門(mén)愛(ài)東的數(shù)字信號(hào)處理教案4省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

第四章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)4.1引言4.2模擬濾波特征迫近4.3模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真4.4脈沖響應(yīng)不變法4.5雙線(xiàn)性變換法4.6數(shù)字濾波器變換4.7IIR濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)第1頁(yè)4.1引言1.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程 一個(gè)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程，大致可歸納為3個(gè)步驟。 (1)按照實(shí)際需要確定濾波器性能要求。(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)函數(shù)去迫近這個(gè)性能要求，這種系統(tǒng)函數(shù)能夠分為兩類(lèi)，即IIR系統(tǒng)函數(shù)與FIR系統(tǒng)函數(shù)。第2頁(yè)(3)用一個(gè)有限精度運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。這里包含選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、直接型、正準(zhǔn)型和頻率采樣型等，還包含適當(dāng)字長(zhǎng)和有效數(shù)字處理方法等。第3頁(yè)2.IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法 IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)是z有理函數(shù)，可表示為第4頁(yè)這種設(shè)計(jì)普通有3種方法。(1)簡(jiǎn)單濾波器零極點(diǎn)位置累試法。(2)用模擬濾波器理論來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。(3)用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計(jì)參數(shù)。第5頁(yè)3.設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，即從已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。其慣用方法有脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性變換法兩種，但不論哪種方法都遵照數(shù)字仿真標(biāo)準(zhǔn)。第6頁(yè)4.2模擬濾波特征迫近1.問(wèn)題提出 其頻帶按作用不一樣分為以下3部分，如圖4-1所表示： 通帶——濾波器中能使信號(hào)經(jīng)過(guò)頻帶； 阻帶——抑制噪聲經(jīng)過(guò)頻帶； 過(guò)渡帶——從通帶到阻帶過(guò)渡頻率范圍。第7頁(yè)圖4-1模擬濾波器幅頻特征第8頁(yè)按劃分標(biāo)準(zhǔn)不一樣，濾波器分為很各種類(lèi)。按處理信號(hào)種類(lèi)分為模擬濾波器(其輸入輸出皆為模擬量)和數(shù)字濾波器(其輸入輸出皆為數(shù)字量)；按其應(yīng)用不一樣分為有源濾波器和無(wú)源濾波器；按其通頻帶劃分為低通濾波器(只允許低頻信號(hào)經(jīng)過(guò)而抑制高頻信號(hào))、高通濾波器(只允許高頻信號(hào)經(jīng)過(guò)而抑制低頻信號(hào))、帶通濾波器(只允許某一頻帶信號(hào)經(jīng)過(guò))和帶阻濾波器(只抑制某一頻帶信號(hào))。第9頁(yè)2.巴特沃思(Butterworth)濾波特征迫近(1)Butterworth濾波器特征 Butterworth濾波器特點(diǎn)是含有通帶內(nèi)最大平坦振幅特征，而且在正頻率范圍內(nèi)是隨頻率升高而單調(diào)下降，它振幅平方函數(shù)為第10頁(yè)(2)Butterworth圖表設(shè)計(jì)法 其設(shè)計(jì)步驟概括起來(lái)有以下幾個(gè)方面：第11頁(yè)(3)巴特沃斯低通濾波器Matlab實(shí)現(xiàn)

在Matlab中能夠用[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘s’)求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs條件下，所需要最小Butterworth模擬濾波器階數(shù)和3dB頻率。 Buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器設(shè)計(jì)。對(duì)于帶通和帶阻濾波器，Wp和Ws說(shuō)明了濾波器兩個(gè)邊緣頻率，其中第一個(gè)元素是低端頻率。第12頁(yè)3.切比雪夫(Chebyshev) 濾波特征迫近(1)Chebyshev濾波器特征 Chebyshev濾波器頻率特征在通帶內(nèi)是等波紋，在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降，它比同階Butterworth濾波器下降快，如圖4-5所表示，而在通帶內(nèi)則是等波紋，通帶內(nèi)波動(dòng)峰值個(gè)數(shù)與階數(shù)N相關(guān)，N越大，波動(dòng)越快第13頁(yè)圖4-5Chebyshev濾波器頻率特征圖第14頁(yè) Chebyshev濾波器幅度平方函數(shù)為 式中N是濾波器階數(shù)，Ωc是通帶寬度，當(dāng)ε=1時(shí)，它等于通帶3dB截止頻率，如圖4.5所表示。第15頁(yè)(2)Chebyshev濾波器特征極點(diǎn) 對(duì)于N階Chebyshev濾波器，其幅度｜Ha(Ω)｜2平方函數(shù)在s平面上有2N個(gè)極點(diǎn)，這2N個(gè)極點(diǎn)都是成復(fù)共軛對(duì)出現(xiàn)，且關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，沒(méi)有點(diǎn)落在虛軸上。第16頁(yè)極點(diǎn)可由作圖法確定，即(1)以aΩc為半徑畫(huà)圓，將其圓周等分為2N個(gè)點(diǎn)；(2)以bΩc為半徑畫(huà)圓，將其圓周等分為2N個(gè)點(diǎn)；(3)每個(gè)極點(diǎn)縱坐標(biāo)由大圓對(duì)應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)確定，每個(gè)極點(diǎn)橫坐標(biāo)由小圓對(duì)應(yīng)點(diǎn)橫坐標(biāo)確定。第17頁(yè)(3)Chebyshev濾波器設(shè)計(jì)方法 如同Butterworth濾波器，Chebyshev濾波器也能夠采取查表法進(jìn)行設(shè)計(jì)，其步驟以下。 (1)頻率歸一化，求λp，λs。 (2)依據(jù)αp，αs查歸一化頻率——幅度特征曲線(xiàn)，確定濾波器階數(shù)N。第18頁(yè)第19頁(yè)(4)Chebyshev濾波器Matlab

實(shí)現(xiàn) 在Matlab

中能夠用[n,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要最小Chebyshev

I

模擬濾波器階數(shù)。在數(shù)字濾波器中，wp和ws

在0~1之間，而在模擬濾波器中，wp和ws能夠大于1。第20頁(yè)Cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’)也可用于高通、帶通、阻帶濾波器設(shè)計(jì)。對(duì)于帶通和帶阻濾波器，Wp

和Ws

是一個(gè)兩元素是量，說(shuō)明了濾波器兩個(gè)邊緣頻率，第一個(gè)元素是低端頻率。

第21頁(yè)而用Matlab

函數(shù)[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)求得n

階低通Chebyshev

I

原型模擬濾波器零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益，通帶內(nèi)波動(dòng)為Rp

dB。極點(diǎn)p

和增益k

是長(zhǎng)度為n

行矢量，而零點(diǎn)z

是空矩陣。其傳輸函數(shù)為：第22頁(yè)4.Cauer濾波器特征 Cauer濾波器又稱(chēng)橢圓濾波器，它特點(diǎn)是在通帶和阻帶內(nèi)都有等波紋振幅特征。它之所以被稱(chēng)為橢圓濾波器，是因?yàn)槠湔穹卣魇怯裳趴杀葯E圓函數(shù)來(lái)決定，其振幅平方函數(shù)為 式中，JN(Ω)是雅可比橢圓函數(shù)，N為濾波器階數(shù)。第23頁(yè)在Matlab

中能夠用[n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')求出給定通帶截止頻率wp、阻帶起始頻率ws、通帶最大衰減Rp、阻帶最大衰減Rs

條件下，所需要最小橢圓模擬濾波器階數(shù)。第24頁(yè)4.3模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真1.時(shí)域數(shù)字仿真 如圖4-1所表示，h(t)表示模擬系統(tǒng)La沖激響應(yīng)，而h(n)表示數(shù)字系統(tǒng)Ld沖激響應(yīng)。若h(n)等于Tha(t)取樣，即h(n)=Tha(nT)

當(dāng)T足夠小時(shí)，Ld將是La數(shù)字仿真，即y(n)=yT(nT)

第25頁(yè)2.頻域中數(shù)字仿真(1)輸入為單頻指數(shù)信號(hào) 設(shè)x(t)=ejΩt，若模擬系統(tǒng)La系統(tǒng)函數(shù)為Ha(S)，未知Ld系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，則模擬系統(tǒng)輸出為y(t)=Ha(Ω)ejΩ

t

數(shù)字系統(tǒng)輸出y(n)y(n)=H(ejΩT)ejnΩT第26頁(yè)(2)輸入為任意信號(hào) 為了建立含有普遍意義仿真條件，需要在頻域內(nèi)建立Ha(Ω)和H(ejΩT)關(guān)系，用沖激響應(yīng)ha(t)和h(n)表示這些函數(shù)。第27頁(yè)第28頁(yè)4.4脈沖響應(yīng)不變法1.脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)方法 在此所講設(shè)計(jì)方法，是在給定了模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)情況下，求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)方法。第29頁(yè)2.z平面與s平面映射關(guān)系 由式(4-28)能夠看到，s平面與z平面變換關(guān)系為第30頁(yè) 假如僅考慮極點(diǎn)話(huà)，則這種映射關(guān)系變?yōu)槭街袘?yīng)用了z和s表示式z=rejω和s=σ+jΩ。第31頁(yè)3.Matlab實(shí)現(xiàn)4.脈沖響應(yīng)不變法特點(diǎn) 由以上討論，能夠?qū)⒚}沖響應(yīng)不變法特點(diǎn)歸結(jié)成3點(diǎn)，以下所述。 (1)保持了模擬濾波器時(shí)域瞬態(tài)特征，這是脈沖響應(yīng)不變法一大優(yōu)點(diǎn)。 (2)當(dāng)模擬濾波器頻率響應(yīng)不是嚴(yán)格限帶時(shí)，則用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)出來(lái)數(shù)字濾波器有頻域混迭失真，這是脈沖響應(yīng)不變法缺點(diǎn)。第32頁(yè)(3)因?yàn)?2)而使得這種設(shè)計(jì)方法使用受到限制，即當(dāng)Ha(Ω)不嚴(yán)格限帶或時(shí)域內(nèi)改變不太平穩(wěn)，而設(shè)計(jì)性能要求又較高時(shí)，不宜使用這種方法。第33頁(yè)4.5雙線(xiàn)性變換法1.雙線(xiàn)性變換關(guān)系導(dǎo)出 由式(4-25)能夠知道，普通模擬濾波器基本單元都是積分器1/s，如圖4-15所表示式(4-25)框圖。第34頁(yè)圖4-15由積分器基本單元組成模擬網(wǎng)絡(luò)框圖第35頁(yè)第36頁(yè)2.s平面與z平面映射關(guān)系 把s=σ+jΩ代入式(4-21)，且令z=rejω，則得到第37頁(yè)第38頁(yè)3.Matlab實(shí)現(xiàn)4.雙線(xiàn)性變換法特點(diǎn) 由以上討論總結(jié)雙線(xiàn)性變換法特點(diǎn)以下所述。 (1)模擬濾波器經(jīng)過(guò)雙線(xiàn)性變換后，不存在幅度頻率特征混迭失真。 (2)因?yàn)?1)而對(duì)模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(Ω)要求放寬，故適用范圍廣。第39頁(yè)(3)模擬濾波器經(jīng)過(guò)雙線(xiàn)性變換后出現(xiàn)相位頻率特征失真，所以對(duì)濾波器相位特征有較嚴(yán)格要求時(shí)，不宜采取這種方法。第40頁(yè)4.6數(shù)字濾波器變換1.濾波器數(shù)字頻率變換 假如用雙線(xiàn)性變換將模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，對(duì)于如圖4-20所表示低通、高通、帶通和帶阻型選頻濾波器來(lái)說(shuō)，它能夠用一個(gè)和雙線(xiàn)性變換非常相同有理變換從低通數(shù)字濾波器變換出來(lái)。第41頁(yè)圖4-20理想濾波器特征第42頁(yè) 所以要求 (1)G(Z-1)必須是Z-1(或Z)有理函數(shù)； (2)z平面單位圓內(nèi)部必須映射成Z平面單位圓內(nèi)部。第43頁(yè)第44頁(yè)第45頁(yè)2.Matlab實(shí)現(xiàn)第46頁(yè)4.7IIR濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)1.最小均方誤差設(shè)計(jì)法假定IIR濾波器z變換式能夠?qū)懗杉?jí)聯(lián)式第47頁(yè) 令該濾波器所要求頻率響應(yīng)為Hd(ejw)，在一離散頻率集{ωi，I=1,2,……,M)(無(wú)須是均勻間隔)上濾波器實(shí)際頻率響應(yīng)H(ejw)與所要求頻率響應(yīng)Hd(ejw)之間均方誤差E定義為第48頁(yè) 普通地說(shuō)，求誤差函數(shù)E(θ)最小值．能夠?qū)(θ)對(duì)每個(gè)參數(shù)作一次微分，并令其導(dǎo)數(shù)為零，即第49頁(yè) Fletcher－powell法是一個(gè)有效非線(xiàn)性?xún)?yōu)化算法，使用了最優(yōu)化計(jì)算程序計(jì)算誤差函數(shù) 對(duì)參數(shù)φ梯度和斜率，用做處理誤差最小化準(zhǔn)則。第50頁(yè)(1)利用優(yōu)化程序在不約束極點(diǎn)和零點(diǎn)位置情況下使 極小。(2)將單位圓外部全部極點(diǎn)或零點(diǎn)作鏡象替換，繼續(xù)優(yōu)化，直到抵達(dá)一個(gè)新極小值為止。第51頁(yè)2.最小p誤差設(shè)計(jì)法 最小p誤差設(shè)計(jì)是指p次冪誤差加權(quán)平均最小化，所以離散迫近幅頻響應(yīng)最小化