2024屆河南省TOP二十名校高三下學(xué)期4月沖刺（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁2024屆高三年級TOP二十名校沖刺一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．4．本卷命題范圍：高考范圍．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計算出答案.【詳解】因為，所以．故選：C．2.已知集合，則中元素的個數(shù)為（）A.9 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】利用列舉法表示出集合A，再求出并集即可得解.【詳解】依題意，解不等式，得，，而，因此，所以中元素的個數(shù)為8．故選：B3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，所以．故選：C．4.函數(shù)與直線相切于點，則點的橫坐標(biāo)為（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出，求導(dǎo)，直線的斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，求出橫坐標(biāo)詳解】設(shè)函數(shù)與直線相切于點，直線的斜率為，，所以，所以．故選：B．5.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解.詳解】由，即，所以．故選：C．6.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡得，當(dāng)時，即，則直角三角形；當(dāng)時，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.7.如圖是某質(zhì)點作簡諧運動的部分圖象，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系式是，其中，振幅為2，則前3秒該質(zhì)點走過的路程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，分別令、和，求得相應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而求得前3秒該質(zhì)點走過的路程，得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，周期為，可得，所以，因為在函數(shù)圖象上，可得，即，又因為，所以，因為時，，所以，所以，令，則，故函數(shù)圖像在軸右側(cè)第一條對稱軸和第二條對稱軸分別為,令，則；令，則；令，則，所以質(zhì)點在的路程分別，所以前3秒該質(zhì)點走過的路程為.故選：D8.已知點在水平面內(nèi)，從出發(fā)的三條兩兩垂直的線段位于的同側(cè)，若到的距離分別為，則的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】以為空間的一個基底，由此表示出平面的單位法向量，再利用數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】由兩兩垂直，取空間的一個基底，設(shè)是平面的一個單位法向量，依題意，可使與的夾角都是銳角，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，顯然在方向上的投影向量的長度分別為，于是，即，則，即，同理，因此，而，所以，因此，所以．故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵，解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某研究機(jī)構(gòu)為了探究過量飲酒與患疾病真否有關(guān)，調(diào)查了400人，得到如圖所示的列聯(lián)表，其中，則（）患疾病不患疾病合計過量飲酒不過量飲酒合計400參考公式與臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A.任意一人不患疾病的概率為0.9B.任意一人不過量飲酒的概率為C.任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為D.依據(jù)小概率值獨立性檢驗，認(rèn)為過量飲酒與患疾病有關(guān)【答案】ACD【解析】【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判斷AB，利用條件概率概念求解判斷C，求出的觀測值，即可判斷D.【詳解】由已知得，又，所以.任意一人不患疾病的概率為，所以A正確；任意一人不過量飲酒的概率為，所以B錯誤；任意一人在不過量飲酒的條件下不患疾病的概率為，所以C正確；對于D，列聯(lián)表如下：

患疾病不患疾病合計過量飲酒30120150不過量飲酒10240250合計40360400則的觀測值，由于，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為過量飲酒與患疾病有關(guān)，所以D正確.故選：ACD10.已知橢圓的左，右焦點分別為，將上所有點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別伸長到原來的倍得到橢圓，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若的離心率分別為，則C.若的周長分別為，則D.若的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為，則的離心率為【答案】AB【解析】【分析】利用糖水不等式判斷選項A；根據(jù)橢圓離心率的定義式判斷選項B；利用相似圖形的相似比即可判斷出選項C；綜合運用橢圓的幾何性質(zhì)和四邊形的面積公式判斷選項D即可.【詳解】設(shè)點為橢圓上任意一點，則由題意知，即，代入橢圓的方程得.所以橢圓的方程為.因為，所以，所以正確；由已知得，，所以正確；由已知得，，其相似比為，所以，所以，因為，所以錯誤；設(shè)，因為的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，所以，所以，所以，所以，所以(負(fù)舍)，所以D錯誤．故選：．11.將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（）A.可以取到中的任意一個值B.C.的值可以是任意小的正數(shù)D.【答案】BCD【解析】【分析】先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，由與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，故B正確；當(dāng)點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，故A錯誤；令，所以，所以，另，解得兩根，所以，所以在時單調(diào)遞減，所以，，故CD正確；故選：BCD．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查運用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，難度較大，解決問題的關(guān)鍵在于先畫出平面圖，得到圓柱的底面半徑，高為，代入圓柱體積公式求解，再令，利用導(dǎo)數(shù)求最值.三?填空題：本題共3小題；每小題5分，共15分．12.若，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】利用向量夾角余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】．故答案為：13.如圖是一個水平放置在某地的三棱臺型集雨器，已知上?下底的面積分別為和，高為.現(xiàn)在搜集到的雨水平面與上?下底面的距離相等，則該地的降雨量為______.（降雨量等于集雨器中積水體積除以集雨器口的面積）【答案】【解析】【分析】將三棱臺補(bǔ)成三棱錐，求得三棱錐的體積為，再設(shè)和的體積分別為，結(jié)合則，求得和，根據(jù)，即可求解.【詳解】如圖所示，將三棱臺補(bǔ)成三棱錐，設(shè)三棱錐的高為，則，解得，所以三棱錐的體積為，再設(shè)的體積分別為，則，所以，所以，同理，所以，所以該地的降雨量為.故答案為：.14.若點在拋物線上運動，點在圓上運動，，則的最小值為__________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線焦半徑得到，利用兩點間距離公式得到，根據(jù)得到，變形得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】拋物線的焦點的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，為圓的圓心，圓的半徑為，設(shè)點，則由拋物線的定義得，，由三角形三邊關(guān)系得到，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立，所以，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為2．故答案為：2【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟．15.在直四棱柱中，底面為矩形，，分別為底面的中心和的中點，連接．（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，即，進(jìn)而得到平面，證明出面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用法向量的夾角余弦公式求出答案.【小問1詳解】因為分別為底面的中心和的中點，所以，因為平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】以為空間坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得，所以，又，設(shè)平面與平面的法向量分別為，所以，解得，令，則，故，所以，解得，令，則，故，因為，所以，設(shè)平面與平面所成角的大小為，所以．16.某公司擬從水平相當(dāng)?shù)钠胀ǔ绦騿T中籃選出若干高級程序員，方法如下：首輪每位普通程序員被要求設(shè)計難度相同的甲?乙?丙?丁四種程序，假設(shè)每位普通程序員每種設(shè)計合格的概率都為，其中四種設(shè)計全部合格直接晉升為高級程序員；至少有兩種（包括兩種）“不合格”的直接被淘汰，否則被要求進(jìn)行二輪設(shè)計：在三種難度不同的程序中隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行設(shè)計，且抽取的兩種設(shè)計都合格方可晉升為高級程序員．已知每位普通程序員設(shè)計合格的概率分別為，同一普通程序員不同的設(shè)計相互不影響．（1）已知設(shè)計合格的得分分別為，不合格得0分，若二輪設(shè)計中隨機(jī)抽取到的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求每位普通程序員晉升為高級程序員的概率．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】（1）的可能取值為，分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）綜合運用互斥事件的概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式求解即可.【小問1詳解】的可能取值為，由題意知，，，的分布列為090100190．【小問2詳解】因為同一普通程序員不同的設(shè)計相互不影響，所以每位普通程序員晉升為高級程序員的概率為．17.在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為，以為圓心作一個半徑為4的圓，點是圓上一動點，線段的重直平分線與直線相交于點．（1）求的軌跡的方程；（2）已知，點是軌跡在第一象限內(nèi)的一點，為的中點，若直線的斜率為，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)及雙曲線的定義可得答案；（2）利用中點公式和的斜率為建立方程組，求解方程組可得答案.【小問1詳解】由題意可知，點在線段的垂直平分線上，所以，又點是圓上一動點，所以．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，所以的軌跡滿足，根據(jù)雙曲線定義可知，點的軌跡是以為左?右焦點，實軸長為的雙曲線，可得，所以的軌跡的方程為．【小問2詳解】設(shè)，所以，因為直線的斜率為，所以，即，與聯(lián)立解得（舍去）或3．所以點的坐標(biāo)為．18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)和分類討論，解導(dǎo)函數(shù)不等式即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論知，令得，結(jié)合對數(shù)運算累加法即可證明.【小問1詳解】的定義域為.，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，時，在上是增函數(shù)．時，在上是減函數(shù)，時，在上是增函數(shù).【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，即當(dāng)時，，所以，令得，，即，所以，得證.19.在等差數(shù)列中，已知成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列是否為等比數(shù)列？若是求其前項和，若不是，請說明理由；（3）設(shè)，且，求所有取值．【答案】（1）（2）是等比數(shù)列，（3）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義