策的貢獻。抽象成數(shù)學模型。無獨生家庭婦女比例==即可生二孩的婦女的比例=即(式7-3-1)其中，單獨家庭占總婦女的比例：即(式7-3-2)該比例只是對15歲-49歲每個年齡段女性進行分組，而并不考慮實際是否婚配或其它特殊情況（關于婚配率問題在下一節(jié)生育率加以討論）。在男女匹配問題上，考慮到實際情況中我國大部分家庭中丈夫與妻子年齡不同，故而應引入對夫妻婚配年齡差異的處理考慮夫妻婚配年齡差異時,首先要得到夫妻年齡差異的分布規(guī)律。為此,我們從WIS系統(tǒng)中匯集1970-1980年出生的已婚婦女與其丈夫不同年齡差別的人數(shù)分布。從多數(shù)地區(qū)匯總的結果發(fā)現(xiàn),婚配年齡的分布主要與夫妻的年齡差D=tf-tm有關(tm,ff分別為丈夫和妻子的出生年),而與妻子的絕對年齡(出生年tf)關系相對較弱。因此,我們可以用一條平均的分布曲線來描述夫婦年齡差的分布概率。圖7-3不同地區(qū)夫婦年齡差D的平均概率分布圖7-3為從昌平、太倉、湖州、即墨4地的WIS系統(tǒng)中提取的夫婦年齡差D=tf-tm的平均概率分布G(D)(橫軸坐標為丈夫年齡減妻子的年齡)。分析圖表發(fā)現(xiàn)昌平地區(qū)年齡差明顯有異于其他三個地區(qū)，我們將其作為奇異數(shù)據(jù)消去。再通過對另三個地區(qū)的積分運算其中，為年齡差的期望值，D為年齡差，為年齡差為D的家庭比例，[,]為年齡差的上下限，由三地的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我們取=-3，=9。積分得的年齡差期望為2.129，通過樣本估計總體，我們由此取2歲作為全國家庭平均年齡差，即取比女性大2歲的男性人口進行匹配, 結合前文比例模型(式7-3-2)計算單獨家庭。其數(shù)學模型如下：第n年女性年齡為i的單獨家庭比例（式-3-3）7.3.3單獨政策下的生育率計算單獨政策的本質是通過擴大生育第二孩的人群數(shù)量，進而通過二孩的增加改變總人口的數(shù)量與結構。國家統(tǒng)計局公布的生育狀況表給出了分孩次新生人口數(shù)據(jù)，在經(jīng)過預處理轉化為廣義生育率表后，對所得表格進行數(shù)據(jù)挖掘。表中的2010年二孩出生率可細化為其中為二孩出生人數(shù)，為符合政策可生二胎婦女，其中包括某些省市的雙獨家庭婦女、少數(shù)民族家庭婦女、某些特殊情況婦女等，為其生二孩的意愿，為違反政策生育二孩的婦女。因而所求得的生育率是綜合婚配率、雙獨政策影響、以及違反生育政策等多種情況作用下的廣義生育率。再加入單獨政策的影響后，政策直接作用于第二孩，設其增量為add其中，為第n年年齡為i的婦女群體中生育第k孩的數(shù)量7.3.4受益婦女的計算方法為了方便估計單獨政策影響的潛在人群，我們引入受益婦女的概念。符合單獨政策的潛在人群可以用家庭個數(shù)（或婦女數(shù)）來表征，他們應該同時具備下列2個條件:(1)夫婦目前已經(jīng)生育且僅有一個親生子女;(2)夫婦中丈夫為獨生子女，而妻子不是或妻子為獨生子女，而丈夫不是；設第n年年齡為i的符合條件的婦女數(shù)量為受益婦女。首先，受益婦女一定是單獨家庭的婦女，且已經(jīng)生育過一個孩子。我們取2010年全國人口普查數(shù)據(jù)中的分孩次生育表，其中，一孩生育狀況數(shù)據(jù)可大致反映女性在各個年齡段生育的概率分布：其中，為生育意愿、生理情況等綜合因素作用下，婦女在i歲時生育第一胎的概率。畫出其概率分布為圖7-4婦女在i歲時生育第一胎的概率設在i歲婦女中已生育有一孩的婦女比例為，則其值為所有在i歲之前生育一孩的婦女總和，即婦女在i歲時生育第一胎的概率的積分：我們利用Matlab軟件中的cumsum函數(shù)對的概率分布進行了疊加，并畫出了已生育有一胎的婦女數(shù)量占總婦女人口的比例分布圖：圖7-5生育有一胎的婦女數(shù)量占總婦女人口的比例分布圖則2014年已生育一孩的單獨家庭婦女數(shù)量為每當推至下一年時應進行以下運算：(1)該代婦女年齡變?yōu)閚+1(2)第n年中生育一孩的單獨家庭的婦女符合政策的要求，故讓其人口數(shù)加入數(shù)列。其數(shù)量為即(3)第n年中有部分符合政策的要求的單獨家庭婦女生育了政策孩子，其數(shù)量記為add，因而這部分單獨家庭婦女不再符合政策，令其退出數(shù)列。7.3.5生育意愿考慮實際情況中由于經(jīng)濟條件、個人理念、復雜的社會情況等原因，并不是所有的單獨家庭都有生二孩的意愿，因此加入生育意愿的計算。我們廣泛收集關于各地人們關于單獨二孩的生育意愿調查，發(fā)現(xiàn)由于單獨政策開放時間過短，關于其生育意愿的調查數(shù)據(jù)都出現(xiàn)樣本數(shù)量過少、統(tǒng)計方法不科學、沒有全國統(tǒng)一調查的缺點。而且各省市的生育意愿調查結果相差較大，總體表現(xiàn)為獨生子女比例高的地區(qū)意愿高，比例低的地區(qū)意愿低。表7-5部分地區(qū)生育意愿調查結果來源新浪網(wǎng)絡徐州北京內蒙古遼寧江蘇想生育二孩家庭的比例0.6450.780.67基于數(shù)據(jù)置信水平較低的情況，我們引入預測區(qū)間的思想，取0.7為生育意愿的預測上限，取0.5為生育意愿的預測下限，因此取0.6為生育意愿的中值。設其值為，分別進行運算。對于打算生育二孩的單獨家庭婦女將生育意愿按生育二孩的概率分布進行離散。它的離散情況可以近似的用婦女在各個年齡段生育二孩的概率分布表示，我們參照計算的方法得到生育二孩的概率分布貢獻值add為在單獨政策的影響下出生的單獨二孩,則有上限下限中值7.3.6單獨政策的反饋作用單獨政策的影響不僅僅限于對二孩的數(shù)量增加，我們認為單獨政策的實施是一個長期作用的過程。因為單獨政策的實施與二孩數(shù)量迅速增加會反而導致獨生子女減少。這一問題突出體現(xiàn)在15年后單獨政策下的第一代進入育齡期，他們中的獨生子女數(shù)量較少，單獨家庭婦女比例下降，收益婦女人數(shù)較少從而降低了單獨政策的效益。由此暴露出單獨政策通過減少獨生子女而對自身產(chǎn)生的反作用，我們稱之為單獨政策的反饋作用。每一個一孩在當年都是獨生子女，因此有其中為一孩出生性別比因為每誕生一個二孩，便意味著他們的哥哥或姐姐不再是獨生子女，因此可用二孩新生數(shù)量估測反饋作用影響。再跟據(jù)實際人類的生育情況我們把最大生育間隔取為十五年，于是把獨生子女減少數(shù)量平均扣除在0-14歲獨生子女數(shù)量上便完成了反饋作用。則有獨生子：獨生女：7.3.7總體模型綜合以上數(shù)學表征，以模型一為基礎建立不同年份的模型數(shù)據(jù)組。其中7.4模型求解圖7-6新生二孩隨時間變化趨勢圖7-715-49歲獨生子女占總人口比例圖7-8單獨政策對性別比的影響 圖7-9政策不變與政策改變情況下中等生育意愿下的人口變化圖老齡化的日益加劇使勞動人口減少是導致生育政策調整的主要原因，我國是發(fā)展中國家，勞動力總量的變化對于我國經(jīng)濟發(fā)展，社會活力有重要影響。圖7-10單獨政策下老年人口比例圖7-11勞動人口比例趨勢圖7.5結果分析根據(jù)圖7-6，可知新生二孩的數(shù)量會隨著新政策的推出而增多一段時間，大致到2027年左右，因為社會其它因素會導致二孩的數(shù)量逐漸減少。根據(jù)圖7-8，可知單獨二孩政策會導致男女性別下降的趨勢減緩，這是因為單獨二孩政策推出后，父母如果第一胎是女孩的話，第二胎要男孩的概率會比較大導致的。根據(jù)人口預測的數(shù)據(jù)繪制的勞動人口比例變化趨勢如圖7-11可見，由于生育政策的調整，勞動人力比例將在2050年后有回升，但整體降幅依然過大，因此，需要在單獨政策實施一段時間后考慮全面放開二孩政策，以改善人口結構，避免成為超少子化國家。8與報告對比并提出觀點人口數(shù)量方面，從報告圖7-10中可以看出就算開放單獨二孩的政策也避免不了人口老齡化的問題，勞動年齡人口供給減少，從而導致人口撫養(yǎng)比連年上升，若保持生育政策不變未來勞動人口還會持續(xù)減少，使得社會矛盾加劇，所以建議在開放單獨二孩政策后不久，就完全開放二孩政策，用于緩解即將到來的老齡化社會，使得人口結構能夠得到進一步改善，另一方面如果不馬上放棄目前的計劃生育政策，在新疆、西藏等少數(shù)民族區(qū)域，漢族人口比例會在未來50年快速下滑到20%以下。我國生育年齡晚于標準的生育年齡，生育模式開始較晚，結束也較晚，與西方國家開始較晚，結束較早有明顯差異，這一點還需國家調整政策使得能改善這一局面。就三中全會提出的放開單獨二胎政策，與會的多位專家認為，人口政策的適當調整將對我國長久的經(jīng)濟發(fā)展起到明顯的促進作用。不過我國人口還存在資深問題，出生人口性別比持續(xù)偏高，多年來一直維持在115以上，而正常水平應該在102到107之間左右，所以要一部分人改變重男輕女的觀念也是一個值得考慮的問題。教育方面我國文盲率連年有所下降，大學，初中和高中人數(shù)比例有所提高，反映了我國九年制義務制度和大力發(fā)展高等教育的舉措有所成效，當然由于教育而產(chǎn)生的就業(yè)難的問題也越發(fā)的嚴重。人口遷移方面，我國人口流動量又創(chuàng)新高，幾大主要城市群遷入量巨大，都上千萬，改變了城市群的經(jīng)濟和人口結構，使得所在城市負擔加重，人口矛盾進一步凸顯，但是城市群所帶動的經(jīng)濟發(fā)展也日益明顯。9模型四的建立與求解9.1問題進一步分析在模型三中，未考慮遷入遷出對全國人口的影響，但是針對北京市來說，外來人口的遷入對北京的人口數(shù)量和結構有很大的影響。遷移人口數(shù)據(jù)涉及的因素比較多，不僅涉及性別、年齡、教育程度，還需要考慮地區(qū)內人口的城鄉(xiāng)遷移以及地區(qū)間人口的遷移9.2數(shù)據(jù)的預處理9.2.1婦女人數(shù)與生育率 根據(jù)模型一修正生育率如表9-1所示：表9-1經(jīng)修正后的生育率（單位：‰）年齡15-19歲20-24歲25-29歲30-34歲35-39歲40-44歲45-49歲生育率0.07491.5534.5094.5101.6580.3850.1409.3模型建立9.3.1遷入遷出率的計算遷移人口數(shù)據(jù)涉及的因素比較多，不僅涉及性別，年齡，教育程度，還需要考慮地區(qū)內人口的城鄉(xiāng)遷移以及地區(qū)間人口的遷移。人口遷移是引起人口變動的重要因素，每年北京人口因其他省份人口的遷入增加，由遷入人口數(shù)抵消遷出人口數(shù)之后引起的人口變動，稱為凈遷移人數(shù)。對本問題來講，很明顯北京每年的凈遷人口大于0?，F(xiàn)設為北京市年歲女的凈遷移人數(shù)，于是有：設為當年出生的女孩的凈遷人數(shù)，則有：于是對整個的人口變動描述如下：具體從數(shù)據(jù)來看，近幾年，每年遷入北京的人口約占北京人口的4.8%，則在短時期內有：9.4模型求解2010年到2050年北京市人口變化表圖9-1所示圖9-2模型四預測北京市人口變化圖圖9-3模型四預測每年婦女貢獻值趨勢圖9-4模型四預測貢獻值累計情況圖9-5模型四預測北京市獨生女比例變化圖9-6模型四預測北京市獨生子女個數(shù)圖9-7模型四預測北京市勞動人口比例9.5結果分析從上面的結果，在不考慮遷入遷出地情況下，可以看出在未來的50年內，北京市的人口數(shù)量一直是下降的。從上面的結果可以看出，建立的模型過于簡單，僅考慮出生率和死亡率的影響。沒有考慮其他因素的影響，尤其是鄉(xiāng)村城鎮(zhèn)化和北京市遷入遷出地影響。對于北京市來說，有很大比例的人都是從其他省份去北京的。模型的優(yōu)點是大致預測出了以后人口的變化趨勢，說明北京市的人口在未來的50年，人口的總數(shù)會下降。10模型五的建立與求解10.1問題進一步分析在模型四中，未考慮遷入遷出問題，只是針對北京市考慮“單獨二孩”新政策，對北京市未來人口數(shù)量、結構及其對教育、勞動力供給與就業(yè)、養(yǎng)老等方面的影響。其實在人口問題中，對于北京市市來說，國家的城鎮(zhèn)化政策對人口數(shù)量的影響是很大的，由于市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口在北京市城鎮(zhèn)化進程中遷移流動量大，故必須把人口遷移考慮進去。這也是在考慮問題時不可忽略的一個重要因素。所以對模型做出以下的改進。10.2模型建立10.2.1市、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的差分方程模型由于市，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)村之間并不是相互獨立的，他們之間有著頻繁的人口流動，在實際問題中不能被忽視，下面我們在考慮人口遷移的情況下對上述模型進行改進?？紤]到在實際發(fā)生的人口遷移中多數(shù)由于貧富差距引起，我們在對模型進行改進時僅考慮鄉(xiāng)村、鎮(zhèn)、市的人口凈遷移人口量，可以看到鎮(zhèn)、市人口凈遷移量都為正。我們假設每年鄉(xiāng)村到城鎮(zhèn)的人口遷移數(shù)為上年人口總數(shù)的倍，注意到一個地區(qū)人口數(shù)量與經(jīng)濟發(fā)達程度有很大聯(lián)系，我們以市，鎮(zhèn)總人口的比例來分配鄉(xiāng)村到其人口遷移的數(shù)量。記為年齡所占比例。記，，分別為鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)，市在第年的總人口數(shù)，顯然滿足：，，由以上分析，第年鄉(xiāng)村1歲人口數(shù)量為：歲人口的數(shù)量應為：第年鎮(zhèn)的1歲人口數(shù)量為：歲人口的數(shù)量應為：第年市的1歲人口數(shù)量應為：歲的人口數(shù)量應為：于是我們可以得到在考慮人口遷移的情況下市，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)村的差分方程模型為：10.2.2市、鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的性別比模型從理論上，男女出生比例應該為1：1，根據(jù)北京市第6次人口普查數(shù)據(jù)，我國男女出生比例的實際情況是有差異的，生男孩比例普遍比生女孩高。我們應該對每一個孕齡婦女所生子女的性別加以區(qū)分，而不能籠統(tǒng)地概括為1：1，這樣可以更加精確地得到每個年齡男女比例的預測值。同時，由于城鎮(zhèn)化進程中，鄉(xiāng)村人口的遷移帶來了城鎮(zhèn)人口男女比例的變化。在這個過程中，我們也應該著重對性別因素進行考慮。以下，是對前面模型的修正，以期使模型對性別比例變化產(chǎn)生足夠的靈敏度。出生人口中女性所占比例，對人口的增長起著至關重要的作用，有必要對其數(shù)量進行單獨預測。為此，我們在模型四的基礎上分別設鄉(xiāng)村第年齡女性人口數(shù)量為，男性人口數(shù)量為，鎮(zhèn)第年齡女性人口數(shù)量為，男性人口數(shù)量為，市第年齡女性人口數(shù)量為，男性人口數(shù)量為，在遷移人口數(shù)量中女性所占比例為。根據(jù)所給鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)，市男女出生比例數(shù)據(jù)，進行數(shù)據(jù)的預處理，得到鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)，市出生人口中女性所占比例，記為。那么鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)，市女性第年0歲人口數(shù)量為：相應的男性第年0歲人口數(shù)量為：第年1到齡女性以及男性人口的預測只須分別用，替代模型四中的，并在遷入或遷出的人數(shù)前分別乘以遷移率或，以鄉(xiāng)村女性第年齡人口數(shù)預測為例，有：其他預測以此類推。10.3模型求解10.3.1模型參數(shù)的設定我們根據(jù)所建立模型，需要以下幾個輸入量：女性生育率，死亡率，每年鄉(xiāng)村到城鎮(zhèn)的人口遷移數(shù)為上年人口總數(shù)的倍數(shù)，假設鄉(xiāng)村到城鎮(zhèn)的人口遷移中女性所占比例和鄉(xiāng)鎮(zhèn)男女比例相同，各年齡人口的死亡率，出生人口中女性所占比例，總人口數(shù)；圖10-1城鎮(zhèn)人口變化圖10-2鄉(xiāng)村人口變化圖10-3城市人口變化圖10-4北京市總人數(shù)變化圖10-5勞動人口比例圖10-6撫養(yǎng)比圖10-7受教育人數(shù)10.4結果分析從上面的結果可以看出，北京市農(nóng)村人口近期會有所增加，2030年后達到峰值，和城鎮(zhèn)化趨勢相吻合，而城市和城鎮(zhèn)的總人口人口增加。勞動人口在2050年后會達到最低點，有所反彈。延遲退休年齡可使勞動人口所占比例的最低比例增加，但是后期效果依然不明顯，可見撫養(yǎng)比在2040年左右突破1，雖然2050年后會達到峰值，但是時間過長，工作生活壓力增加顯著。隨著新政策的開放，受教育人數(shù)增加，教育質量問題凸顯。11模型檢驗11.1模型一的檢驗模型二中2011年和2012年的數(shù)據(jù)是引用的國家統(tǒng)計局統(tǒng)計的的數(shù)據(jù)，而且在2010到2014年期間政策基本沒有改變，所以由灰度預測得到的2013和2014年數(shù)據(jù)相對來說比較準確。以此可以檢驗模型一數(shù)據(jù)的相對誤差。表11-1：模型一和模型二的誤差分析(單位：萬人)年份2011年2012年2013年2014年實際誤差2152198116281339相對誤差0.0150.0140.0110.09從表11-1中相對誤差的大小可以看出，建立模型一的預測值和實際值的誤差比較小，據(jù)此可以說建立的模型一時基本合理的，說明Leslie模型在解決此問題時，是適用的。11.2模型三的檢驗圖11-2不同生育意愿下的人口變化將不同的生育意愿水平以及政策不變的情況分別代入模型預測人口變化，可以看出不同的生育意愿水平對人口的總量影響不大，而相比政策不變的情況，實施單獨二孩能夠推遲人口峰值的到來，改善人口結構。根據(jù)模型求得的人口走勢，與專家研究報告的預測結果進行比較，人口高峰提前但遲于政策不變，人口峰值低，后期降幅大，這是我們模型計算結果的直觀特點，需要分別說明其中的原因。首先，人口高峰提前。由于存有二孩生育意愿的人口生育間隔普遍集中在4年的范圍內，且政策實行初期大量一孩婦女堆積，因此將會在8年之內誕生出全部二孩，產(chǎn)生大量的人口堆積之后的二孩貢獻值將有每年新誕生的一孩婦女其中的單獨家庭按照意愿產(chǎn)生二孩，每年新增一孩有限，單獨家庭比例在40%以下，生育意愿居于0.5~0.7之間，因此貢獻極少。其次，人口峰值低。由于模型的原因，為了利于編程計算，二孩貢獻值是平均分布在生育間隔中，因此不回出現(xiàn)急劇的人口堆積高峰，低于理論預測的人口峰值。最后，后期人口降幅大。人口的下降主要由出生率與死亡率決定，一方面，到了政策后期，前期誕生的大量二孩使?jié)M足單獨條件的家庭減少，二孩貢獻值減少，回到低生育率水平。且老齡化程度將提高，人口死亡率上升，兩者共同決定導致人口出現(xiàn)明顯的負增長。12模型評價12.1模型一的評價與改進：Leslie模型有較高的精度，對中長期預測較好,能很好的處理人口轉折時期的變化，適合中長期預測。改進的Leslie模型能在leslie的基礎上，并對育齡婦女求解生育率上進行了修正處理，進一步提高預測精度。但對于長期預測，所有模型都很難克服數(shù)據(jù)的缺失帶來的誤差，以及長期的發(fā)展還與諸多非自然因素有關，同時，隨著科技與醫(yī)療的進步，人口的死亡率也會有細微變化，這樣就很難其的預測準確度。于是我們提出與線性回歸結合的Leslie模型。首先對人口死亡率進行擬合，用線性回歸擬合得到更精確的估算，然后運用Leslie模型的到人口的發(fā)展趨勢，從而進一步提高預測精度。12.2模型二的評價與改進：本模型是對模型一預測數(shù)據(jù)進行校驗，灰度預測模型優(yōu)點是所需數(shù)據(jù)較少，計算簡單，模型思想已經(jīng)較為成熟。結果準確度較高。但是模型不能預測人口結構的變化，只能根據(jù)現(xiàn)有的人口數(shù)據(jù)對人口的數(shù)量進行預測。12.3模型三的評價與改進：本模型是在模型一的基礎上，通過對人類遺傳配子的研究，總結出人類配子的遺傳規(guī)律，從而建立模型，進而根據(jù)遺傳規(guī)律總結出單獨家庭的個數(shù)，進而得出單獨二孩對人口數(shù)量以及結構的影響，從而根據(jù)現(xiàn)有的人口基數(shù)，比較直觀的推測出人口的增長規(guī)律，預測人口增長。并且該模型對于研究短期，中長期，長期人口增長率都可以運用，但不足的是對于現(xiàn)在數(shù)據(jù)來說，單獨二孩政策推出以后，單獨二孩政策的反饋影響的大小無法確定。于是考慮實際情況中由于經(jīng)濟條件、個人理念、復雜的社會情況等原因，并不是所有的單獨家庭都有生二孩的意愿，因此加入生育意愿的計算。我們廣泛收集關于各地人們關于單獨二孩的生育意愿調查，發(fā)現(xiàn)由于單獨政策開放時間過短，關于其生育意愿的調查數(shù)據(jù)都出現(xiàn)樣本數(shù)量過少、統(tǒng)計方法不科學、沒有全國統(tǒng)一調查的缺點。而且各省市的生育意愿調查結果相差較大，總體表現(xiàn)為獨生子女比例高的地區(qū)意愿高，比例低的地區(qū)意愿低?；跀?shù)據(jù)置信水平較低的情況，我們引入預測區(qū)間的思想，取0.7為生育意愿的預測上限，取0.5為生育意愿的預測下限，因此取0.6為生育意愿的中值。設其值為，分別進行運算。12.4模型四的評價與改進：本模型是基于模型三對北京市的人口數(shù)量以及結構做一預測，因為對于北京來說，遷入遷出對北京市人口的影響比較大，所以在模型三的基礎上又添加了遷入遷出對北京市人口的影響。缺點是在模型四中沒有考慮城鎮(zhèn)化對北京市人口的影星，其實在人口問題中，對于北京市來說，國家的城鎮(zhèn)化政策對人口數(shù)量的影響是很大的，由于市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口在北京市城鎮(zhèn)化進程中遷移流動量大，故必須把城鎮(zhèn)化人口遷移考慮進去。這也是在考慮問題時不可忽略的一個重要因素。12.5模型五的評價與改進：本模型是基于模型四的改進處理，改進后的模型又新添的北京市城鎮(zhèn)化對北京市的人口以及結構的影響，改進后的模型可以對北京市人口及結構的變化有個更好的預測。而且模型中填入了政策影響遷入遷出的因子，使得北京市人口沒有無限增加。缺點：雖城市和城鎮(zhèn)的總人口數(shù)增加，但是城市人口減少，有悖事實，原因就是城市和城鎮(zhèn)的相互遷移率計算不夠準確，長期預測誤差較大。13模型推廣我們的模型不僅可以對預測進行較好的分析，而且對類似的評估預測等問題都能很好的解決。對現(xiàn)行的人口分布、人口數(shù)量、人口結構的變化趨勢提供了可參考的依據(jù)，對未來有了一個更好的把握。我們建立的改進模型是一個典型的預測模型，用來預測人口發(fā)展問題。此類問題很多，也有很多的推廣應用價值。這種用數(shù)學建模的方法來預測問題，即建立和求解所謂預測模型。雖然建模時要做適當?shù)暮喕赡苁沟媒Y果不一定完全可行或達到實際上的最匹配，但是它基于客觀規(guī)律和數(shù)據(jù)，又不需要多大的費用。如果在建模的基礎上再輔之以適當?shù)慕?jīng)驗和試驗，就可以得到針對于實際問題的一個比較圓滿的答案。在決策科學化、定量化的呼聲日益高漲的今天，這無疑是符合時代潮流和形勢發(fā)展需要的。14參考文獻[1]王廣州.單獨育齡婦女總量結構及變動趨勢研究王,2012，(3):9～18[2]陳文權，趙茲，李得勝.Leslie修正模型在人口預測中的應用.世界科技研究與發(fā)展,2008，30(2):219～224[3]第六次人口普查數(shù)據(jù)./tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm,2014-07-03[4]喬曉春.“單獨二孩”政策下新增人口測算方法及計測系統(tǒng)構建.人口與發(fā)展.2014,20(1):2～12[5]姜全保.孩次遞進生育指標和生育指標的調整.中國人口與科學.2006(5)15附錄附錄一模型二程序灰色預測程序functionSGreyX0=load('renkou.txt');%輸入原始數(shù)據(jù)n=length(X0);%原始n年數(shù)據(jù)%累加生成X1=zeros(1,n);fori=1:nifi==1X1(1,i)=X0(1,i);elseX1(1,i)=X0(1,i)+X1(1,i-1);endendX1%計算數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量YB=zeros(n-1,2);Y=zeros(n-1,1);fori=1:n-1B(i,1)=-0.5*(X1(1,i)+X1(1,i+1));B(i,2)=1;Y(i,1)=X0(1,i+1);endB,Y%計算GM(1,1)微分方程的參數(shù)a和uA=zeros(2,1);A=inv(B'*B)*B'*Y;a=A(1,1);u=A(2,1);a,u%建立灰色預測模型XX0(1,1)=X0(1,1);fori=2:nXX0(1,i)=(X0(1,1)-u/a)*(1-exp(a))*exp(-a*(i-1));endXX0%模型精度的后驗差檢驗e=0;%求殘差平均值fori=1:ne=e+(X0(1,i)-XX0(1,i));ende=e/n;eaver=0;%求歷史數(shù)據(jù)平均值fori=1:naver=aver+X0(1,i);endaver=aver/n;avers12=0;%求歷史數(shù)據(jù)方差fori=1:ns12=s12+(X0(1,i)-aver)^2;ends12=s12/n;s12s22=0;%求殘差方差fori=1:ns22=s22+((X0(1,i)-XX0(1,i))-e)^2;ends22=s22/n;s22C=s22/s12;%求后驗差比值Ccout=0;%求小誤差概率fori=1:nifabs((X0(1,i)-XX0(1,i))-e)<0.6754*sqrt(s12)cout=cout+1;elsecout=cout;endendP=cout/n;Pif(C<0.35&P>0.95)disp('預測精度為一級');m=input('請輸入需要預測的年數(shù):m=');%預測往后各年的負荷disp('往后m各年負荷為：');f=zeros(1,m);fori=1:mf(1,i)=(X0(1,1)-u/a)*(1-exp(a))*exp(-a*(i+n-1));endfelsedisp('灰色預測法不適用');endw=2013:(m+2012);figure(1);plot(w,f(1,:),'b-o')附錄二模型五程序clear;clc;load('matlab.mat');%加載函數(shù)load('Data.mat');%加載數(shù)據(jù)Hc=0.7;Hs=0.7;Ht=0.7;Lc=0.5;Ls=0.5;Lt=0.5;Mc=(Hc+Lc)/2;Ms=(Hs+Ls)/2;Mt=(Ht+Lt)/2;%生育意愿Nc=Mc;Ns=Ms;Nt=Mt;%選擇生育意愿Matt(16:50,1)=Mt/35;Mats(16:50,1)=Ms/35;Matc(16:50,1)=Mc/35;%由意愿決定的分年齡單獨家庭每年生育率矩陣ctr=0.0400;csr=0.0034;tcr=0.0005;tsr=0.0002;str=0.0003;scr=0.0052;%地區(qū)遷移率wcr=812847/335571192;wtr=59192/240586597;wsr=71966/2423999;%全國遷移率r=0.002;%政策影響遷入遷出系數(shù)(0<r<1)%%普通萊斯利方程遞推政策不變的人口結構Xbbc=111.46/(111.46+100);Xbbs=127.30/(127.30+100);Xbbt=109.73/(109.73+100);%性別比Livec=1-Diec;Lives=1-Dies;Livet=1-Diet;%存活率forGen=1:4Newc=Peoc.*Frc;News=Peos.*Frs;Newt=Peot.*Frt;Newc=sum(Newc(:,2));News=sum(News(:,2));Newt=sum(Newt(:,2));Peoc=[round(Newc*Xbbc),round(Newc*(1-Xbbc));Peoc.*Livec];Peos=[round(News*Xbbs),round(News*(1-Xbbs));Peos.*Lives];Peot=[round(Newt*Xbbt),round(Newt*(1-Xbbt));Peot.*Livet];Peoc(102,:)=[];Peos(102,:)=[];Peot(102,:)=[];Trace1(Gen)=Gen+2009;Tracec2(Gen)=sum(sum(Peoc));Traces2(Gen)=sum(sum(Peos));Tracet2(Gen)=sum(sum(Peot));endholdon%%由全國獨生子女比例算北京市獨生子女比例Peoc=round(Peoc);Duc=du./peo.*Peoc;Peos=round(Peos);Dut=du./peo.*Peot;Peos=round(Peos);Dus=du./peo.*Peos;%按全國人口比例計算獨生子女數(shù)%%計算2014年分年齡收益婦女人數(shù)Bayc=Babyc./10649;Bays=Babys./1573;Bayt=Babyt./791;Syagec(16:50,:)=cumsum(Bayc);Onebabc(16:50,:)=round(Syagec(16:50).*Peoc(16:50,2));Syages(16:50,:)=cumsum(Bays);Onebabs(16:50,:)=round(Syages(16:50).*Peos(16:50,2));Syaget(16:50,:)=cumsum(Bayt);%按年齡已生育一孩婦女比例Onebabt(16:50,:)=round(Syaget(16:50).*Peot(16:50,2));%各年齡已育一孩婦女人數(shù)fori=16:50Shouyic(i)=Dandu(Peoc(i,1),Peoc(i,2),Duc(i,1),Duc(i,2),Onebabc(i));Shouyis(i)=Dandu(Peos(i,1),Peos(i,2),Dus(i,1),Dus(i,2),Onebabs(i));Shouyit(i)=Dandu(Peot(i,1),Peot(i,2),Dut(i,1),Dut(i,2),Onebabt(i));%由獨生子女比例計算受益婦女比endShouyic=round(Shouyic');Shouyis=round(Shouyis');Shouyit=round(Shouyit');%%計算未來人口結構Xbbc1=106.12/(106.12+100);Xbbc2=145.28/(145.28+100);Xbbc3=233.33/(233.33+100);Xbbs1=118.06/(118.06+100);Xbbs2=161.70/(161.70+100);Xbbs3=650.00/(650.00+100);Xbbt1=110.69/(110.69+100);Xbbt2=97.81/(97.81+100);Xbbt3=280.00/(280.00+100);%性別比換算sumaddc=0;sumadds=0;sumaddt=0;forGen=1:50Sumc1=[];Sumc2=[];Sumc3=[];Sumc1(16:50,:)=Peoc(16:50,:).*Frc1;Sumc2(16:50,:)=Peoc(16:50,:).*Frc2;Sumc3(16:50,:)=Peoc(16:50,:).*Frc3;Sumc1=round(sum(Sumc1,2));Sumc2=round(sum(Sumc2,2));Sumc3=round(sum(Sumc3,2));Sums1=[];Sums2=[];Sums3=[];Sums1(16:50,:)=Peos(16:50,:).*Frs1;Sums2(16:50,:)=Peos(16:50,:).*Frs2;Sums3(16:50,:)=Peos(16:50,:).*Frs3;Sums1=round(sum(Sums1,2));Sums2=round(sum(Sums2,2));Sums3=round(sum(Sums3,2));Sumt1=[];Sumt2=[];Sumt3=[];Sumt1(16:50,:)=Peot(16:50,:).*Frt1;Sumt2(16:50,:)=Peot(16:50,:).*Frt2;Sumt3(16:50,:)=Peot(16:50,:).*Frt3;%政策不變時分年齡生育數(shù)量Sumt1=round(sum(Sumt1,2));Sumt2=round(sum(Sumt2,2));Sumt3=round(sum(Sumt3,2));%取整求和fori=16:50Dansc1(i,1)=Dandu(Peoc(i,1),Peoc(i,2),Duc(i,1),Duc(i,2),Sumc1(i));Danss1(i,1)=Dandu(Peos(i,1),Peos(i,2),Dus(i,1),Dus(i,2),Sums1(i));Danst1(i,1)=Dandu(Peot(i,1),Peot(i,2),Dut(i,1),Dut(i,2),Sumt1(i));%分年齡由受益婦女比例計算新增一孩中的單獨家庭婦女育子數(shù)endAddc=round(Shouyic.*Matc);Adds=round(Shouyis.*Mats);Addt=round(Shouyit.*Matt);%分年