2019年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷含解析

2019年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且

只有一個(gè)是正確的）

1.（3分）（2019?隨州）-3的絕對(duì)值為（）

A.3B.-3C.±3D.9

2.（3分）（2019?隨州）地球的半徑約為6370000加，用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.637X10%B.63.7X105mc.6.37X106/MD.6.37X107/M

3.（3分）（2019?隨州）如圖，直線〃〃12,直角三角板的直角頂點(diǎn)C在直線上，一銳角

頂點(diǎn)3在直線/2上，若Nl=35°,則N2的度數(shù)是（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

4.（3分）（2019?隨州）下列運(yùn)算正確的是（）

A.4m-m—4B.（a2）3—a5

C.（x+y）2=/+y2D.-（r-1）=\-t

5.（3分）（2019?隨州）某校男子籃球隊(duì)10名隊(duì)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃練習(xí)，每人投籃10次，他

們投中的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表:

投中次數(shù)35678

人數(shù)13222

則這些隊(duì)員投中次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）

A.5,6,6B.2,6,6C.5,5,6D.5,6,5

6.（3分）（2019?隨州）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積為（）

A.2nB.37iC.4TlD.5n

7.（3分）（2019?隨州）第一次“龜兔賽跑”，兔子因?yàn)樵谕局兴X而輸?shù)舯荣?，很不服?

決定與烏龜再比一次，并且驕傲地說，這次我一定不睡覺，讓烏龜先跑一段距離我再去

追都可以贏.結(jié)果兔子又一次輸?shù)袅吮荣悾瑒t下列函數(shù)圖象可以體現(xiàn)這次比賽過程的是

8.（3分）（2019?隨州）如圖，在平行四邊形ABC。中，E為的中點(diǎn)，BD,AE交于點(diǎn)

。，若隨機(jī)向平行四邊形ABC。內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）

161286

9.（3分）（2019?隨州）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：生值=

2M

野熙生竺=7+4會(huì)，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一

（2飛）（2+北）

些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對(duì)于43+A/^-4設(shè)x=Y3+A/"^-易知Y3+A/^

>Y故x>0,由2=（V3+Vs~V3^/5）2=3+A/S+3-Vs~2A/（3+A/5）（3-^5）

=2,解得x=亞，即底后-后粕=血.根據(jù)以上方法，化簡阻”+后荻

V3+V2

-16+3J5后的結(jié)果為（）

A.5+3加B.5-H/6C.5-76D.5-3企

10.（3分）（2019?隨州）如圖所示，己知二次函數(shù)>=0?+灰+。的圖象與x軸交于A,8兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OA=OC,對(duì)稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論：①必c<0；②吟吟c

=0；③ac+6+l=0；④2+c是關(guān)于尤的一元二次方程ar2+fcv+c=0的一個(gè)根.其中正確

的有（）

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡

對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）

11.（3分）（2019?隨州）計(jì)算：（Tt-2019）0-2cos60°=.

12.（3分）（2019?隨州）如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，點(diǎn)C在優(yōu)弧篇上，若/。區(qū)4=50°,

13.（3分）（2019?隨州）2017年，隨州學(xué)子尤東梅參加《最強(qiáng)大腦》節(jié)目，成功完成了高

難度的項(xiàng)目挑戰(zhàn)，展現(xiàn)了驚人的記憶力.在2019年的《最強(qiáng)大腦》節(jié)目中，也有很多具

有挑戰(zhàn)性的比賽項(xiàng)目，其中《幻圓》這個(gè)項(xiàng)目充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力.如圖是一個(gè)最簡

單的二階幻圓的模型，要求：①內(nèi)、外兩個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑

上的四個(gè)數(shù)字之和相等，則圖中兩空白圓圈內(nèi)應(yīng)填寫的數(shù)字從左到右依次為

和

4

w

14.（3分）（2019?隨州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,

0）,點(diǎn)A在x軸正半軸上，且AC=2.將△ABC先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向左平移

3個(gè)單位，則變換后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

外

B

OCAx

15.（3分）（2019?隨州）如圖，矩形OA8C的頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上，D

為AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=K（左＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)。，且與8c交于點(diǎn)E,連接。￡）,

x

OE,DE,若△ODE的面積為3,則左的值為.

16.（3分）（2019?隨州）如圖，已知正方形ABCD的邊長為a,E為CO邊上一點(diǎn)（不與端

點(diǎn)重合），將沿AE對(duì)折至△APE,延長EF交邊于點(diǎn)G,連接AG,CF.

給出下列判斷：

?Z￡AG=45°；

②若。E=LZ,貝I」AG〃CF；

3

③若E為C。的中點(diǎn)，貝也3尸。的面積為」_/；

10

④若CF=FG,則DE=（V2-I）a；

⑤BG，DE+AF?GE=）.

其中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號(hào)）

三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過

程）

17.（5分）（2019?隨州）解關(guān)于龍的分式方程：2=上.

3+x3-x

18.（7分）（2019?隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程7-（2A+1）尤+F+l=0有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根XI,XI.

（1）求k的取值范圍；

（2）若XI+X2=3,求左的值及方程的根.

19.（10分）（2019?隨州）“校園安全”越來越受到人們的關(guān)注，我市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就

校園安全知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，

繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息回答下列問題：

扇形統(tǒng)計(jì)圖條形統(tǒng)計(jì)圖

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解很少”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為；

（3）若該中學(xué)共有學(xué)生1800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該學(xué)校學(xué)生中對(duì)校園

安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為人；

（4）若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人

參加校園安全知識(shí)競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生

的概率.

20.（8分）（2019?隨州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A,8同時(shí)收到某事故漁船的

求救訊息，已知此時(shí)救助船2在A的正北方向，事故漁船尸在救助船A的北偏西30°方

向上，在救助船8的西南方向上，且事故漁船尸與救助船A相距120海里.

（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離；

（2）若救助船A,8分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往

事故漁船P處搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá).

21.（9分）（2019?隨州）如圖，在△ABC中，AB^AC,以A8為直徑的O。分別交AC,

BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)尸在AC的延長線上，且NA4c=2NC2F.

（1）求證：8尸是的切線；

（2）若O。的直徑為3,sin/C8P=也，求BC和8尸的長.

3

22.（11分）（2019?隨州）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產(chǎn)量p

（百千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）滿足函數(shù)關(guān)系式°=氏+8,從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn)，

該半成品食材每天的市場需求量q（百千克）與銷售價(jià)格無（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，

部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

銷售價(jià)格X（元/24...10

千克）

市場需求量q（百1210...4

千克）

已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格尤不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接寫出q與龍的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)每天的產(chǎn)量小于或等于市場需求量時(shí)，這種半成品食材能全部售出，而當(dāng)每天的

產(chǎn)量大于市場需求量時(shí)，只能售出符合市場需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質(zhì)

期短而只能廢棄.

①當(dāng)每天的半成品食材能全部售出時(shí)，求X的取值范圍；

②求廠家每天獲得的利潤y（百元）與銷售價(jià)格X的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)x為元/千克時(shí)，利潤y有最大值；若要使每天的利潤

不低于24（百元），并盡可能地減少半成品食材的浪費(fèi)，則尤應(yīng)定為元/千克.

23.（10分）（2019?隨州）若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為相，"，我們可將這個(gè)

兩位數(shù)記為三，易知亟=10m+如同理，一個(gè)三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如其

=100a+106+c.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）解方程填空：

①若云+羨=45,貝壯=；

②若7V-y8=26,則y=；

③若福+京=13tl，則，=；

【能力提升】

（2）交換任意一個(gè)兩位數(shù)mn的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，可得到一個(gè)新數(shù)nir，則mn+nir一

定能被_______整除，ran-nir一定能被_______整除，iun,rur-mn一定能被_______整除；

（請從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）

【探索發(fā)現(xiàn)】

（3）北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引

力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛.數(shù)學(xué)中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個(gè)三

位數(shù)，要求個(gè)、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字按大小重新排列，

得出一個(gè)最大的數(shù)和一個(gè)最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個(gè)新數(shù)（例

如若選的數(shù)為325,則用532-235=297）,再將這個(gè)新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，

像這樣運(yùn)算若干次后一定會(huì)得到同一個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”.

①該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為;

②設(shè)任選的三位數(shù)為?。ú环猎O(shè)a>6>c）,試說明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù).

24.（12分）（2019?隨州）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y^ax^+bx+c

與y軸交于點(diǎn)A（0，6）,與x軸交于點(diǎn)8（-2,0）,C（6,0）.

（1）直接寫出拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

（2）如圖2,連接AB,AC,設(shè)點(diǎn)尸（加，”）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且

在對(duì)稱軸右側(cè)，過點(diǎn)尸作POLAC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)尸作PG〃A3交AC于

點(diǎn)R交x軸于點(diǎn)G.設(shè)線段。G的長為4,求d與機(jī)的函數(shù)關(guān)系式，并注明機(jī)的取值

范圍；

(3)在(2)的條件下，若△PDG的面積為尊，

12

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)M為直線AP上一動(dòng)點(diǎn)，連接交直線AC于點(diǎn)S,則點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，在拋

物線上是否存在點(diǎn)R,使得AARS為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M及其對(duì)

2019年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且

只有一個(gè)是正確的）

1.（3分）（2019?隨州）-3的絕對(duì)值為（）

A.3B.-3C.±3D.9

【解答】解：-3的絕對(duì)值為3,

即|-3|=3.

故選：A.

2.（3分）（2019?隨州）地球的半徑約為6370000加，用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.637X10%B.63.7X105加c.6.37X106mD.6.37X107m

【解答】解：6370000機(jī)，用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是6.37XKAW,

故選：C.

3.（3分）（2019?隨州）如圖，直線〃〃12,直角三角板的直角頂點(diǎn)C在直線A上，一銳角

頂點(diǎn)2在直線/2上，若Nl=35°,則N2的度數(shù)是（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【解答】解：如圖，：/1+/3=90°,Zl=35°,

.,.Z3=55°.

又：直線〃〃12,

；.N2=N3=55°.

故選：B.

A

4.（3分）（2019?隨州）下列運(yùn)算正確的是（）

A.4m-m=4B.（a2）3=a5

C.（x+y）2=/+y2D.-（r-1）=1-t

【解答】解：A、4m-m=3m,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、（/）3=不，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、（x+y）2—r+1xy+y1,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、-（Z-1）—1-正確.

故選：D.

5.（3分）（2019?隨州）某校男子籃球隊(duì)10名隊(duì)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃練習(xí)，每人投籃10次，他

們投中的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：

投中次數(shù)35678

人數(shù)13222

則這些隊(duì)員投中次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）

A.5,6,6B.2,6,6C.5,5,6D.5,6,5

【解答】解：在這一組數(shù)據(jù)中5是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是5；

處于中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（6+6）+2=6,那么由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)是6.

平均數(shù)是：（3+15+12+14+16）4-10=6,

所以答案為：5、6、6,

故選：A.

6.（3分）（2019?隨州）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積為（）

A.2nB.3nC.4TlD.5n

【解答】解：根據(jù)三視圖可得這個(gè)幾何體是圓錐，

底面積=TTX12=n，

側(cè)面積為=n?3=3ir,

則這個(gè)幾何體的表面積=Tt+3Tt=4it；

故選：C.

7.（3分）（2019?隨州）第一次“龜兔賽跑”，兔子因?yàn)樵谕局兴X而輸?shù)舯荣?，很不服?

決定與烏龜再比一次，并且驕傲地說，這次我一定不睡覺，讓烏龜先跑一段距離我再去

追都可以贏.結(jié)果兔子又一次輸?shù)袅吮荣?，則下列函數(shù)圖象可以體現(xiàn)這次比賽過程的是

（）

心（路程）心（路程）

U2LZ

A.°t（時(shí)間）B.°t（時(shí)間）

As（路程）A—s（路程）

C.°t（時(shí)間）D.°t（時(shí)間）

【解答】解：由于烏龜比兔子早出發(fā),而早到終點(diǎn)；

故8選項(xiàng)正確；

故選：B.

8.（3分）（2019?隨州）如圖，在平行四邊形A8CD中，E為的中點(diǎn)，BD,AE交于點(diǎn)

。，若隨機(jī)向平行四邊形ABC。內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）

C.1D.

86

【解答】解：為BC的中點(diǎn),

.BE1

??--Z：--，

AD2

.BO=OEBOJ_

"0D而出而與

S/\BOE=—S/^AOB>S/\AOB=—S^ABD）

23

SABOE=—SAABD=ABCD,

612

米粒落在圖中陰影部分的概率為

故選：B.

9.(3分)(2019?隨州)“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：生@=

2^/3

棄感之翼_=7+46，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一

(2-V3)(2+V3)

些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如：對(duì)于J3+泥-設(shè)x=43+疾-易知［3+代

＞、故尤＞0,由7=(yj3+A/5-V3^\/5)2—3+V5+3-、后-24(3+V^)

=2,解得了=、耳，即盛麗-區(qū)后='歷.根據(jù)以上方法，化簡噌二"+后荻

V3+V2

-J6+36后的結(jié)果為()

A.5+3加B.5+76C.5-泥D.5-3企

【解答】解：設(shè)了=后皿-再原,且巧忘后＞后荻,

.".x<0,

.,.?=6-3M-2A/（6-3V3）（6+3V3）+6+3V3.

.,.?=12-2X3=6,

.,.x—~V6>

VV3W2=5_2娓,

V3+V2

原式=5-2退_捉

=5-3遙，

故選：D.

10.（3分）（2019?隨州）如圖所示，已知二次函數(shù)丫=0?+法+<?的圖象與x軸交于A,2兩

點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OA=OC,對(duì)稱軸為直線x=l,則下列結(jié)論：?abc<0；②嗎丐

=0；③ac+6+l=0；④2+c是關(guān)于x的一元二次方程以2+b尤+c=。的一個(gè)根.其中正確

的有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：???拋物線開口向下，

??4*^0,

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=--=1,

2a

??b~~~2〃>0,

,/拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

.,.c>0,

abc<0,所以①正確；

■:b=-la,

??Q+——b~~a—a~~0,

2

Vc>0,

:?>o,所以②）錯(cuò)誤；

VC（0,c）,OA=OC,

A(-c,0),

S5A(-c,0)代入y=a??+bx+c得ac2-bc+c=0,

?'?ac-1+1=0,所以③錯(cuò)誤；

VA(-c,0),對(duì)稱軸為直線x=l,

：.B(2+c,0),

2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，所以④正確;

故選：B.

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡

對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）

11.（3分）（2019?隨州）計(jì)算：（it-2019）0-2cos60°=0.

【解答】解：原式=1-2義工=1-1=0,

2

故答案為：0

12.（3分）（2019?隨州）如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上，點(diǎn)C在優(yōu)弧窟上，若/O8A=50°,

則NC的度數(shù)為40°.

【解答】解：：04=08,

：.ZOAB=ZOBA=50°,

/.ZAOB=180°-50°-50°=80°,

：.ZC=^ZAOB=40°.

2

故答案為40。.

13.（3分）（2019?隨州）2017年，隨州學(xué)子尤東梅參加《最強(qiáng)大腦》節(jié)目，成功完成了高

難度的項(xiàng)目挑戰(zhàn)，展現(xiàn)了驚人的記憶力.在2019年的《最強(qiáng)大腦》節(jié)目中，也有很多具

有挑戰(zhàn)性的比賽項(xiàng)目，其中《幻圓》這個(gè)項(xiàng)目充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力.如圖是一個(gè)最簡

單的二階幻圓的模型，要求：①內(nèi)、外兩個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑

上的四個(gè)數(shù)字之和相等，則圖中兩空白圓圈內(nèi)應(yīng)填寫的數(shù)字從左到右依次為」和

9.

8

【解答】解：設(shè)圖中兩空白圓圈內(nèi)應(yīng)填寫的數(shù)字從左到右依次為a,b

???外圓兩直徑上的四個(gè)數(shù)字之和相等

4+6+7+8=。+3+6+11①

???內(nèi)、外兩個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和相等

3+6+6+7=。+4+11+8②）

聯(lián)立①②解得：a=2,b=9

圖中兩空白圓圈內(nèi)應(yīng)填寫的數(shù)字從左到右依次為2,9

故答案為：2；9.

14.（3分）（2019?隨州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為△ABC的直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,

0）,點(diǎn)A在x軸正半軸上，且AC=2.將△ABC先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向左平移

3個(gè)單位，則變換后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,2）.

【解答】解：：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,AC=2,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,

如圖所示，將先繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1,2）,

再向左平移3個(gè)單位長度，則變換后點(diǎn)A'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,2）,

故答案為：（-2,2）.

15.（3分）（2019?隨州）如圖，矩形OA8C的頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上，D

為AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=k（%>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與交于點(diǎn)E,連接?！辏?

X

OE,DE,若△O0E的面積為3,則無的值為4.

【解答】解：???四邊形OCBA是矩形，

：.AB=OC,OA=BC,

設(shè)3點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則E的坐標(biāo)為E(a,—

a

?；D為AB的中點(diǎn)，

：.D(L,b)

2

E在反比例函數(shù)的圖象上，

■?kr

2

SAODE-S矩形。CBA-S^AOD-SAOCE-S^BDE-ab--k-—k----)=3,

2222a

ab-^-k-^-k-Lab+^-k^3,

2244

解得:k=4,

故答案為：4.

16.(3分)(2019?隨州)如圖，已知正方形A8CD的邊長為a,E為CD邊上一點(diǎn)(不與端

點(diǎn)重合)，將△AOE沿AE對(duì)折至△AFE,延長EP交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.

給出下列判斷：

①/￡AG=45。；

②若?！?呆則AG〃CB

③若E為CD的中點(diǎn)，則4G尸C的面積為工廣；

10

④若CF=FG,則DE=(A/2-1)a；

⑤>GE=/.

其中正確的是①②⑷⑸.(寫出所有正確判斷的序號(hào))

AD

【解答】解：①???四邊形ABCD是正方形，

.\AB=BC=AD=a,

???將△A0E沿AE對(duì)折至△AfK

AZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=ABfEF=DE,/DAE=/FAE,

在RtAABG和RtAAFG中1AB二人「,

IAG=AG

RtAABG^RtAAFG（HL）,

：.ZBAG=ZFAG,

：.ZGAE^ZGAF+ZEAF=LX90°=45。，故①正確；

②：.BG=GF,NBGA=NFGA,

設(shè)8G=GF=x,'：DE=^a,

3

：.EF=^a,

3

??CG=〃-Xj

在RtZiEGC中，EG=_r+L,CE=Z,由勾股定理可得（x+1。）2=?+（2。）2

3333

解得尤=!小此時(shí)BG—CG——a,

22

GC=GB=L,

2

：.ZGFC=ZGCF,

且/BGF=ZGFC+ZGCF=2ZGCF,

：.2ZAGB=2ZGCF,

：./AGB=NGCF,

：.AG//CF,

②正確；

③若E為CD的中點(diǎn)，則DE=CE=EF=LQ,

設(shè)BG=GF=y,貝ICG=a-y,

CG2+CE2=￡G2,

即(a-y)2+(ya)2=(ya+y)2)

解得，y=L,

3

BG—GF~^~CG~ci~

333

上

.GF_Ta_2

"EG^1

Ta^a

?2c211212

,,ScACFG^SACEG^XY7XY7aXv7a^Ja，

故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)CF=FG,則/BGC=/FCG,

ZFGC+ZFEC^ZFCG+ZFCE=90°,

:./FEC=NFCE,

：.EF=CF=GF,

：.BG=GF=EF=DE,

：.EG=2DE,CG=CE=a-DE,

；.&CE=EG,即&(a-DE)=2DE,

:.DE=(V2-1)a,

故④正確；

⑤設(shè)BG=GF=b,DE=EF=c,則CG=a-b,CE=a-c,

由勾股定理得，(6+y)2=(a-b)2+(a-c)2,整理得6c=/-"

?112_1

,,SA^77(a-b)(a-ab-ac+bc)--z_(bc+bc)=bc,

八JrTR7rNdZ

即SACEG=BG?DE,

?S/\ABG=S/\AFGfSAAEF=S/\ADE,

S五邊形ABGED=?$△搦=2"EG二AF?EG'

,:S五邊形ABGED+S/\CEG=S正方形ABCZ),

:.BG*DE+AF?EG=a1,

故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過

程）

17.（5分）（2019?隨州）解關(guān)于無的分式方程：工=上.

3+x3-x

【解答】解：去分母得：27-9x=18+6x,

移項(xiàng)合并得：15x=9,

解得：尸為，

5

經(jīng)檢驗(yàn)彳=3是分式方程的解.

5

18.（7分）（2019?隨州）已知關(guān)于尤的一元二次方程7-（24+1）無+9+1=0有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根XI，XI.

（1）求上的取值范圍；

（2）若XI+X2=3,求左的值及方程的根.

【解答】解：（1）：關(guān)于x的一元二次方程f-（24+1）x+后+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，

/.⑵+1）2-4（M+1）>0,

整理得，4%-3>0,

解得:k>—,

4

故實(shí)數(shù)k的取值范圍為4>上；

4

（2）???方程的兩個(gè)根分別為xl,xi,

.?.XI+X2=2Z+1=3,

解得：k=l,

???原方程為x2-3x+2=0,

??XI~~1,X2=2.

19.（10分）（2019?隨州）“校園安全”越來越受到人們的關(guān)注，我市某中學(xué)對(duì)部分學(xué)生就

校園安全知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息回答下列問題:

扇形統(tǒng)計(jì)圖條形統(tǒng)計(jì)圖

舞笄毯下了由

（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有60人,條形統(tǒng)計(jì)圖中加的值為10；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解很少”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為96。；

（3）若該中學(xué)共有學(xué)生1800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該學(xué)校學(xué)生中對(duì)校園

安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為1020人;

（4）若從對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人

參加校園安全知識(shí)競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生

的概率.

【解答】解：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有304-50%=60（人），機(jī)=60-4-30-16=

10；

故答案為：60,10；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“了解很少”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)=360°X生=96°；

60

故答案為：96°；

（3）該學(xué)校學(xué)生中對(duì)校園安全知識(shí)達(dá)到“非常了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù)為：

1800X生組=1020（人）；

60

故答案為：1020；

（4）由題意列樹狀圖：

由樹狀圖可知，所有等可能的結(jié)果有12種，恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果有8

種，

...恰好抽到1名男生和1名女生的概率為g=2.

123

女1

男】男女

20.（8分）（2019?隨州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A,B同時(shí)收到某事故漁船的

求救訊息，已知此時(shí)救助船3在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方

向上，在救助船8的西南方向上，且事故漁船尸與救助船A相距120海里.

（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離；

（2）若救助船A,B分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往

事故漁船P處搜救，試通過計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá).

【解答】解：（1）作PCLA8于C,如圖所示：

則/PCA=NP3=90°,

由題意得：120海里，ZA=30°,ZBPC=45°,

，PC=LB4=60海里，△BCP是等腰直角三角形，

2

.?.80=7^=60海里，海里；

答：收到求救訊息時(shí)事故漁船尸與救助船B之間的距離為60^海里；

（2）：出=120海里，尸8=60血海里，救助船A,B分別以40海里/小時(shí)、30海里/小

時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，

救助船A所用的時(shí)間為坨=3（小時(shí)），救助船8所用的時(shí)間為史返=（小時(shí)）,

4030

：3〉2我，

...救助船8先到達(dá).

21.(9分)(2019?隨州)如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的分別交AC,

BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)尸在AC的延長線上，且

(1)求證：是OO的切線；

(2)若。。的直徑為3,sin/CBF=丑，求和8尸的長.

【解答】(1)證明：連接AE,

'：AB是。。的直徑，

ZA￡B=90°,

.,.Z1+Z2=9O°.

\'AB=AC,

：.2Z1=ZCAB.

■:/BAC=2/CBF,

；.N1=NCBF

.?.ZCBF+Z2=90°

即/A8P=90°

是O。的直徑，

直線BP是O。的切線；

(2)解：過點(diǎn)C作CHLBF于H.

,：sinZCBF=J^-,Z1=ZCBF,

3

sin/l=Y^,

3

「在RtZXAEB中，ZA￡B=90°,AB=3,

.?.BE=A8?sin/l=3X返=6,

3

"：AB=AC,ZAEB=90°,

:.BC=2BE=2M，

BC3

：.CH=2,

■:CH//AB,

.CF=CH即CF_2

"AFAB，CF+3T

：.CF=6,

：.AF=AC+CF=9,

BF=VAF2-AB2=6^2-

22.（11分）（2019?隨州）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產(chǎn)量p

（百千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）滿足函數(shù)關(guān)系式0=今+8,從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn),

該半成品食材每天的市場需求量q（百千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系,

部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:

銷售價(jià)格X（元/24...10

千克）

市場需求量q（百1210...4

千克）

已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接寫出q與尤的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍;

（2）當(dāng)每天的產(chǎn)量小于或等于市場需求量時(shí)，這種半成品食材能全部售出，而當(dāng)每天的

產(chǎn)量大于市場需求量時(shí)，只能售出符合市場需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質(zhì)

期短而只能廢棄.

①當(dāng)每天的半成品食材能全部售出時(shí)，求X的取值范圍；

②求廠家每天獲得的利潤y(百元)與銷售價(jià)格X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)x為_竽_元/千克時(shí)，利潤y有最大值；若要使每天的利潤

不低于24(百元)，并盡可能地減少半成品食材的浪費(fèi)，則x應(yīng)定為5元/千克.

【解答】解：

(1)由表格的數(shù)據(jù)，設(shè)q與x的函數(shù)關(guān)系式為：q=kx+b

根據(jù)表格的數(shù)據(jù)得[12=2k+b,解得(k=T

ll0=4k+blb=14

故q與x的函數(shù)關(guān)系式為：q=-x+14,其中2WxW10

(2)①當(dāng)每天的半成品食材能全部售出時(shí)，有pWq

即L+8W-X+14,解得xW4

2

又2WxW10,所以此時(shí)2WxW4

②由①可知，當(dāng)2WxW4時(shí)，

y=(x-2)p=(x-2)(―x+8)=—^+1x-16

22

當(dāng)4V時(shí)，y=(x-2)q-2(p-q)

=(x-2)(-x+14)-2[—x+8-(-x+14)]

2

=-/+13x-16

2

1-X+7X-16,(2<X<4)

即有y=<

-X2+13X-16,(4<X<10)

(3)當(dāng)2WxW4時(shí),

y=O+7尤-16的對(duì)稱軸為x=一旦=--7

22a

2

/.當(dāng)2WxW4時(shí)，除x的增大而增大

；.x=4時(shí)有最大值，X42+7X4-16=2。

當(dāng)4c尤W10時(shí)

y=-/+13x-16=-（尤-工^）?+1°5,

24

：-l<0,H>4

2

.,.x=1工時(shí)取最大值

2

即此時(shí)y有最大利潤

要使每天的利潤不低于24百元，則當(dāng)2WxW4時(shí)，顯然不符合

故y=-（尤2+105224,解得xW5

24

故當(dāng)尤=5時(shí)，能保證不低于24百元

故答案為：11,5

2

23.（10分）（2019?隨州）若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為小“，我們可將這個(gè)

兩位數(shù)記為mn，易知mn=10〃z+"；同理，一個(gè)三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如abc

=100<7+10Z?+c.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）解方程填空：

①若區(qū)+￡=45,則八=2；

②若7V-y8=26,則y=4；

③若福+京=13tl，則看7；

【能力提升】

（2）交換任意一個(gè)兩位數(shù)ran的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，可得到一個(gè)新數(shù)nir，則mn+nir一

定能被11整除,ran-nir一定能被9整除,mn，nir-旭〃一定能被10整除;（請

從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）

【探索發(fā)現(xiàn)】

（3）北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引

力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛.數(shù)學(xué)中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個(gè)三

位數(shù)，要求個(gè)、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字按大小重新排列，

得出一個(gè)最大的數(shù)和一個(gè)最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個(gè)新數(shù)（例

如若選的數(shù)為325,則用532-235=297）,再將這個(gè)新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，

像這樣運(yùn)算若干次后一定會(huì)得到同一個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”.

①該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為495；

②設(shè)任選的三位數(shù)為abc(不妨設(shè)a>b>c),試說明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù).

【解答】解：⑴①：三=10%+〃

?'.若云+元=45,貝lj10X2+x+10x+3=45

.\x=2

故答案為：2.

②若7y-y8=26,則10X7+y-(10y+8)=26

解得y=4

故答案為：4.

③由abc=100a+106+a及四位數(shù)的類似公式得

若福+標(biāo)=13tl，貝！1100f+10X9+3+100X5+10/+8=1000Xl+100X3+10f+l

.\100/=700

.\t=7

故答案為：7.

(2)Vim+nir—10m+n+10n+m=llm+lln=ll(m+n)

???貝iJmn+nir一定能被11整除

,?*inn-mr=10m+n-(lOn+m)—9m-9n=9(m-n)

**?inn-mr一定能被9整除.

*.*inn?mr-mn=(10m+?)(lOn+m)-mn=100mn+10m2+1Or^+mn-mn=10

(10mn+m2+n2)

Wmr-mn一定能被10整除.

故答案為：11；9；10.

(3)①若選的數(shù)為325,則用532-235=297,以下按照上述規(guī)則繼續(xù)計(jì)算

972-279=693

963-369=594

954-459=495

954-459=495-

故答案為：495.

②當(dāng)任選的三位數(shù)為嬴時(shí)，第一次運(yùn)算后得：IQQa+IQb+c-(lOOc+lOA+a)=99(。

結(jié)果為99的倍數(shù)，由于〃故〃2人+1三。+2

'.a-c^2,又9，a>c20,

.,.a-cW9

：.a-c=2,3,4,5,6,7,8,9

二第一次運(yùn)算后可能得到:198,297,396,495,594,693,792,891,

再讓這些數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算，分別可以得到：

981-189=792,972-279=693,963-369=594,954