2025屆高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)：新高考數(shù)學(xué)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）解題方法

2025屆高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)

新高考數(shù)學(xué)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）求解方法（一）放縮（2024·廣州一模）已知函數(shù)，.（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（二次求導(dǎo)后放縮）（2024·鄭州一模）設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）證明：.（三角放縮+裂項(xiàng)）（變式）設(shè)函數(shù).（1）求的極值；（2）求證：.（2024·紹興二模）已知.（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（以a和sinx放縮）（二）同構(gòu)（2022·新高考I卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（典型同構(gòu)式）（2024·重慶調(diào)研）若對(duì)任意，恒成立，則a的取值范圍是.（指對(duì)數(shù)互換式同構(gòu)）已知函數(shù)，，.（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求a的取值范圍.（不完全同構(gòu)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，表示的前n項(xiàng)和，則.若函數(shù)f(x)是定義域在R上的連續(xù)函數(shù)，且f[lnf(x)]=(x2+lnxx)ex（x>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則f(ln2024)=A.2024e2024 B.ln2024e C.ln20242024e D.ln20242024（2024·南昌二模）已知且.（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（典型同構(gòu)式）（三）隱零點(diǎn)已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，求b的取值范圍.（典型隱零點(diǎn)問題）（2024·湖麗衢二模）設(shè)函數(shù)，.（2）若對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（四）換元求導(dǎo)（2023·全國甲卷·理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)，.（2）若，求a的取值范圍.（二倍角+換元求導(dǎo)）（2024·南寧一模）已知函數(shù)，.設(shè)，，求證：.（指對(duì)數(shù)互換+換元）（2024·開封二模）已知函數(shù)，.（2）若方程在上存在實(shí)根，試比較與的大小.（嵌套函數(shù)+換元求導(dǎo)）（變式）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.（五）必要性探路（2024·臺(tái)州二模）已知關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（必要性探路）（變式）已知，.（1）若，設(shè)，求h(x)的極值；（2）若f(x)和g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，求證：.2024年新高考數(shù)學(xué)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）求解方法專題整理注：原題和答案經(jīng)編者重構(gòu)以適應(yīng)各專題方法（一）放縮（2024·廣州一模）已知函數(shù)，.（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（二次求導(dǎo)后放縮）【答案】令，.因?yàn)?，所以?所以，，，得證.（2024·鄭州一模）設(shè).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）證明：.（三角放縮+裂項(xiàng)）【答案】（1）求導(dǎo)得.令，，所以，所以，.（2）由三角放縮（第一小問已證）得.由（1）得當(dāng)時(shí)，，即，.令，則.所以左邊.（變式）設(shè)函數(shù).（1）求的極值；（2）求證：.【答案】（1）定義域.，.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以有極小值；無極大值.（2）構(gòu)造函數(shù).先證和（證明略），得，所以.由（1）得當(dāng)時(shí)，，即.所以.（2024·紹興二模）已知.（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（以a和sinx放縮）【答案】當(dāng)時(shí)，.①，.令，，.所以，，符合題意.②，，，所以單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上所述，.（二）同構(gòu)（2022·新高考I卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（典型同構(gòu)式）【答案】（1）令，.令，.所以，.（2），.設(shè)交點(diǎn)從左到右分別為，.畫出圖象（具體求導(dǎo)過程略）：因?yàn)?，所?因?yàn)椋?；因?yàn)椋?因?yàn)?，所?，所以，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（2024·重慶調(diào)研）若對(duì)任意，恒成立，則a的取值范圍是.（指對(duì)數(shù)互換式同構(gòu)）【答案】【解析】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，因?當(dāng)時(shí)，，即.令，，單調(diào)遞增.所以，.令，令，.所以.已知函數(shù)，，.（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求a的取值范圍.（不完全同構(gòu)）【答案】由題意得，即，，.令，，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以.令，即，.設(shè)，，.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，表示的前n項(xiàng)和，則.【答案】【解析】由題可知，.設(shè)，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減.所以，.所以.所以，即.若函數(shù)f(x)是定義域在R上的連續(xù)函數(shù)，且f[lnf(x)]=(x2+lnxx)ex（x>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則f(ln2024)=A.2024e2024 B.ln2024e C.ln20242024e D.ln20242024【答案】D【解析】由題意得f[lnf(x)]=(x2+lnxx)ex=(x2+xlnx)ex=xex(x+lnx)=elnxex(x+lnx)=ex+lnx(x+lnx).出現(xiàn)相同項(xiàng)x+lnx，可知lnf(x)=x+lnx=lnex+lnx=lnxex，易得f(x)=xex.代入函數(shù)f(x)得f(ln2024)=ln2024×eln2024=2024ln2024=ln20242024.（2024·南昌二模）已知且.（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（典型同構(gòu)式）【答案】，兩邊取對(duì)數(shù)得，即設(shè)，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即上式等價(jià)于，由在單調(diào)遞減，所以.（三）隱零點(diǎn)已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，求b的取值范圍.（典型隱零點(diǎn)問題）【答案】定義域.當(dāng)時(shí)，，即.令，.令，，所以單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以存在?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?所以.（2024·湖麗衢二模）設(shè)函數(shù)，.（2）若對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】定義域.設(shè)，.因?yàn)椋粤?，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，且時(shí)，.所以存在使得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所?設(shè)，恒成立，.所以，即.代回得.（四）換元求導(dǎo)（2023·全國甲卷·理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)，.（2）若，求a的取值范圍.（二倍角+換元求導(dǎo)）【答案】設(shè)，.設(shè)，設(shè)，，單調(diào)遞減，.①：，單調(diào)遞減，，符合題意.②：存在使.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，不符合題意.綜上所述，.（2024·南寧一模）已知函數(shù)，.設(shè)，，求證：.（指對(duì)數(shù)互換+換元）【答案】要證，即證.設(shè)，，即證.因?yàn)?，所?設(shè)，即，，即證.因?yàn)?，，，所?設(shè)，.設(shè)，，單調(diào)遞減，.所以，.（2024·開封二模）已知函數(shù)，.（2）若方程在上存在實(shí)根，試比較與的大小.（嵌套函數(shù)+換元求導(dǎo)）【答案】對(duì)求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.①，單調(diào)遞增，，或0，不符合題意；②，設(shè)實(shí)根為，，化簡得.設(shè)，即.設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，，單調(diào)遞增；令，，單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以存在使，符合題意.所以..設(shè)，，單調(diào)遞增.所以.（變式）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）定義域..若，，單調(diào)遞增；若，令，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，無解，不符合題意.當(dāng)時(shí)，.令，設(shè)，.若，，單調(diào)遞減，，不符合題意；若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，注意到，所以是在上有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件，即，.所以.因?yàn)?，，所?（五）必要性探路（2024·臺(tái)州二模）已知關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（必要性探路）【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.令，，.設(shè)，恒成立，單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?下證當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立：，符合原不等式，故.（變式）已知，.（1）若，設(shè)，求h(x)的極值；（2）若f(x)和g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，求證：.【答案】（1）定義域.因?yàn)?，?令，解得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，，單調(diào)遞增.所以