通信原理第十二章正交編碼與偽隨機序列

通信原理第十二章正交編碼與偽隨機序列通信原理第12章正交編碼與偽隨機序列第2頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列引言 正交編碼與偽隨機序列在數(shù)字通信技術中都是十分重要的。正交編碼不僅可以用作糾錯編碼，還可以用來實現(xiàn)碼分多址通信，目前已經廣泛用于蜂窩網中。偽隨機序列在誤碼率測量、時延測量、擴譜通信、密碼及分離多徑等方面都有著十分廣泛的應用。因此，本章將在簡要討論正交編碼概念之后，著重討論偽隨機序列及其應用。第3頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.2正交編碼12.2.1正交編碼的基本概念正交性若兩個周期為T的模擬信號s1(t)和s2(t)互相正交，則有 同理，若M個周期為T的模擬信號s1(t)，s2(t)，…，sM(t)構成一個正交信號集合，則有互相關系數(shù)對于二進制數(shù)字信號，用一數(shù)字序列表示碼組。這里，我們只討論二進制且碼長相同的編碼。這時，兩個碼組的正交性可用如下形式的互相關系數(shù)來表述。

i

j；i,j＝1,2,…,M第4頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

設長為n的編碼中碼元只取值+1和-1，以及x和y是其中兩個碼組： 其中 則x和y間的互相關系數(shù)定義為 若碼組x和y正交，則必有

(x,y)=0。第5頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列正交編碼 例如，下圖所示4個數(shù)字信號可以看作是如下4個碼組： 按照互相關系數(shù)定義式計算容易得知， 這4個碼組中任意兩者之間的相關系數(shù) 都為0，即這4個碼組兩兩正交。我們 把這種兩兩正交的編碼稱為正交編碼。s1(t)s2(t)s3(t)s4(t)第6頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列自相關系數(shù)： 類似上述互相關系數(shù)的定義，可以對于一個長為n的碼組x定義其自相關系數(shù)為 式中，x的下標按模n運算，即有xn＋k

xk

。例如，設 則有第7頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列用二進制數(shù)字表示互相關系數(shù)在二進制編碼理論中，常采用二進制數(shù)字“0”和“1”表示碼元的可能取值。這時，若規(guī)定用二進制數(shù)字“0”代替上述碼組中的“＋1”，用二進制數(shù)字“1”代替“－1”，則上述互相關系數(shù)定義式將變?yōu)?式中，A—x和y中對應碼元相同的個數(shù)；

D—x和y中對應碼元不同的個數(shù)。例如，按照上式規(guī)定，上面例子可以改寫成第8頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列用二進制數(shù)字表示自相關系數(shù)上式中，若用x的j次循環(huán)移位代替y，就得到x的自相關系數(shù)

x(j)。具體地講，令

代入定義式 就得到自相關系數(shù)

x(j)。第9頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列超正交碼和雙正交碼超正交碼：相關系數(shù)

的取值范圍在

1之間，即有-1

+1。若兩個碼組間的相關系數(shù)

<0，則稱這兩個碼組互相超正交。如果一種編碼中任兩碼組間均超正交，則稱這種編碼為超正交碼。例如，在上例中，若僅取后3個碼組，并且刪去其第一位，構成如下新的編碼： 則不難驗證，由這3個碼組所構成的編碼是超正交碼。第10頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列雙正交編碼

由正交編碼和其反碼便可以構成雙正交編碼。例：上例中正交碼為 其反碼為 上兩者的總體即構成如下雙正交碼：

(0,0,0,0) (1,1,1,1)(0,0,1,1)(1,1,0,0) (0,1,1,0) (1,0,0,1)(0,1,0,1)(1,0,1,0)

此碼共有8種碼組，碼長為4，任兩碼組間的相關系數(shù)為0或－1。第11頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.2.2阿達瑪矩陣定義：阿達瑪矩陣簡記為H矩陣。它是一種方陣，僅由元素+1和－1構成，而且其各行（和列）是互相正交的。最低階的H矩陣是2階的，即 下面為了簡單，把上式中的＋1和－1簡寫為＋和－，這樣上式變成第12頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

階數(shù)為2的冪的高階H矩陣可以從下列遞推關系得出

H

N＝H

N/2

H

2

式中，N

＝2m；

－直積。 上式中直積是指將矩陣HN/2中的每一個元素用矩陣H2代替。例如：第13頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列上面給出幾個H矩陣的例子，都是對稱矩陣，而且第一行和第一列的元素全為“＋”。我們把這樣的H矩陣稱為阿達瑪矩陣的正規(guī)形式，或稱為正規(guī)阿達瑪矩陣。第14頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列性質在H矩陣中，交換任意兩行，或交換任意兩列，或改變任一行中每個元素的符號，或改變任一列中每個元素的符號，都不會影響矩陣的正交性質。因此，正規(guī)H矩陣經過上述各種交換或改變后仍為H矩陣，但不一定是正規(guī)的了。按照遞推關系式可以構造出所有2k階的H矩陣?？梢宰C明，高于2階的H矩陣的階數(shù)一定是4的倍數(shù)。不過，以4的倍數(shù)作為階數(shù)是否一定存在H矩陣，這一問題并未解決。

H矩陣是正交方陣。若把其中每一行看作是一個碼組，則這些碼組也是互相正交的，而整個H矩陣就是一種長為n的正交編碼，它包含n個碼組。因為長度為n的編碼共有2n個不同碼組，現(xiàn)在若只將這n個碼組作為準用碼組，其余(2n-n)個為禁用碼組，則可以將其多余度用來糾錯。這種編碼在糾錯編碼理論中稱為里德-繆勒(Reed-Muller)碼。第15頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.2.3沃爾什函數(shù)和沃爾什矩陣沃爾什函數(shù)定義式中p=0或1，j=0，1，2，

，及指數(shù)中的[j/2]表示取j/2的整數(shù)部分。正弦和余弦函數(shù)可以構成一個完備正交函數(shù)系。由于正弦和余弦函數(shù)具有完備和正交性，所以由其構成的無窮級數(shù)或積分（即傅里葉級數(shù)和傅里葉積分）可以表示任一波形。類似地，由取值“＋1”和“－1”構成的沃爾什函數(shù)也具有完備正交性，也可以用其表示任一波形第16頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列前8個沃爾什函數(shù)的波形示于下圖中+10+10-1+10-1+10-1+10-1+10-1+10-1+10-1第17頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列由于沃爾什函數(shù)的取值僅為“＋1”和“－1”，所以可以用其離散的抽樣值表示成矩陣形式。例如，上圖中的8個沃爾什函數(shù)可以寫成如下沃爾什矩陣：

由上圖和矩陣可以看出，沃爾什矩陣是按照每一行中“＋1”和“－1”的交變次數(shù)由少到多排列的。 沃爾什函數(shù)（矩陣）天生具有數(shù)字信號的特性，所以它們在數(shù)字信號處理和編碼理論中有不小應用前景。第18頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.3偽隨機序列12.3.1基本概念什么是偽隨機噪聲？ 具有類似于隨機噪聲的某些統(tǒng)計特性，同時又能夠重復產生的波形。優(yōu)點：它具有隨機噪聲的優(yōu)點，又避免了隨機噪聲的缺點，因此獲得了日益廣泛的實際應用。如何產生偽隨機噪聲？ 目前廣泛應用的偽隨機噪聲都是由周期性數(shù)字序列經過濾波等處理后得出的。在后面我們將這種周期性數(shù)字序列稱為偽隨機序列。它有時又稱為偽隨機信號和偽隨機碼。12.3.2m序列m序列的產生：m序列是最長線性反饋移位寄存器序列的簡稱。它是由帶線性反饋的移存器產生的周期最長的一種序列。第19頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列例：下圖中示出一個4級線性反饋移存器。 設其初始狀態(tài)為(a3,a2, a1,a0)=(1,0,0,0)，則 在移位1次時，由a3和

a0模2相加產生新的輸入

a4=1

0=1，新的狀 態(tài)變?yōu)?a4,a3,a2,a1)=( 1, 1,0,0)。這樣移位15

次后又回到初始狀態(tài)(1, 0,0,0)。 若初始狀態(tài)為全“0”，即

(0,0,0,0)，則移位后得 到的仍為全“0”狀態(tài)。應 該避免出現(xiàn)全“0”狀態(tài)， 否則移存器的狀態(tài)將不 會改變。第20頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

因為4級移存器共有24=16種可能的狀態(tài)。除全“0”狀態(tài)外，只剩15種狀態(tài)可用。這就是說，由任何4級反饋移存器產生的序列的周期最長為15。 我們常常希望用盡可能少的級數(shù)產生盡可能長的序列。由上例可見，一般來說，一個n級線性反饋移存器可能產生的最長周期等于(2n-1)。我們將這種最長的序列稱為最長線性反饋移存器序列，簡稱m序列。 反饋電路如何連接才能使移存器產生的序列最長，這就是本節(jié)將要討論的主題。第21頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列一般的線性反饋移存器原理方框圖 圖中各級移存器的狀態(tài)用ai表示，ai=0或1，i

＝整數(shù)。 反饋線的連接狀態(tài)用ci表示，ci＝1表示此線接通（參加反饋）；ci＝0表示此線斷開。 反饋線的連接狀態(tài)不同，就可能改變此移存器輸出序列的周期p。第22頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列基本的關系式遞推方程

設一個n級移存器的初始狀態(tài)為：a－1

a－2

a－n，經過1次移位后，狀態(tài)變?yōu)閍0

a－1

a－n＋1。經過n次移位后，狀態(tài)為an－1

an－2

a0，上圖所示就是這一狀態(tài)。再移位1次時，移存器左端新得到的輸入an，按照圖中線路連接關系，可以寫為 因此，一般說來，對于任意一個輸入ak，有 －稱為遞推方程

它給出移位輸入ak與移位前各級狀態(tài)的關系。按照遞推方程計算，可以用軟件產生m序列，不必須用硬件電路實現(xiàn)。第23頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列特征方程（特征多項式）

ci的取值決定了移存器的反饋連接和序列的結構，故ci是一個很重要的參量。現(xiàn)在將它用下列方程表示： －特征方程 式中xi僅指明其系數(shù)（1或0）代表ci的值，x本身的取值并無實際意義，也不需要去計算x的值。例如，若特征方程為 則它僅表示x0，x1和x4的系數(shù)c0＝c1＝c4＝1，其余的ci為0，即c2＝c3＝0。按照這一特征方程構成的反饋移存器就是上圖所示的。第24頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列母函數(shù) 我們也可以將反饋移存器的輸出序列{ak}用代數(shù)方程表示為 上式稱為母函數(shù)。遞推方程、特征方程和母函數(shù)就是我們要建立的3個基本關系式。下面的幾個定理將給出它們與線性反饋移存器及其產生的序列之間的關系。第25頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列定理

【定理12.1】

式中，h(x)為次數(shù)低于f(x)的次數(shù)的多項式。

【證】將遞推方程代入母函數(shù)，得到 移項整理后，得到第26頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

將上式右端用符號h(x)表示，并因c0

1，故上式變成 式中 由此式可以看出，當電路給定后，h(x)僅決定于初始狀態(tài)(a-i

a-1)。 再將特征方程代入上式，最后得出第27頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

在 中，若a－1=1，則h(x)的最高次項為xn-1；若a－1=0，則最高項次數(shù)<(n–1)，所以我們得知h(x)的最高項次數(shù)

(n–1)，而f(x)的最高項次數(shù)=n，因為已規(guī)定cn＝1，特征方程中最高項為xn。故h(x)的次數(shù)必定低于f(x)的次數(shù)?！咀C畢】第28頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 【定理12.2】一個n級線性反饋移存器之相繼狀態(tài)具有周期性，周期為p

2n－1。

【證】線性反饋移存器的每一狀態(tài)完全決定于前一狀態(tài)。因此，一旦產生一狀態(tài)R，若它與以前的某一狀態(tài)Q相同，則狀態(tài)R后之相繼狀態(tài)必定和Q之相繼狀態(tài)相同，這樣就可以具有周期性。 在n級移存器中，每級只能有兩種狀態(tài)：“1”或“0”。故n級移存器最多僅可能有2n種不同狀態(tài)。所以，在連續(xù)(2n

+1)個狀態(tài)中必有重復。如上所述，一旦狀態(tài)重復，就有周期性。這時周期p

2n。 若一旦發(fā)生全“0”狀態(tài)，則后繼狀態(tài)也為全“0”，這時的周期p＝1。因此，在一個長的周期中不能包括全“0”狀態(tài)。所以周期p

(2n

-1)?！咀C畢】第29頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 【定理12.3】若序列A={ak

}具有最長周期(p=2n-1)，則其特征多項式f(x)應為既約多項式。

【證】所謂既約多項式是指不能分解因子的多項式。若一n次多項式f(x)能分解成兩個不同因子，則可令 這樣，式 可以寫成如下部分分式之和： 式中f1(x)的次數(shù)為n1，n1>0，

f2(x)的次數(shù)為n2，n2>0， 且有第30頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

令 則上式可以改寫成 上式表明，輸出序列G(x)可以看成是兩個序列G1(x)和G2(x)之和，其中G1(x)是由特征多項式f1(x)產生的輸出序列，G2(x)是由特征多項式f2(x)產生的輸出序列。而且，由定理12.2可知，G1(x)的周期為

G2(x)的周期為 所以，G(x)的周期p應是p1和p2的最小公倍數(shù)LCM[p1,p2]，即 上式表明，p一定小于最長可能周期(2n

-1)。 若f(x)可以分解成兩個相同的因子，即上面的f1(x)＝f2(x)，同樣可以證明p<2n－1。 所以，若f(x)能分解因子，必定有p<2n–1?！咀C畢】第31頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 【定理12.4】一個n級移存器的特征多項式f(x)若為既約的，則由其產生的序列A={ak}的周期等于使f(x)能整除的(xp+1)中最小正整數(shù)p。

【證】若序列A

具有周期p，則有 上式移項整理后，變成第32頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

由定理12.1可知，h(x)的次數(shù)比f(x)的低，而且現(xiàn)已假定f(x)為既約的，所以上式表明(xp+1)必定能被f(x)整除。 應當注意，此時序列A之周期p與初始狀態(tài)或者說與h(x)無關。當然，這里不考慮全“0”作為初始狀態(tài)。 上面證明了若序列A具有周期p，則(xp

+1)必能被f(x)整除。另一方面，若f(x)能整除(xp

+1)，令其商為 又因為在f(x)為既約的條件下，周期p與初始狀態(tài)無關，現(xiàn)在考慮初始狀態(tài)a－1＝a－2＝

＝a－n＋1＝0，a－n＝1，由式 可知，此時有h(x)=1。故有第33頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

上式表明，序列A以p或p的某個因子為周期。若A以p的某 個因子p1為周期，p1<p，則由式已經證明(xp1+1)必能被f(x)整除。所以，序列A之周期等于使f(x)能整除的中最小正整數(shù)p。 【證畢】第34頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列本原多項式定義：若一個n次多項式f(x)滿足下列條件：

f(x)為既約的；

f(x)可整除(xm+1)，m=2n

–1；

f(x)除不盡(xq+1)，q<m； 則稱f(x)為本原多項式。由定理12.4可以簡單寫出一個線性反饋移存器能產生m序列的充要條件為：反饋移存器的特征多項式為本原多項式。第35頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列【例】要求用一個4級反饋移存器產生m序列，試求其特征多項式。 這時，n=4，故此移存器產生的m序列的長度為m=2n–1=15。由于其特征多項式f(x)應可整除(xm+1)=(x15+1)，或者說，應該是(x15+1)的一個因子，故我們將(x15+1)分解因子，從其因子中找f(x)：

f(x)不僅應為(x15+1)的一個因子，而且還應該是一個4次本原多項式。上式表明，(x15+1)可以分解為5個既約因子，其中3個是4次多項式。可以證明，這3個4次多項式中，前2個是本原多項式，第3個不是。因為第36頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

這就是說，(x4+x3+x2+x+1)不僅可整除(x15+1)，而且還可以整除(x5+1)，故它不是本原的。于是，我們找到了兩個4次本原多項式：和。由其中任何一個都可以產生m序列，用作為特征多項式構成的4級反饋移存器就是上圖中給出的。本原多項式表 由上述可見，只要找到了本原多項式，我們就能由它構成m序列產生器。但是尋找本原多項式并不是很簡單的。經過前人大量的計算，已將常用本原多項式列成表備查。在下表中列出了部分已經找到的本原多項式。第37頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列n本原多項式n本原多項式代數(shù)式8進制表示法代數(shù)式8進制表示法2345678910111213x2+x+1x3+x+1x4+x+1x5+x2+1x6+x+1x7+x3+1x8+x4+x3+x2+1x9+x4+1x10+x3+1x11+x2+1x12+x6+x4+x+1x13+x4+x3+x+171323451032114351021201140051012320033141516171819202122232425x14+x10+x6+x+1x15+x+1x16+x12+x3+x+1x17+x3+1x18+x7+1x19+x5+x2+x+1x20+x3+1x21+x2+1x22+x+1x23+x5+1x24+x7+x2+x+1x25+x3+142103100003210013400011100020120000474000011100000052000000340000041100000207200000011第38頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

在制作m序列產生器時，移存器反饋線（及模2加法電路）的數(shù)目直接決定于本原多項式的項數(shù)。為了使m序列產生器的組成盡量簡單，我們希望使用項數(shù)最少的那些本原多項式。 由表可見，本原多項式最少有3項（這時只需要用一個模2加法器）。對于某些n值，由于不存在3項的本原多項式，我們只好列入較長的本原多項式。 由于本原多項式的逆多項式也是本原多項式，例如，(x15+1)的因子中的(x4+x+1)與(x4+x3+1)互為逆多項式，即10011與11001互為逆碼，所以在表中每一本原多項式可以組成兩種m序列產生器。第39頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

在一些書刊中，有時將本原多項式用8進制數(shù)字表示。我們也將這種表示方法示于此表中右側。例如，對于n=4表中給出“23”，它表示

2 3 010 011

c5c4c3

c2c1c0

即c0=c1=c4=1，c2=c3=c5=0。第40頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

m序列的性質均衡性 在m序列的一個周期中，“1”和“0”的數(shù)目基本相等。準確地說，“1”的個數(shù)比“0”的個數(shù)多一個。

【證】設一個m序列的周期為m=2n–1，則此序列可以表示為 由于此序列中任何相繼的n位都是產生此序列的n級移存器的一個狀態(tài)，而且此移存器共有m個不同狀態(tài)，所以可以把此移存器的這些相繼狀態(tài)列表，如下表所示。表中每一行為移存器的一個狀態(tài)。m個相繼的狀態(tài)構成此m序列的一個周期。由此表直接看出，最后一列的元素按自上而下排列次序就構成上式中的m序列。自然，其他各列也構成同樣的m序列，只是初始相位不同。第41頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列an-1an

an+i-1

an-2an-1

an-2an-1

an+i-2

an-3an-2

a2a3

ai+2

a1a2

a1a2

ai+1

a0a1

a0a1

ai

an-1a0

第42頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

因為此表中每一元素為一位2進制數(shù)字，即ai

(0,1)，i=0,1,

，(m-1)。所以表中每一位移存器狀態(tài)可以看成是一個n位2進制數(shù)字。這m個不同狀態(tài)對應1至(2n–1)間的m個不同的2進制數(shù)字。由于1和m=(2n–1)都是奇數(shù)，故1至(2n–1)間這m個整數(shù)中奇數(shù)比偶數(shù)多1個。在2進制中，奇數(shù)的末位必為“1”，偶數(shù)的末位必為“0”，而此末位數(shù)字就是表中最后一列。故表中最右列的相繼m個二進數(shù)字中“1”比“0”多一個。由于每列都構成一m序列，所以m序列中“1”比“0”多一個。 【證畢】第43頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列游程分布 我們把一個序列中取值相同的那些相繼的（連在一起的）元素合稱為一個“游程”。在一個游程中元素的個數(shù)稱為游程長度。例如，在前例中給出的m序列可以重寫如下： 在其一個周期（m個元素）中，共有8個游程，其中長度為4的游程有1個，即“1111”，長度為3的游程有1個，即“000”，長度為2的游程有2個，即“11”和“00”，長度為1的游程有4個，即兩個“1”和兩個“0”。 一般說來，在m序列中，長度為1的游程占游程總數(shù)的1/2；長度為2的游程占游程總數(shù)的1/4；長度為3的游程占1/8；...。

10001111010110010

m

＝15第44頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

嚴格講，長度為k的游程數(shù)目占游程總數(shù)的2-k，其中1

k(n-1)。而且在長度為k的游程中[其中1

k(n-2)]，連“1”的游程和連“0”的游程各占一半。下面我們就來證明游程的這種分布規(guī)律。

【證】在上表中，每一行有n個元素。我們考慮恰好含有連續(xù)k個“1”的那些行，它們具有形狀： 其中左側(k+2)個元素中兩端為“0”，中間全為“1”，這樣就保證恰好含有連續(xù)k個“1”，而右側的(n–2–k)個元素用“

”表示，它們可以任意取值“0”或“1”，不受限制。在上表的一個周期(m=2n–1行)中，符合上式形式的行的數(shù)目，按排列組合理論可知，等于2n–2–k

。

0111

10

k個(n–2–k)個（1

k

n–2)第45頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

由反饋移存器產生m序列的原理可知，形式如上式的一行中的k個“1”，必定經過逐次位移最后輸出，在輸出序列中構成長度為k的一個連“1”游程。反之，輸出序列中任何一個長度為k的連“1”游程，必然對應上表中這樣的一行。所以，在m序列一個周期中長度為k的連“1”游程數(shù)目也等于2n–k–2。 同理，長度為k的連“0”游程數(shù)目也等于2n–k–2。所以長度為k的游程總數(shù)（包括連“1”和連“0”的兩種游程）等于 在序列的每一周期中，長度在1

k

(n-2)范圍內的游程所包含的總碼元數(shù)等于 上式求和計算中利用了下列算術幾何級數(shù)公式：第46頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

因為序列的每一周期中共有(2n–1)個碼元，所以除上述碼元外，尚余(2n–1)–(2n–2n)=(2n–1)個碼元。這些碼元中含有的游程長度，從上表觀察分析可知，應該等于n和(n–1)，即應有長為n的連“1”游程一個，長為(n–1)的連“0”游程一個，這兩個游程長度之和恰為(2n–1)。并且由此構成的序列一個周期中，“1”的個數(shù)恰好比“0”的個數(shù)多一個。 最后，我們得到，在每一周期中，游程總數(shù)為 計算上式求和時，利用了下列等比級數(shù)公式： 所以，長度為k的游程占游程總數(shù)的比例為第47頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

由于長度為k=(n–1)的游程只有一個，它在游程總數(shù)2n-1中占的比例為1/2n-1=2-(n-1)，所以上式仍然成立。因此，可將上式改寫為 長度為k的游程所占比例=2-k，1

k

(n–1) 【證畢】第48頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列移位相加特性 一個m序列Mp與其經過任意次延遲移位產生的另一個不同序列Mr模2相加，得到的仍是Mp的某次延遲移位序列Ms，即

Mp

Mr

=Ms

現(xiàn)在分析一個m=7的m序列Mp作為例子。設Mp的一個周期為1110010。另一個序列Mr是Mp向右移位一次的結果，即Mr的一個相應周期為0121001。這兩個序列的模2和為

1110010

0111001=1001011

上式得出的為Ms的一個相應的周期，它與Mp向右移位5次的結果相同。下面我們對m序列的這種移位相加特性作一般證明。第49頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 【證】設產生序列Mp的n級反饋移存器的初始狀態(tài)如下圖所示。 這一初始狀態(tài)也就是上表中第一行的a0a1a2

an-1。由這一初始狀態(tài)代入遞推方程式得到移存器下一個輸入為 若將序列Mp的初始狀態(tài)的r次延遲移位作為序列Mr的初始狀態(tài)，則將Mr的初始狀態(tài)ar

ar+1

ar+2…an+r+1代入遞推方程式，得到下一個輸入：第50頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

將上兩式相加（模2），得到 上式右端n個括弧中兩元素模2相加的結果一定是上表中另一行的元素。這是因為表中的各行包含了除全“0”外的全部n位二進數(shù)字。設相加結果為 則上式可以改寫為 上式表明(an+an+r)仍為原n級反饋移存器按另一初始狀態(tài)(ai+n-1

ai+n-2…ai+1

ai)產生的輸入，這是因為c1c2

cn未改變，移存器的反饋線接法也未改變。這個初始狀態(tài)比Mp的初始狀態(tài)延遲了i位。故序列Mp和Mr之和是Mp經過延遲i位的移位序列。【證畢】第51頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列自相關函數(shù) 現(xiàn)在我們討論m序列的自相關函數(shù)。由12.2節(jié)互相關系數(shù)定義式得知，m序列的自相關函數(shù)可以定義為：

式中A

－m序列與其j次移位序列一個周期中對應元素相同 的數(shù)目；

D

－m序列與其j次移位序列一個周期中對應元素不同 的數(shù)目；

m

－m序列的周期。上式還可以改寫成如下形式：第52頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

由m序列的延遲相加特性可知，上式分子中的ai

ai+j仍為m序列的一個元素。所以上式分子就等于m序列一個周期中“0”的數(shù)目與“1”的數(shù)目之差。另外，由m序列的均衡性可知，m序列一個周期中“0”的數(shù)目比“1”的數(shù)目少一個。所以上式分子等于－1。這樣，就有

當j=0時，顯然

(0)=1。所以，我們最后寫成： 不難看出，由于m序列有周期性，故其自相關函數(shù)也有周期性，周期也是m，即 而且

(j)是偶函數(shù)，即有第53頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

上面數(shù)字序列的自相關函數(shù)

(j)只定義在離散的點上（j只取整數(shù)）。但是，若把m序列當作周期性連續(xù)函數(shù)求其自相關函數(shù)，則從周期函數(shù)的自相關函數(shù)的定義：

式中

T0

－s(t)的周期， 可以求出其自相關函數(shù)R(

)的表示式為第54頁,共90頁，2024年2月25日，星期天

按照上面的公式畫出的

(j)和R(

)的曲線示于下圖中。 圖中的圓點表示j取整數(shù)時的

(j)取值，而折線是R(

)的連續(xù)曲線?？梢钥闯?，兩者是重合的。由圖還可以看出，當周期T0非常長和碼元寬度T0

/m極小時，R(

)近似于沖激函數(shù)

(t)的形狀。

由上述可知，m序列的自相關函數(shù)只有兩種取值：0和(1/m)。有時把這類序列稱為雙值自相關序列。第12章正交編碼與偽隨機序列

(j)

T0R(

)

第55頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列功率譜密度 信號的自相關函數(shù)與功率譜密度構成一對傅里葉變換。因此，很容易對m序列的自相關函數(shù)式作傅里葉變換，求出其功率譜密度 按照上式畫出的曲線示于下圖中。由此圖可見，在T0

和m/T0

時，Ps(

)的特性趨于白噪聲的功率譜密度特性。第56頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列偽噪聲特性 我們對一正態(tài)分布白噪聲取樣，若取樣值為正，則記為“＋”；若取樣值為負，則記為“－”。將每次取樣所得極性排成序列，例如 這是一個隨機序列，它具有如下3個基本性質：序列中“＋”和“－”的出現(xiàn)概率相等。序列中長度為1的游程約占1/2；長度為2的游程約占1/4；長度為3的游程約占1/8；...。一般說來，長度為k的游程約占1/2k。而且在長度為k的游程中，“＋”游程和“－”游程約各占一半。由于白噪聲的功率譜密度為常數(shù)，功率譜密度的逆傅里葉變換，即自相關函數(shù)，為一沖激函數(shù)

(

)。當

0時，

(

)＝0。僅當

=0時，

(

)是個面積為1的脈沖。第57頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 由于m序列的均衡性、游程分布和自相關特性與上述隨機序列的基本性質極相似，所以通常將m序列稱為偽噪聲(PN)序列，或稱為偽隨機序列。 但是，具有或部分具有上述基本性質的PN序列不僅只有m序列一種。m序列只是其中最常見的一種。除m序列外，M序列、二次剩余序列（或稱為Legendre序列）、霍爾(Hall)序列和雙素數(shù)序列等都是PN序列。第58頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列·第59頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.3.3其他偽隨機序列簡介M序列定義：由非線性反饋移存器產生的周期最長的序列稱為M序列。 由上節(jié)對m序列產生器的分析可知，一個n級m序列產生器只可能有(2n–1)種不同的狀態(tài)。但是n級移存器最多可有2n種狀態(tài)，在m序列中不能出現(xiàn)的是全“0”狀態(tài)。在線性反饋條件下，全“0”狀態(tài)出現(xiàn)后，產生器的狀態(tài)將不會再改變；但是在非線性反饋條件下，卻不一定如此。因此，非線性反饋移存器的最長周期可達2n，我們稱這種周期長達2n的序列為M序列。第60頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列M序列的產生方法 目前，如何產生M序列 的問題，尚未從理論上 完全解決，人們只找到 很少幾種構造它的方法。 下面僅簡單介紹利用m

序列產生器構成M序列 產生器的方法。 首先觀察右圖中的例子。 它是一個n=4級的m序 列產生器。圖中給出了 它的15種狀態(tài)。若使它 增加一個“000”狀態(tài)，就 可變成M序列產生器了。第61頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 因為移存器中后級狀態(tài)必須是由其前級狀態(tài)移入而得，故此“0000”狀態(tài)必須處于初始狀態(tài)“1000”之前和“0001”狀態(tài)之后。這就是說，我們需要將其遞推方程修改為非線性方程，使“0001”狀態(tài)代入新的遞推方程后，產生狀態(tài)“0000”（而不是“1000”），并且在“0000”狀態(tài)代入后產生狀態(tài)“1000”（而不是保持“0000”不變）。 修改前的遞推方程為

為滿足上述要求，修改后的遞推方程應為第62頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

對于n級m序列產生器也一樣。為使n級m序列產生器變成M序列產生器，也只需使其遞推方程改為

有了遞推方程，就不難構造出此M序列產生器。例如用這種方法得到的一個4級M序列產生器如下圖所示。

第63頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列M序列的性質 M序列與m序列類似，也在一定程度上具有噪聲特性。它滿足m序列的前兩個性質，即：在M序列的一個周期中，出現(xiàn)“0”與“1”的數(shù)目相等。在n級M序列的一個周期中，游程共有2n-1個，其中長度為k的游程占1/2k，1

k

n–2；長為n的游程有兩個，沒有長為(n–1)的游程。在同長的游程中，“0”游程和“1”游程各占一半。這兩個性質的證明方法與m序列的一樣。 但是，M序列不再具有m序列的移位相加特性及雙值自相關特性。第64頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列M序列的優(yōu)點 M序列與m序列相比，最主要的優(yōu)點是數(shù)量大，即同樣級數(shù)n的移存器能夠產生的平移不等價M序列總數(shù)比m序列的大得多，且隨n的增大迅速增加。在下表中給出了級數(shù)n與可能產生的兩種序列數(shù)目的比較。

M序列的數(shù)量雖然相當大，但是目前能夠實際產生出來的M序列數(shù)目卻還不很多。這還有待于今后繼續(xù)研究。n12345678910m序列數(shù)目11226618164860

M序列數(shù)目1121620486.710881.441151.329222.261561.30935

107

1017

1036

1074

10151

第65頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列二次剩余序列定義：二次剩余又稱平方剩余數(shù)，例如，32=9；9被7除得到的余數(shù)是2，即有

32=9

2(mod7) 則稱2為模7的平方剩余數(shù)。 一般說來，如果能找到一個整數(shù)x，它使

x2

i(modp) 若此方程成立，我們就認為這個方程有解。滿足此方程的i就是模p的二次剩余；否則，i就是模p的二次非剩余。當規(guī)定a0=-1，且 其中p為奇數(shù)，則稱{ai}為二次剩余序列，i=0,1,2,...，其周期為p。第66頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列例：設p=19，容易算出

12

1(mod19)， 22

4(mod19)，

32

9(mod19)， 42

16(mod19)，

52

6(mod19)， 62

17(mod19)，

72

11(mod19)， 82

7(mod19)，

92

5(mod19)， 102

5(mod19)，

112

7(mod19)， 122

11(mod19)，

132

17(mod19)， 142

6(mod19)，

152

16(mod19)， 162

9(mod19)，

172

4(mod19)， 182

1(mod19)。 因此，1、4、5、6、7、9、11、16、17是模19的二次剩余；而2、3、8、10、12、13、14、15、18是模19的非二次剩余。第67頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 這樣，得到周期p=19的二次剩余序列為： －＋――＋＋＋－＋－＋――――＋＋－ 式中 ＋

＋1； －

－1。 這種序列具有隨機序列基本性質的第1)條性質，但一般不具備第2)條性質。當p=4t–1時（t=正整數(shù)），它是雙值自相關序列，即具有近于隨機序列基本性質第3)條的性質；當p=4t+1時，它不是雙值自相關序列。但是若p很大，它仍具有近于第3)條的性質。一般認為它也屬于偽隨機序列。第68頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列雙素數(shù)序列上述二次剩余序列的周期p為素數(shù)。在雙素數(shù)序列中，周期p是兩個素數(shù)p1和p2的乘積，而且p2=p1+2，即有定義：雙素數(shù)序列{ai}的定義為： 式中

(i，p)=1表示i和p互為素數(shù)（最大公因子為1）。第69頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列例：設p1=3，p2=5，p=3

5=15。這時在一個周期中滿足(i,p)=1條件的i，即小于15且與15互素的正整數(shù)有：1、2、4、7、8、11、13、14。對于這些i值，可以計算出：第70頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 對這些i值作(i/p1)(i/p2)的運算后，得出a1=a2=a4=a8=1以及a7=a11=a13=a14=-1。又因i=0

5=10(mod5)，故a0=a5=a10=1。對于其余的i，有a3=a6=a9=a12=-1。所以此雙素數(shù)序列為： ＋＋＋－＋＋――＋－＋―――― 式中＋

＋1； －

－1。 可以驗證，雙素數(shù)序列也基本滿足隨機序列的基本性質，所以也屬于PN序列。第71頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.4擴展頻譜通信分類：直接序列(DS)擴譜：它通常用一段偽隨機序列（又稱為偽碼）表示一個信息碼元，對載波進行調制。偽碼的一個單元稱為一個碼片。由于碼片的速率遠高于信息碼元的速率，所以已調信號的頻譜得到擴展。

跳頻(FH)擴譜：它使發(fā)射機的載頻在一個信息碼元的時間內，按照預定的規(guī)律，離散地快速跳變，從而達到擴譜的目的。載頻跳變的規(guī)律一般也是由偽碼控制的。線性調頻：載頻在一個信息碼元時間內在一個寬的頻段中線性地變化，從而使信號帶寬得到擴展。由于此線性調頻信號若工作在低頻范圍，則它聽起來像鳥聲，故又稱“鳥聲”調制。第72頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列目的提高抗窄帶干擾的能力，特別是提高抗有意干擾的能力。由于這類干擾的帶寬窄，所以對于寬帶擴譜信號的影響不大。

防止竊聽。擴譜信號的發(fā)射功率譜密度可以很小，小到低于噪聲的功率譜密度，將發(fā)射信號隱藏在背景噪聲中，使偵聽者很難發(fā)現(xiàn)。此外，由于采用了偽碼，竊聽者不能方便地聽懂發(fā)送的消息。

提高抗多徑傳輸效應的能力。由于擴譜調制采用了擴譜偽碼，它可以用來分離多徑信號，所以有可能提高其抗多徑的能力。

多個用戶可以共用同一頻帶。在同一擴譜頻帶內，不同用戶采用互相正交的不同擴譜碼，就可以區(qū)分各個用戶的信號，從而按照碼分多址的原理工作。

提供測距能力。通過測量擴譜信號的自相關特性的峰值出現(xiàn)時刻，可以從信號傳輸時間的大小計算出傳輸距離第73頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列直接序列擴譜系統(tǒng)原理用一組偽碼代表信息碼元去調制載波。最常用的是2PSK。這種信號的典型功率譜密度曲線示于下圖中。 圖中所示主瓣帶寬（零點至零點）是偽碼時鐘速率Rc的兩倍。每個旁瓣的帶寬等于Rc。例如，若所用碼片的速率為5Mb/s，則主瓣帶寬將為10MHz，每個旁瓣寬為5MHz。第74頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列原理方框圖調制器簡化方框圖：先將兩路編碼序列模2相加，然后再去進行反相鍵控。第75頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列接收過程圖解信碼；偽碼序列；發(fā)送序列；發(fā)送載波相位；混頻用本振相位；中頻相位；解調信號；干擾信號相位；混頻后干擾信號相位。第76頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列信號和干擾信號在頻域中的變化(a)在接收機輸入端(b)在接收機中放輸出端第77頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列12.5偽隨機序列的其他應用分離多徑技術目的：多徑衰落的原因在于每條路徑的接收信號的相位不同。分離多徑技術能夠在接收端將多徑信號的各條路徑分離開，并分別校正每條路徑接收信號的相位，使之按同相相加，從而克服衰落現(xiàn)象。原理考察發(fā)射的一個數(shù)字信號碼元。設這個碼元是用m序列的一個周期去調制的余弦載波

其中M(t)為一取值

1的m序列。假設經過多徑傳輸后，在接收機中頻部分得到的輸出信號為第78頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

其中共有n條路徑的信號。第j條路徑信號的振幅為Aj，延遲時間為j

，載波附加的隨機相位為

j，中頻角頻率為

i。在此式中，忽略了各條路徑共同的延遲，并且認為相鄰路徑的延遲時間差相等，均等于

秒。在設計中我們選用此

值作為m序列的一個碼元寬度。 為了消除各條射線隨機相位

j的影響，可以采用自適應校相濾波器。第79頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列自適應校相濾波器

設sj(t)是的第j條射線 它加于上圖中電路的輸入端。此電路由兩個相乘器和一個窄帶濾波器組成。在第1個相乘器中，sj(t)與本地振蕩電壓s(t)=cos(

0t+

)相乘。相乘結果通過窄帶濾波器，后者的中心角頻率為(

i-

0)，其通帶極窄，只能通過(

i-

0)分量而不能通過各邊帶分量。故濾波輸出g(t)在忽略一常數(shù)因子后可以表示為第80頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列 在第2個相乘器中，sj(t)與g(t)相乘，取出乘積中差頻項f(t)，仍忽略常數(shù)因子，可將f(t)表示為 在上圖中省略了上述分離出差頻項f(t)的帶通濾波器。 由上式可見，經過自適應校相濾波器后，接收信號中的隨機相位可以消除。上面只分析了一條路徑接收信號的情況。當多徑信號輸入此濾波器時，每條路徑信號都同樣受到相位校正，故使各路徑信號具有相同的相位。這時的輸出f(t)變?yōu)?此式中各路徑信號的載波得到了校正，但是包絡M(t-j

)仍然有差別。為了校正各路徑包絡的相對延遲，可以采用下圖所示的辦法。第81頁,共90頁，2024年2月25日，星期天第12章正交編碼與偽隨機序列

此圖中AF為自適應校相濾波器，抽頭延遲線的抽頭間隔時間為

。設現(xiàn)在共有4條路徑的信號，n=4，抽頭延遲線共有3段，每段延遲時間為

，則相加器的輸入信號包絡為 未經延遲的：