新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章對(duì)稱與最值問題培優(yōu)練習(xí)題

O0??

對(duì)稱與最值問題

一\對(duì)稱問題

1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于點(diǎn)A(m,附)的對(duì)稱點(diǎn)P(x1了)可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，由

‘xo+x'

m~2，fx,=2m—xo,

<得

yo+y'\y'=,2n—yo.

、"=2，

2.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)關(guān)于直線Ax+3y+C=0的對(duì)稱點(diǎn)為P\x',/),則線段PP的

中點(diǎn)在已知直線上且直線PP與已知直線垂直.

xo+x'yo+y'

A-+A+C=0,

22解此方程組可得x',y,即得點(diǎn)P的坐標(biāo).

{A(/—yo)—B(V—xo)=0,

3.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

直線Ax+5y+C=0關(guān)于點(diǎn)P(xo,yo)的對(duì)稱直線的方程的求法：求出直線上

的兩個(gè)特殊點(diǎn)M,N關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)AT,V的坐標(biāo)，則直線的方程即為所

求的直線方程.

4.直線關(guān)于直線對(duì)稱

(1)若已知直線人與已知對(duì)稱軸相交，則交點(diǎn)必在與直線/1對(duì)稱的直線上上，

然后求出直線上其他任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，由兩點(diǎn)式寫出直線/2的方

程.

(2)若已知直線Z1與已知對(duì)稱軸平行，則直線/1關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的直線/2與直

線4平行，可以利用直線/1與對(duì)稱軸間的距離等于直線與對(duì)稱軸間的距離求解.

類型1中心對(duì)稱問題

血TH(1)求點(diǎn)P(xo,沖)關(guān)于點(diǎn)A(a,份的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求直線3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)(2,—1)的對(duì)稱直線I的方程.

【解】(1)根據(jù)題意可知點(diǎn)A(a,勿為PP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(無，y),

〃x+xo

a=-2-，

則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得＜一

y+yo

b=2，

x=2a—xo,

所以彳,

[y=2b—yo.

所以點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(2〃一%o,2b—yo).

(2)方法一：設(shè)直線/上任意一點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,y),則此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,-1)

的對(duì)稱點(diǎn)為Mi(4—x,—2—y),

且Mi在直線3x—y—4=0上，

所以3(4—%)—(―2—y)—4=0,

即3x—y—10=0.

所以所求直線I的方程為3x—y—10=0.

方法二：在直線3x—y—4=0上取兩點(diǎn)A(0,-4),BQ,-1),

則點(diǎn)A(0,—4)關(guān)于點(diǎn)(2,—1)的對(duì)稱點(diǎn)為4(4,2),

點(diǎn)3(1,—1)關(guān)于點(diǎn)(2,—1)的對(duì)稱點(diǎn)為31(3,-1).

可得直線All的方程為3x—y—10=0,

即所求直線I的方程為3x—y—10=0.

方法三：由平面幾何知識(shí)易知所求直線I與直線3x—y—4=0平行，

則可設(shè)/的方程為3x—y+c=0(cW—4).

在直線3x—y—4=0上取一點(diǎn)(0,-4),

則點(diǎn)(0,—4)關(guān)于點(diǎn)(2,—1)的對(duì)稱點(diǎn)(4,2)在直線3x—y+c=0上，

所以3X4—2+c=0,所以c=-10.

所以所求直線I的方程為3x—y—10=0.

類型2軸對(duì)稱問題

血向已知直線Z：y=3x+3,求：

(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)直線尸x—2關(guān)于I的對(duì)稱直線的方程.

【解】(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為「‘a(chǎn)'，y),則線段尸尸,的中點(diǎn)在直

線/上，且直線PP垂直于直線/,

y+5x'+4

=3X-y-+3,

即＜

y一5

X3=-l,

x'—4

x'=—2,

解得，7

〔y=7.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一2,7).

「5

y=3x+3,x=一

(2)解方程組，得＜一

y=x-2,才9

9=力

則點(diǎn)(一,，—在所求直線上.

在直線y=x—2上任取一點(diǎn)M(2,0),

設(shè)點(diǎn)〃關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為M'(xo,泗),

-yoXo+2r17

■^-=3X-^—+3,xo=一歹,

則5解得j9

恐*3一,

70=5-

(179、

點(diǎn)叫一手也在所求直線上.

9,5

由兩點(diǎn)式得直線方程為^g=

5+2-T+2

化簡得7x+y+22=0,即為所求直線方程.

二、最值問題

與直線有關(guān)的最值問題，首先根據(jù)所求式子的特征確定其幾何意義，將問題

轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離等，并分析點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，從而確

定最值.

類型1由點(diǎn)到直線的距離求最值

題3］已知實(shí)數(shù)x,y滿足6x+8y—1=0,求勺%2+,2-2,+1的最小值.

【角星】因?yàn)?，^+產(chǎn)―2y+1(x—0)2+(^—1)2,

所以上式可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)N(0,1)的距離，

即為點(diǎn)N到直線/:6x+8y—1=0上任意一點(diǎn)M(x,y)的距離，

所以|MN|的最小值應(yīng)為點(diǎn)N到直線/的距離，

18-117

即|MN|min=d=114第=10-

類型2由兩平行線的距離求最值

題4］已知m,n,a,bGR,且滿足3m+4〃=6,3。+4Z?=1,求

1(m-a)2+(〃一方)2的最小值.

【解】取點(diǎn)尸(機(jī)，ri),Q(Q,b),則，(加一。)2+(n—b)2=\PQ\,

由已知3根+4〃=6,3〃+46=1,

可得點(diǎn)P在直線h:3%+4歹一6=0上，

點(diǎn)Q在直線b：3x+4y—1=0上.

顯然兩直線平行，所以|尸。|的最小值就是兩平行線之間的距離，即

|—1—(—6)|

^+4^=1-

類型3利用對(duì)稱求最值

的15］在直線/：%—y—1=0上求兩點(diǎn)尸，Q.使得:

(1)P到A(4,1)與5(0,4)的距離之差最大；

(2)。到A(4,1)與。(3,0)的距離之和最小.

X—y—1=0

//1一

°/'%，%

【解】⑴如圖,設(shè)點(diǎn)B關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)》的坐標(biāo)為(a,b),連接BB',則

6—4

kBB'*ki=—1,即Xl=—1,

a

所以〃+~—4=0,①

a"4

因?yàn)樗沟闹悬c(diǎn)信—在直線I上,

d6+4

所以］一—2——1—0?即u—b—6—0.②

〃=5,

由①②得,

b=—1,

所以點(diǎn)8的坐標(biāo)為(5,-1).

y—1

于是A夕所在直線的方程為「一7=丁=，即2%+y—9=0.

易知||尸3|一|網(wǎng)|=||P3，H網(wǎng)|,

當(dāng)且僅當(dāng)P,B',A三點(diǎn)共線時(shí)，

||尸夕|一|網(wǎng)|最大.

所以聯(lián)立直線I與A股的方程，

“厘107

解得％=至,y=3，

即I與A股的交點(diǎn)坐標(biāo)為厚，§.

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為律，g.

(2)如圖，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為C,可求得C的坐標(biāo)為(1,f

所以AC所在直線的方程為x+3y—7=0.u\c

易知1。川+1。。1=1。川+1。。，當(dāng)且僅當(dāng)Q,A,C三點(diǎn)共線時(shí)，|24|十|。。

最小.

,53

所以聯(lián)立直線AC與/的方程，解得x=],y=2，

'53'

即AC與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為區(qū)，2,

‘53'

故點(diǎn)。的坐標(biāo)為2,2,

?裳試訓(xùn)練

1.已知點(diǎn)A(Q+2,b+2),B(b—a,—b)關(guān)于直線4x+3y—11=0對(duì)稱，則

實(shí)數(shù)mb的值分別為()

A.11,2B.4,—2

C.2,4D.4,2

3

解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)A,5關(guān)于直線4%+3y—11=0對(duì)稱，所以總,即

b+2—忘(b+2、

(—Z?)=3

a+2—{b—a)4①，又A5的中點(diǎn);萬一，1J在直線4冗+3y—H=0上,

〃=4

所以23+2)+3=11②，由①②得〈'故選D.

b=2.

2.已知M(4,-1),若點(diǎn)P是直線/：y=2%+3上的任意一點(diǎn)，則1PM的最

小值為()

124

A.275B.

17

12班

C.5

解析：選C.|PM的最小值是點(diǎn)M到直線I:2x-y+3=0的距離d=

|2X：_(—1)13|12小

^22+(-1)25

3.點(diǎn)P(—3,4)關(guān)于直線x+y—2=0的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-2,5)

C.(2,-5)D.(4,—3)

fa-36+4

「

-o2~~2—-2=0,a=—02,

解析：選B.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,勿，《八.解得二「

b—4〔。=5,

tz+3，

即。(一2,5).

4.與直線2》+3y—6=0關(guān)于點(diǎn)(1,—1)對(duì)稱的直線方程是()

A.3x—2y+2=0B.2x+3y+7=0

C.3x—2y—12=0D.2x+3y+8=0

解析：選D.由平面幾何知識(shí)易知所求直線與已知直線2x+3y—6=0平行，

則可設(shè)所求直線方程為2x+3y+C=0(CW—6).

在直線2x+3y—6=0上任取一點(diǎn)(3,0),關(guān)于點(diǎn)(1,—1)的對(duì)稱點(diǎn)為(一1,

-2),

貝I點(diǎn)(-1,—2)必在所求直線上，

所以2X(—1)+3X(—2)+C=0,解得C=8.

所以所求直線方程為2x+3y+8=0.

5.若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線Zi：x+y-7=0和b：x+y-5=0上移動(dòng)，則

AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.372B.272

C.35D.4^2

解析：選A.依題意知A3的中點(diǎn)M構(gòu)成的集合為：與直線/i：x+y—7=0和

h:x+y—5=0的距離都相等的直線，記為/,則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為

原點(diǎn)到直線/的距離.

|m+7|\m+5\

設(shè)直線/的方程為％+y+加=0(加#—7且加W—5),則一爽--爽,即

|m+7|=|m+5|,解得加=—6,所以/:尤+y—6=0.

I-6|

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得A5的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為不=

372.

6.已知點(diǎn)A(3,-1),