2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

§4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

4.1直線與圓錐曲線的交點

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一直線與橢圓的交點

1.(2021浙江金華曙光學(xué)校階段考試)無論k為何值,直線y=kx+2和曲線

的交點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.1或2

2.(2020廣東云浮期末)直線1:y=kx+2與橢圓C：y+y2=l有公共點,則k的取值

范圍是.

2

3.(2020山東濰坊一中月考)經(jīng)過橢圓￡+y2=l的一個焦點作傾斜角為45°的直

線1,交橢圓于A,B兩點,設(shè)。為坐標(biāo)原點，則瓦？?OF=.

題組二直線與雙曲線的交點

22

4.(2021河北保定第三中學(xué)期中)直線y=kx(k>0)與雙曲線沒有交點,則k

26

的取值范圍為()

A.[~/+o°)B.(2,+8)

C.[V3,+OO)D.(0,V3)

5.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點，則實數(shù)k的

取值范圍是()

A.(-V2,-1)B.(1,V2)

C.(-V2,V2)D.(-1,1)

22

6.（2021江西南昌新建二中期中）過點P（4,3）與雙曲線?白=1只有一個公共點

的直線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

題組三直線與拋物線的交點

7.（2021江蘇南京天印高級中學(xué)調(diào)研）與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切

線方程為（）

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+l=0D.2x-y-l=0

8.（2020吉林長春外國語學(xué)校期中）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q,若過

點Q的直線1與拋物線有公共點，則直線1的斜率的取值范圍是（）

A.卜制B.[-2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

9.（多選）（2020江蘇淮安期末）與直線x+y-V2=0僅有一個公共點的曲線是（

A.x2+y2=lB.y+y2=l

C.x2-y2=lD.y2=x

10.（2020廣東佛山統(tǒng)考）過點（2,-1）的直線與拋物線y=x2只有一個公共點,這樣

的直線共有多少條？

能力提升練

題組一直線與圓錐曲線的交點

1.（2021重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)月考）斜率存在的直線1過點（0,-1）且與雙曲線

C:。-x2=l有且只有一個公共點，則直線1的斜率為（）

4

A.±V3B.±2

C.2或8D.土遮或±2

2.點P在直線l:y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A,B兩點，且

|PA|=|AB|,則稱點P為“A點”，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A,直線1上的所有點都是“A點”

B,直線1上僅有有限個點是“A點”

C,直線1上的所有點都不是“A點”

D.直線1上有無窮多個點（不是所有的點）是“A點”

3.侈選）（2020山東德州期末）若原點0到直線1的距離小于1,則直線1與下列

曲線一定有公共點的是（）

A.y=x2-2B.（x-l）'+y2=l

C.y+y-1D.x2-y2=l

4.設(shè)拋物線C:yMx的焦點為F,直線1過點M（2,0）且與C交于A,B兩點，|BF|=|,

若|制=人|BM|,則入=（）

A.-B.2C.4D.6

2

5.若直線mx-ny=4與圓x2+y2=4沒有交點,則過點P（m,n）的直線與橢圓=1的

94

交點個數(shù)是

6.(2021中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F的

直線交拋物線于A,B兩點,若存=2而,則點A的坐標(biāo)為.

7.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F作直線1交拋物線于A,B兩點，點

若直線MA,MB的斜率分別為L,k2,貝ijk,+k2=.

8.(2020福建漳州期末)已知雙曲線E的兩個焦點分別為件(-2,0),E(2,0),并且

E經(jīng)過點P(2,3).

⑴求雙曲線E的方程；

(2)過點M(0,1)的直線1與雙曲線E有且僅有一個公共點，求直線1的方程.

9.已知橢圓C:^+^=1(a>b>0)的左焦點F(-2,0),上頂點B(0,2).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點M,N,且線段MN的中點G在圓x2+y2=l

上，求m的值.

題組二與交點有關(guān)的最值（或范圍）問題

10.已知雙曲線三-。=1的右焦點為F,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有

124

一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是（）

L

V3一,y]B.[-V3,V3]

Ac.L3

@

/

f3

vD.（-V3,V3）

11.（2021江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)期中）已知雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為F,若過點

F且傾斜角為60°的直線1與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離

心率e的取值范圍是（）

A.[2,+8)B.(1,2)

C.(2,+8)D.(1,2]

12.若點（%n）在橢圓9x2+*9上,貝哈的最小值為（）

D26rV3八3^2

AD.-----C.--U.一--------

.當(dāng)324

13.（2022重慶第八中學(xué)校月考）已知圓x2+y2=4與x軸的交點分別為A,B,點P是

直線1:y=-x+6上的任意一點,橢圓C以A,B為焦點且過點P,則橢圓C的離心率

e的取值范圍為（

A.B-(OT

C.

國）叱，1)

14.（2020江西省重點中學(xué)聯(lián)考）已知直線y=kx-l與焦點在x軸上的橢圓

22

亡一+卷口（b>。）總有公共點,則橢圓C的離心率的取值范圍是

4b2--------

22

15.（2021黑龍江省實驗中學(xué)期中）點M是橢圓高+\=1上的任意點,則點M到直線

x+y-7=0的距離的最大值為.

16.（2021江蘇南京金陵中學(xué)月考）阿基米德（公元前287年一公元前212年）不僅

是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以

圓周率JI等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，

橢圓C：g+^=l（a>b>0）的面積為2V3n,兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角

形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點P（l,0）的直線1與C交于不同的兩點A,B,求AOAB面積的最大值.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.D因為直線y=kx+2過定點（0,2）,且橢圓三+：=1的上頂點也為（0,2）,所以當(dāng)

94

直線的斜率為0時,直線與橢圓相切,僅有一個交點；當(dāng)直線的斜率不為零（或不

存在）時,直線與橢圓有兩個交點.故選D.

2.答案（-8,-日U償茶8）

32

三+y2=1,消去丫，并整理得（2k2+i）x2+8kx+6=0.

（y=kx+2,

因為直線1與橢圓C有公共點，

所以A=（8k）-24（2k2+l）^0,

解得kN當(dāng)或kW-日.

故答案為（-8,-闿U

3.答案4

解析若直線1經(jīng)過橢圓的右焦點（1,0）,則其方程為y=x-1,代入橢圓方程

y+y2=l,并整理得3X2-4X=0,解得x=0或x=p所以兩個交點的坐標(biāo)分別為（0,-

i),所以a-詁=q；同理,若直線1經(jīng)過橢圓的左焦點，也可得彼-05=-

綜上所述,0A?0^=-|.

4.C解法一：由［上工:1得6-9卜2=1,由題知此方程無實數(shù)解,則］?W0,解

(26—

得kW-百或k^V3.又k>0,所以k^V3.故選C.

解法二:如圖，

雙曲線的漸近線方程為y=±V3x,若直線y=kx(k>0)與雙曲線沒有交點，則k^V3.

5.D當(dāng)直線1:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的漸近線y=±x平行時,k=±1,此時，

直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點，如圖所示：

y二f

因為直線l：y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點，所以實數(shù)k

的取值范圍為故選D.

6.B因為雙曲線的方程為三白1,所以a=4,b=3,其漸近線方程為y=±fx,易知

1694

點P(4,3)在直線y=1x上,如圖所示：

4

當(dāng)過點P(4,3)的直線與直線y=4x平行或與x軸垂直(過右頂點)時,與雙曲線只

4

有一個公共點，

所以這樣的直線有2條.故選B.

7.D因為切線與直線2x-y+4=0平行,所以可設(shè)切線方程為2x-y+m=O(m/4),聯(lián)

立方程『"J\m=°,消去y得x2-2x-m=0,所以△=4+4m=0,解得m=-l,所以切線

方程為2x-y-l=0,故選D.

8.C因為y2=8x,所以Q(-2,0).

由題意可知直線1的斜率存在，

設(shè)直線1的方程為y=k(x+2).

當(dāng)k=0時,滿足題意；

當(dāng)kWO時，因為1與拋物線有公共點，

所以方程組y=曹二“有解，

(y=k(x+2)

即k2x2+(4k-8)x+4k=0有解，

所以A=(4k2-8)2-16k4^0,即k2^l,所以TWkWl,故選C.

9.ACA.易得圓心(0,0),半徑r=l,因為圓心(0,0)到直線x+y-V2=0的距離

d=^l=r,所以直線和圓相切,所以僅有一個公共點,符合題意;B.聯(lián)立

(x+y-V2=0,

\X27消去y,可得3X2-4/X+2=0,所以△1=32-24=8>0,所以直線與橢圓

ly+y2=1，

有兩個交點，不符合題意;C.因為x2-y2=l的漸近線方程為y=±x,所以直線x+y-

V2=0平行于漸近線且不與漸近線重合,所以直線x+y-V2=0與雙曲線僅有一個公

共點,符合題意;D.聯(lián)立卜2+/-/二0'消去x,可得y2+y-V2=0,所以△2=1+4企＞0,

y=x,

所以直線與拋物線有兩個交點，不符合題意.故選AC.

10.解析①當(dāng)過點(2,-1)的直線的斜率不存在時,直線方程為x=2,與拋物線

y=x?有且只有一個交點.

②當(dāng)過點(2,-1)的直線的斜率存在,且與拋物線相切時,直線與拋物線只有一個

網(wǎng)”2)，消去y得2-+2k+l=0,則

交點，設(shè)直線方程為y+l=k(x-2),xkx

△=k2-4(2k+l)=0,解得k=4±2a即過點(2,-1)的切線有2條.

綜上,過點(2,-1)且與拋物線y=x2有且只有一個交點的直線共有3條.

易錯警示直線與拋物線只有一個公共點包括兩種情況，一種是與拋物線相切,

另一種是與拋物線的對稱軸平行.

能力提升練

1.D由題意,設(shè)直線1的方程為y=kx-l,代入雙曲線方程，化簡可得MT”?-

2kx-3=0,當(dāng)k=4,即k=±2時-，Ik?-4)x2-2kx-3=0只有一解,滿足直線1與雙曲線

有且只有一個公共點；當(dāng)k#±2時-,令A(yù)=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±8,此時方

程有兩個相等的實數(shù)根,滿足直線1與雙曲線有且只有一個公共點.綜上,k=±2

或k=±V3.故選D.

2.A如圖，

l:y=x-1

設(shè)點A,P的坐標(biāo)分別為(m,n),(x,x-1),

則點B的坐標(biāo)為(2m-x,2n-x+l).

IA,B在拋物線y=x2±,

.(n=m2,

''[2n-x+1=(2m-x)2,

消去n,并整理得x'(4m-l)x+2m"-1=0①，

△=(4m-1)-4(2m-1)=8m-8m+5>0恒成立,

???方程①恒有實數(shù)解,故選A.

3.AC原點(0,0)到直線1的距離小于1,故直線1一定經(jīng)過圓x2+y2=l內(nèi)的點，如

圖所示.故與直線1一定有公共點的曲線是A,C,故選AC.

4.C由題意得拋物線的焦點為F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=T,由|BF|=|及拋物線的

定義知點B的橫坐標(biāo)為點代入拋物線方程得B(|,±V2),根據(jù)拋物線的對稱性,不

，2J2

妨取則1的方程為y=^(x-2),聯(lián)立y=丁(X-2),得A(8,4-，則

y2=4x

|AM|=2g,|BM|=孚于是人=黑=4,故選C.

2\BM\

5.答案2

解析由題意知，圓心(0,0)到直線mx-ny-4=0的距離d=7七>2,整理得

22

m2+n2<4,所以P(m,n)在以(0,0)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)，又因為橢圓三+一=1中

a=3,b=2,所以P(m,n)在橢圓內(nèi)，所以過點P(m,n)的直線與橢圓三+。=1有2個交

94

點.

6.答案(2,±2V2)

解析由題意可知,拋物線的焦點為F(l,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+l,由

仁=T+1'消去x得產(chǎn)4my+。,

V=4x,

設(shè)A(xi,y,),B(x2,y2)，:.yi+y2=4m,yiy2=-4,

???族=2麗，.??-％=2y2,即丫2二-多，???yiyz二一qy廣-4,解得y尸，xi二受二2,點

224

A的坐標(biāo)為⑵2V2)或(2,-2a).

7.答案-2

解析由題知Fg,0).設(shè)直線1的方程為x=my+*將其與拋物線的方程y2=2px聯(lián)

22

立，消去x并整理，得y-2pmy-p=0.設(shè)A(xbyj,B(x2,y2),則%y2Ap：所以

2

k]+k「yi-P?J2-P_2P(yi-p)j2p(y2-P)_2P(yi-p)?2P(丫2￥)_2P.y2-p\2p/J__

322

,X1+7x2+12pxr+p2px2+pyl-y-i.y2寵-y/2丫r為Vyi丫2)yi，21丫2

功也=—2.

rc=2,

v2-,24Q

.解析⑴設(shè)雙曲線的方程為則解得

8E(a>0,b>0),uo’=1,

<c2=a2+b2,

Fl=?所以雙曲線E的方程為x2-^=l.

lb"=3,3

(y=kx+1,

⑵顯然直線1的斜率存在,則設(shè)直線1的方程為y=kx+l,聯(lián)立2y21得(3-

5==1

k2)x2-2kx-4=0(*),當(dāng)3-k2=0,即k=百或k=S時,方程(*)只有一解,直線1與雙

曲線E有且僅有一個公共點,此時,直線1的方程為y=±V3x+l.當(dāng)3-kVO,即

kW土遮時，要使直線1與雙曲線E有且僅有一個公共點，則A=(-2k)2-4(3-

k2)X(-4)=0,解得k=±2,此時，直線1的方程為y=±2x+L

綜上所述,直線1的方程為y=±V3x+l或y=±2x+l.

易錯警示解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲

線的方程消元得到的方程是不是一元二次方程，即二次項系數(shù)是不是0.直線與雙

曲線只有一個公共點包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況.

9.解析⑴由題意可得c=2,b=2,由a2++c2得a2=22+22=8,

22

故橢圓C的方程為？+一=1.

84

(2)設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為(xbyj,y2),線段MN的中點G(x。,y0),

y=x+m,

X2y2消去y得3x2+4mx+2m2-8=o,貝0A=96-8m2>0,所以一2g<m<2g,

----1----=1

{84

myr.,4mrrHix±+x22m,m

因為Xi+X2=—,所以Xo=-2-yo=Xo+m=y,

又因為點G(x。,y。)在圓x2+y2=l上，

所以(號)Y斗

解得m=±哈滿足-2日m<2g,

所以m的值為土言.

10.A雙曲線二學(xué)1的漸近線方程是y=土"x,右焦點為F(4,0).當(dāng)過點F的直

1243

線與雙曲線的兩條漸近線平行時,與雙曲線的右支有且只有一個交點，那么斜率

故選A.

11.A若直線1與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小

于或等于漸近線的斜率的絕對值〉..”=亨三4,'eA.故選A.

12.D求弋的最小值即求點(m,n)與點(3,0)連線的斜率的最小值,設(shè)過點(m,n)

m-3

(y=k(%-3),

和點⑶0)的直線方程為y=k(x-3),聯(lián)立2y2(9+k2)x2-6k2x+9(k2-l)=0,

z

(lxH——9=1

易知當(dāng)A=0時，直線斜率取最小值，即A=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-l)]=0=k22故

8

當(dāng)k=-平時,斜率取最小值,即9的最小值為-乎.故選D.

4m-34

13.B由題可知c=2,不妨設(shè)A(-2,0),B(2,0),由P是直線1上的點,可知P到A、

B兩點距離之和的最小值為B關(guān)于直線1的對稱點B'與A的距離，

—=1_.

設(shè)B'(m,n),可得；：+2解得匕=2所以B'(6,4),所以

71十u=_m十/1$1m=6,

22'

IAB'|力(6+2)2+(4-0)2=4遍,所以橢圓的長軸長2a=4遙,所以a的最小值為

2遍，

所以橢圓的離心率的最大值為親=?,故橢圓C的離心率e的取值范圍為(0,?]

故選B.

14.答案(0當(dāng)

解析因為橢圓C的焦點在x軸上，所以故4,

因為b>0,所以0<b<2.

因為直線y=