高中數(shù)學(xué)-《四種命題及其相互關(guān)系》同步新人教A版選修省公開課一等獎全國示范課微課金獎

第1頁1．知識與技能了解四種命題概念，并會判斷命題真假．2．過程與方法了解命題逆命題，否命題、逆否命題，能寫出原命題其它三種命題．能利用四種命題間相互關(guān)系判斷命題真假．第2頁本節(jié)重點：了解命題逆命題、否命題、逆否命題．本節(jié)難點：分析四種命題相互關(guān)系以及四種命題真假之間關(guān)系．1．要經(jīng)過實例去發(fā)覺四種命題間關(guān)系，并能用命題間關(guān)系去驗證寫出命題是否正確．2．要注意否命題與命題否定是不一樣．比如：原命題“若∠A＝∠B，則a＝b”否命題是“若∠A≠∠B，則a≠b”，而原命題否定是“若∠A＝∠B，則a≠b”．經(jīng)過實例真正搞清一個命題否命題與它否定本質(zhì)區(qū)分：否命題是既否定條件又否定結(jié)論；命題否定是只否定結(jié)論．第3頁1．四種命題概念關(guān)于原命題逆命題、否命題和逆否命題寫法：首先：把原命題整理成“假如p，則q”．其次：(1)“換位”得到“假如q，則p”，即為逆命題；(2)“換質(zhì)”(分別否定)得到“假如非p，則非q”即為否命題；(3)既“換位”又“換質(zhì)”得到“假如非q，則非p”即為逆否命題．第4頁注意：“命題否定”只否定結(jié)論，而否命題要對條件和結(jié)論分別進行否定．只有“假如p，則q”形式命題才有否命題，形式為“假如綈p，則綈q”．在寫一個命題否定或否命題時要注意一些關(guān)鍵詞否定．第5頁2．命題四種形式間關(guān)系(1)命題四種形式中，哪個是原命題是相正確，不是絕正確；(2)四種命題間有兩對互逆關(guān)系，兩對互否關(guān)系，兩對互為逆否關(guān)系，對互為逆否兩命題同真同假，在判斷和證實中要注意它們之間相互轉(zhuǎn)化．第6頁3．間接證實相關(guān)問題因為原命題和它逆否命題有相同真假性，所以在直接證實一個命題有困難時，能夠經(jīng)過證實它逆否命題為真來間接證實原命題為真，即正難則反思想．注意：間接法慣用于證實否定性、存在性、惟一性，至多最少等，結(jié)論反面是比原結(jié)論更詳細、更易于研究和掌握問題．第7頁1．普通地，對于兩個命題，假如一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題結(jié)論和條件，那么我們把這么兩個命題叫做

，其中一個命題叫做

，另一個叫做原命題

．2．普通地，對于兩個命題，假如一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題條件否定和結(jié)論否定，我們把這么兩個命題叫做

，其中一個命題叫做

，另一個叫做原命題

．互逆命題原命題逆命題互否命題原命題否命題第8頁3．普通地，對于兩個命題，假如一個命題條件和結(jié)論恰好是另一個命題結(jié)論否定和條件否定，我們把這么兩個命題叫做

，其中一個命題叫做

，另一個叫做原命題

．4．原命題為真，它逆命題

．5．原命題為真，它否命題

．6．原命題為真，它逆否命題

．7．互為逆否命題是等價命題，它們同

同

，同一個命題逆命題和否命題是一對互為

命題，它們同

同

．互為逆否命題原命題逆否命題不一定為真不一定為真為真真假逆否真假第9頁[例1]寫出以下命題逆命題、否命題與逆否命題．(1)負數(shù)平方是正數(shù)；(2)正方形四條邊相等．[分析]

此題題設(shè)和結(jié)論不很顯著，所以首先將命題改寫成“若p，則q”形式，然后再寫出它逆命題、否命題與逆否命題．第10頁[解析]

(1)改寫成“若一個數(shù)是負數(shù)，則它平方是正數(shù)”．逆命題：若一個數(shù)平方是正數(shù)，則它是負數(shù)．否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)，則它平方不是正數(shù)．逆否命題：若一個數(shù)平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)．第11頁(2)原命題能夠?qū)懗桑喝粢粋€四邊形是正方形，則它四條邊相等．逆命題：若一個四邊形四條邊相等，則它是正方形．否命題：若一個四邊形不是正方形，則它四條邊不相等．逆否命題：若一個四邊形四條邊不相等，則它不是正方形．第12頁[點評]例1(1)題還有另一個解答：原命題能夠?qū)懗桑喝粢粋€數(shù)是負數(shù)平方，則這個數(shù)是正數(shù)．逆命題：若一個數(shù)是正數(shù)，則它是負數(shù)平方．否命題：若一個數(shù)不是負數(shù)平方，則這個數(shù)不是正數(shù)．逆否命題：若一個數(shù)不是正數(shù)，則它不是負數(shù)平方．這兩種解答都能夠，實際上例1中第(2)小題也有一樣另一個解答．第13頁寫出以下命題逆命題、否命題、逆否命題．(1)若x2＋y2＝0，則x，y全為0.(2)若a＋b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)．[解析]

(1)逆命題：若x，y全為0，則x2＋y2＝0；否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為0；逆否命題：若x，y不全為0，則x2＋y2≠0.(2)逆命題：若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；否命題：若a＋b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)；逆否命題：若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù).第14頁[例2]判斷以下命題真假，寫出它們逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若四邊形對角互補，則該四邊形是圓內(nèi)接四邊形；(3)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該函數(shù)圖象與x軸有交點．第15頁[解析]

(1)該命題為假，如c＝0時，ac2＝bc2.逆命題：ac2>bc2，則a>b為真；否命題：若a≤b，則ac2≤bc2為真；逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b為假．(2)該命題為真．逆命題：若四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則四邊形對角互補，為真．否命題：若四邊形對角不互補，則該四邊形不是圓內(nèi)接四邊形，為真．逆否命題：若四邊形不是圓內(nèi)接四邊形，則四邊形對角不互補，為真．第16頁(3)該命題為假．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象與x軸有公共點，則b2－4ac<0，為假．否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函數(shù)圖象與x軸無公共點，為假．逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象與x軸無公共點，則b2－4ac≥0，為假．第17頁[點評]寫出一個命題逆命題、否命題、逆否命題關(guān)鍵是分清原命題條件和結(jié)論，然后按定義來寫．在判斷原命題及逆命題真假時，常借助原命題與其逆否命題同真假，逆命題和否命題同真假進行判斷．第18頁改寫成“若p則q”形式，并寫出它否命題和逆否命題，最終判斷全部命題真假．(1)ac>bc?a>b；(2)已知x、y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時，y＝3，x＝2；(3)當(dāng)m>時，mx2－x＋1＝0無實根；(4)當(dāng)abc＝0時，a＝0或b＝0或c＝0；(5)若x2－2x－3＝0，則x＝3或x＝－1.第19頁[解析]

(1)原命題：若ac>bc，則a>b.(假)否命題：若ac≤bc，則a≤b.(假)逆否命題：若a≤b，則ac≤bc.(假)(2)原命題：已知x、y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3且x＝2.(假)否命題：已知x、y為正整數(shù)，若y≠x＋1，則y≠3或x≠2.(真)逆否命題：已知x、y為正整數(shù)，若y≠3或x≠2，則y≠x＋1.(假)第20頁(4)原命題：若abc＝0，則a＝0或b＝0或c＝0.(真)否命題：若abc≠0，則a≠0且b≠0且c≠0.(真)逆否命題：若a≠0且b≠0且c≠0，則abc≠0.(真)第21頁(5)原命題：若x2－2x－3＝0，則x＝3或x＝－1.(真)否命題：若x2－2x－3≠0，則x≠3且x≠－1.(真)逆否命題：若x≠3且x≠－1，則x2－2x－3≠0.(真)第22頁第23頁[例3]有以下四個命題：(1)“若x＋y＝0，則x、y互為相反數(shù)”否命題；(2)“若a>b，則a2>b2”逆否命題；(3)“若x≤－3，則x2－x－6>0”否命題；(4)“對頂角相等”逆命題．其中真命題個數(shù)是 (

)A．0

B．1

C．2

D．3[答案]

B第24頁[解析]

(1)“若x＋y≠0，則x、y不是相反數(shù)”是真命題．(2)“若a2≤b2，則a≤b”，取a＝－1，b＝0，因為a<b，但a2＝1，b2＝0，a2>b2，故是假命題．(3)“若x>－3，則x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式解，故是假命題．(4)“相等角是對頂角”是假命題．故選B.第25頁[點評]本題解法中利用了舉反例方法，如(2)、(3)解法．舉出一個反例說明一個命題不正確是以后經(jīng)慣用到方法．第26頁判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”逆否命題真假．[解析]解法一：寫出逆否命題，再判斷其真假．原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根；逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0.判斷以下：因為x2＋x－a＝0無實根．所以Δ＝1＋4a<0，所以a<－<0.所以“若x2＋x－a＝0無實根，則a<0”為真命題．第27頁解法二：利用原命題與逆否命題同真同假(即等價關(guān)系)證實．在為a≥0，所以4a≥0，所以4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0判別式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有實根．故原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”為真．又因原命題與逆否命題等價，所以“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”逆否命題為真．第28頁第29頁[例4]寫出以下命題否命題及命題否定形式，并判斷真假．(1)若m>0，則關(guān)于x方程x2＋x－m＝0有實根．(2)若x、y都是奇數(shù)，則x＋y是奇數(shù)．(3)若abc＝0，則a、b、c中最少有一個為0.第30頁[解析]

(1)否命題：若m≤0，則關(guān)于x方程x2＋x－m＝0無實根．(假命題)命題否定：若m>0，則關(guān)于x方程x2＋x－m＝0無實根．(假命題)(2)否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)．(假命題)命題否定：若x、y都是奇數(shù)，則x＋y不是奇數(shù)．(真命題)(3)否命題：若abc≠0，則a、b、c全不為0.(真命題)命題否定：若abc＝0，則a、b、c全不為0.(假命題)第31頁[點評]命題否定形式及否命題是兩個不一樣概念，要注意區(qū)分，不能混同．從形式上看，否命題既否定條件，又否定結(jié)論，而命題否定，條件不變，只否定結(jié)論.第32頁[例5]已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a、b∈R，對命題“假如a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)寫出其否命題，判斷其真假，并證實你結(jié)論．(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證實你結(jié)論．第33頁[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①給出一個詳細命題，②寫出它否命題及逆否命題，判斷其真假并證實．解答這類題關(guān)鍵是依據(jù)命題特點，選擇適當(dāng)證實方法．第34頁[解析]

(1)①否命題：假如a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)為真命題．②當(dāng)a＋b<0時，a<－b，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．∴f(a)<f(－b)，又由a＋b<0，可知b<－a，同理f(b)<f(－a)，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即“a＋b<0?f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”成立．第35頁(2)逆否命題：假如f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.真命題．因為一個命題和它逆否命題等價，所以可證實原命題為真命題．因為a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，又因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命題為真．[點評]當(dāng)直接證實一個命題真假有困難時，往往需轉(zhuǎn)化為證實其逆否命題真假，如原命題是全稱命題或存在性命題，或原命題是以否定形式給出時候，往往會采取這種思緒．第36頁已知函數(shù)y＝f(x)是R上增函數(shù)，對a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，證實a＋b≥0.[證實]

原命題逆否命題為：若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下證實其逆否命題：若a＋b<0，則a<－b，b<－a.又因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－b)＋f(－a)，逆否命題為真命題．又因為原命題和逆否命題同真同假，得證．第37頁第38頁[例6]寫出命題“已知a、b、c、d是實數(shù)，假如a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d”逆命題、否命題，并證實它們真假．[誤解]

逆命題：假如a＋c＝b＋d，則a、b、c、d是實數(shù)，且a＝b，c＝d.假命題．否命題：假如a、b、c、d不是實數(shù)，a≠b，c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題．[辨析]

上述解法沒有搞清命題條件，將大前提“a、b、c、d是實數(shù)”充當(dāng)了條件．第39頁[正解]逆命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，假如a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d.假命題．否命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，假如a≠b，c≠d，則a＋c≠b＋d.假命題．第40頁一、選擇題1．命題“兩條對角線相等四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等四邊形”(

)A．逆命題 B．否命題C．逆否命題 D．無關(guān)命題[答案]

A[解析]

依據(jù)逆命題定義．第41頁2．命題“對頂角相等”與它逆命題、否命題、逆否命題中，真命題是(

)A．上述四個命題 B．原命題與逆命題C．原命題與逆否命題 D．逆命題是否命題[答案]

C[解析]

∵命題“對頂角相等”逆命題“相等角是對頂角”