基本初等函數的導數（原卷版）

第五章《一元函數的導數及其應用》基本初等函數的導數[核心素養(yǎng)·學習目標]課程標準課標解讀1.能根據定義求函數y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導數.2.能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數．通過本節(jié)課學習，要求掌握基本初等函數的求導，并能解決與初等函數導數相關的簡單問題.課前預習課前預習1.幾個常用函數的導數原函數導函數f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝f(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))2.基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)知識講解知識講解導數公式表(其中三角函數的自變量單位是弧度)函數導函數函數導函數y＝c(c是常數)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α為實數)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特別地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特別地(lnx)′＝eq\f(1,x)【大招總結】大招1初等函數求導【方法總結】（1）若所求函數符合導數公式，則直接利用公式求解.（2）對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則，避免不必要的運算失誤.（3）要特別注意“1x與Inx”，“ax’與logax”，“sinx與cosx”的導數區(qū)別大招2求切線方程【方法總結】利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況（1）若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數；（2）如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解。大招3在一點的切線方程【方法總結】求曲線在某點處的切線方程的步驟大招4過一點的切線方程【方法總結】過點“P”處的切線：(1)過某點的含義，切線過某點，這點不一定是切點．(2)過曲線外的點P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟①設切點為Q(x0，y0)；②求出函數y＝f(x)在點x0處的導數f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲線上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根據直線的點斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．典型例題典型例題【例1】函數在處的導數為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，所求導數為.故選：C.【例2】給出下列結論：①；②；③若，則；④其中正確的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】由于，，，，即運算正確的為：②④,故選：C.【例3】已知函數的導函數為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，解得．故選：C．【例4】已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，令得，，故選D.【例5】求曲線在點處的切線方程.【答案】【詳解】設，則，所以，所以切線方程為，即.【例6】已知在上連續(xù)可導，為其導函數，且，則在處的切線方程為________________【答案】【詳解】由題意，，所以，因此，所以，易知切線為故答案為：【例7】已知是曲線上的兩點．求過點的曲線的切線方程；【答案】（1）；【詳解】（1）；過點，的切線斜率分別為，4；過點的切線方程為：；即；過點的切線方程為：；即；【例8】已知函數．過點作曲線的切線，求此切線的方程．【答案】或【詳解】（2），設切點坐標為，則切線方程為，∵切線過點，∴，化簡得，∴或．∴切線的方程：或．強化訓練強化訓練一、單選題1．下列求導運算正確的是（

）．A． B．（為常數）C． D．2．函數在處的導數等于A．1 B．2 C．3 D．43．已知，則等于A．0 B．C． D．4．下列求導運算正確的是（

）A． B．C． D．5．已知函數，若關于的方程恰有四個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知曲線在點處的切線與直線平行且距離為，則直線的方程為()A．B．或C．或D．以上均不對8．已知函數的導數，且的圖像過點，當函數取得極大值5時，x的值應為（

）A．1 B．0 C．1 D．二、多選題9．下列選項正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則10．已知函數若，則實數的值可為（

）A．2 B． C． D．411．關于切線，下列結論正確的是（

）A．過點且與圓相切的直線方程為B．過點且與拋物線相切的直線方程為C．過點且與曲線相切的直線l的方程為D．曲線在點處的切線方程為12．定義在區(qū)間上的連續(xù)函數的導函數為，若使得，則稱為區(qū)間上的“中值點”.下列在區(qū)間上“中值點”多于一個的函數是（

）A． B． C． D．三、填空題13．已知函數，則=.14．已知是函數f（x）的導函數，，則=.15．已知是的導函數（），，則.16．已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為．四、解答題17．已知函數（且）在處的導數為，求底數a的值．18．求下列函數的導數：(1)S(t)＝；(2)h(