專題03 求圓錐曲線的離心率及離心率的取值范圍（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題教師版

第第頁專題03求圓錐曲線的離心率或離心率的取值范圍1、橢圓中的最值問題：2、.在求橢圓離心率范圍時(shí)常用的不等關(guān)系：，，（P為橢圓上一點(diǎn)）3、焦點(diǎn)三角形：4、點(diǎn)差法：5、通徑以及通徑的推廣：

(一)借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系根據(jù)平面圖形的關(guān)系,如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對(duì)稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系,然后將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進(jìn)行表示,進(jìn)而得到不等式,從而確定離心率的范圍.【例1】、（1）已知兩定點(diǎn)和,動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng),橢圓以為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn),則橢圓的離心率的最大值為（）A．B．C.D．【答案】A【解析】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,連接交直線于點(diǎn),則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為,所以橢圓的離心率的最大值為,故選A.【點(diǎn)評(píng)】求解本題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性求距離的最小值（2）．（2021·江蘇省如皋中學(xué)）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積建立有關(guān)的關(guān)系，得到，即可求出離心率.【詳解】由題意，如圖：由橢圓的性質(zhì)可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，，所以，故橢圓離心率．故答案為：.（3）．（2023上·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）(多選題)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，的面積為，則（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 B．的周長(zhǎng)為16C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的半徑為【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的定義式，三角形的周長(zhǎng)，以及三角形的周長(zhǎng)與三角形的內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，正余弦定理，即可依次得出答案.【詳解】由題意知，，，則，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，解得，又，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑，則，又，，解得，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在中，由，解得，又，即，整理得：，即，即，又，解得，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理知：，即，解得，故D正確.故選：BCD.【小試牛刀】（1）．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若長(zhǎng)軸端點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)：過的兩條切線互相垂直可得，結(jié)合求橢圓離心率的范圍.【詳解】在橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點(diǎn)，使過的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C（2）．（2021·湖南永州·高三）已知橢圓的方程為，?為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，直線與軸交于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接?，是的內(nèi)心，得到為的角平分線，即到直線?的距離相等，利用三角形的面積比，得到，結(jié)合橢圓的離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，連接?，是的內(nèi)心，可得?分別是和的角平分線，由于經(jīng)過點(diǎn)與的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點(diǎn)，則為的角平分線，則到直線?的距離相等，所以，同理可得，，由比例關(guān)系性質(zhì)可知.又因?yàn)椋詸E圓的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.（3）．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為．【答案】【分析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，帶入橢圓方程作差，利用重心坐標(biāo)公式，求得，，代入上式，即可求解.【詳解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減得＋＝0.(*)因?yàn)椤鰽BF1的重心為G，所以故代入(*)式得，所以＝＝，即a2＝3b2，所以橢圓C的離心率e＝.故答案為：(二)借助題目中給出的不等信息根據(jù)試題本身給出的不等條件,如已知某些量的范圍,存在點(diǎn)或直線使方程成立,的范圍等,進(jìn)一步得到離心率的不等關(guān)系式,從而求解.【例2】、（1）已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為其右焦點(diǎn),若設(shè)且則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義建立等量關(guān)系式,然后借助已知條件利用三角函數(shù)的圖象求解離心率的范圍.（2）已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，，故選A.（3）．（2023上·吉林四平·高二統(tǒng)考期中）（多選題）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的周長(zhǎng)為 B．的面積的最大值為2C．若，則的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A，由定義可得；選項(xiàng)B，，數(shù)形結(jié)合當(dāng)點(diǎn)到的距離最大，即高最大時(shí)面積最大；選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)表達(dá)，利用橢圓方程消元求函數(shù)最值即可；選項(xiàng)D，利用的斜率意義，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有公共點(diǎn)求斜率范圍，從而求得最小值.【詳解】選項(xiàng)A，由橢圓方程可知，，所以的周長(zhǎng)，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，所以，所以的面積，當(dāng)，即時(shí)，即點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大為2，故B正確；選項(xiàng)C，由，點(diǎn)，且，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，的幾何意義為與點(diǎn)兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)為，由得，，解得，如圖，當(dāng)直線與橢圓C相切時(shí)，，所以的最小值為.故D正確.故選：ABD.

【小試牛刀】．（1）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，若，則該橢圓離心率的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓定義，可得，設(shè)，則由可得，整理得，根據(jù)可求.【詳解】為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為，則根據(jù)橢圓定義，又，，是的斜邊中點(diǎn)，，設(shè)，則，，，，即，，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將離心率表示為關(guān)于的函數(shù).（2）．（2021·全國高二單元測(cè)試）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因?yàn)?，所?故選：A.（3）．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)，得到，且是的角平分線，再結(jié)合和角平分線定理得到，然后在中，利用勾股定理求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，則是的角平分線，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：(三)借助函數(shù)的值域求解范圍根據(jù)題設(shè)條件,如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式,通過確定函數(shù)的定義域后,利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.【例3】、（1）（2021·廣東廣州市第二中學(xué)高二月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)F2且斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若滿足，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)由條件可得，與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立消元可得，求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)直線方程為，設(shè)，，與橢圓方程聯(lián)立得，，①，，得②，由①②聯(lián)立可得，即，得，橢圓的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求離心率是圓錐曲線?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.（2）．（2021·浙江高一期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)C在橢圓上，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到，得出，代入橢圓的方程，求得，即可求解.【詳解】由題意，可得，設(shè)，因?yàn)?，則，可得，即，因?yàn)镃在橢圓上，所以，即，所以離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.（3）、（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選題）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．的面積等于C．直線的斜率為 D．的離心率等于【答案】ABD【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知，且滿足，即可得A正確；易知可得B正確；在等腰直角三角形中，可知直線的斜率為，計(jì)算可得的離心率等于.【詳解】由可知，不妨設(shè)，又，可得；利用橢圓定義可知，所以可得；即，所以點(diǎn)即為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，如下圖所示：

由，可知滿足，所以；即A正確；所以為等腰直角三角形，且，因此的面積為，即B正確；此時(shí)可得直線的斜率，所以C錯(cuò)誤；在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，即D正確；故選：ABD【小試牛刀】．（1）（2021·合肥百花中學(xué)（理））已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則C的離心率為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，得到，兩邊平方，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得右焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^點(diǎn)作圓的切線，可得，則，即，即，可得，所以.故答案為：.(2)．（2022·浙江高三專題練習(xí)）設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】求橢圓的離心率，要列出關(guān)于的等量關(guān)系式，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長(zhǎng)度，通過余弦定理得到各邊關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系可以列出關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求出離心率【詳解】設(shè)，則，，，.，在中，由余弦定理得，，，化簡(jiǎn)可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，橢圓的離心率，故答案為：.【點(diǎn)睛】題目考察比較綜合，需要根據(jù)圖形列出各邊之間的關(guān)系式，找到關(guān)于之間的關(guān)系，進(jìn)而求解離心率，涉及到了以下考點(diǎn)：（1）橢圓的第一定義（2）三角形的余弦定理（3）離心率的計(jì)算(四)根據(jù)橢圓自身的性質(zhì)或基本不等式求范圍在求離心率的范圍時(shí)有時(shí)常用橢圓或雙曲線自身的性質(zhì),如橢圓中,,P是橢圓上任意一點(diǎn),則等.例4．（1）（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓對(duì)稱性有為平行四邊形且，由余弦定理可得，應(yīng)用基本不等式有，即可求橢圓離心率的范圍.【詳解】連接A，B與左右焦點(diǎn)F，的連線，由，由橢圓及直線的對(duì)稱性知：四邊形為平行四邊形，且，在△中，，∴，可得，即，則，∴橢圓的離心率，故選：C．（2）、【2020屆河北省正定中學(xué)高三上第五次月考】設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),且,若橢圓上存在點(diǎn)使得,則橢圓的離心率的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【點(diǎn)評(píng)】為橢圓上的一點(diǎn)是本題的關(guān)鍵條件,根據(jù)圓錐曲線的共同特征把轉(zhuǎn)化成基本量,,與的關(guān)系式,結(jié)合橢圓的范圍,即可得到的不等式,從而求出其最小值．（3）、（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）（多選題）已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．的最小值為1【答案】ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；對(duì)于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問題里面的應(yīng)用.【小試牛刀】（1）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),若的最小值為8,則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本題以雙曲線為素材,綜合考查雙曲線的離心率和函數(shù)的