有關(guān)圓的經(jīng)典練習(xí)題及答案

圓的經(jīng)典練習(xí)題及答案一、填空題1.〔2011浙江省舟山，15，4分〕如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正確結(jié)論的序號是．〔第〔第16題〕【答案】①④2.〔2011安徽，13，5分〕如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，CE=1，ED=3，那么⊙O的半徑是．【答案】3.〔2011江蘇揚(yáng)州，15,3分〕如圖，⊙O的弦CD與直徑AB相交，假設(shè)∠BAD=50°，那么∠ACD=【答案】40°4.〔2011山東日照，14，4分〕如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內(nèi)接正方形CDEF，那么以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是．【答案】如：x2-x+1=0；5.〔2011山東泰安，23，3分〕如圖，PA與⊙O相切，切點(diǎn)為A，PO交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B是優(yōu)弧CBA上一點(diǎn)，假設(shè)∠ABC==320，那么∠P的度數(shù)為?！敬鸢浮?606.〔2011山東威海，15，3分〕如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，假設(shè)AE=5,BE=1,,那么∠AED=.【答案】30°7.〔2011山東煙臺，16,4分〕如圖，△ABC的外心坐標(biāo)是__________.OOxyBCA【答案】〔－2，－1〕8.〔2011浙江杭州，14，4〕如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，那么∠ABD十∠CAO=°．【答案】53°9.〔2011浙江溫州，14，5分〕如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都在⊙O上，連結(jié)CA，CB，DC，DB．∠D=30°，BC＝3，那么AB的長是．【答案】610．〔2011浙江省嘉興，16，5分〕如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB分別交OC于點(diǎn)E，交弧BC于點(diǎn)D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③線段OD是DE與DA的比例中項(xiàng)；④．其中正確結(jié)論的序號是．〔第〔第16題〕【答案】①④11.〔2011福建泉州，16，4分〕三角形的三邊長分別為3，4，5，那么它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個數(shù)所有可能的情況是.〔寫出符合的一種情況即可〕【答案】2〔符合答案即可〕12.〔2011甘肅蘭州，16，4分〕如圖，OB是⊙O的半徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠DCB=27°，那么∠OBD=度。OODBC【答案】63°13.〔2011湖南常德，7，3分〕如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，且∠C=70°，那么∠OAB=__________.【答案】20°14.〔2011江蘇連云港，15，3分〕如圖，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)O為邊AB上一點(diǎn)，AD=DO.以O(shè)為圓心，OD長為半徑作半圓，交AC于另一點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，G，連接EF.假設(shè)∠BAC=22o，那么∠EFG=_____.【答案】15.〔2011四川廣安，19，3分〕如圖3所示，假設(shè)⊙O的半徑為13cm，點(diǎn)是弦上一動點(diǎn)，且到圓心的最短距離為5cm，那么弦的長為________cm圖3圖3【答案】2416.〔2011重慶江津，16，4分〕如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B=30o,那么∠D=____________.AABCD第16題圖【答案】150°17.(2011重慶綦江，13，4分)如圖,AB為⊙O的直徑，∠CAB＝30°,那么∠D＝.【答案】：60°18.〔2011江西南昌，13，3分〕如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，那么∠PBC+∠PCA+∠PAB=度.第13題圖【答案】9019.(2011江蘇南京，13，2分)如圖，海邊有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的弓形〔弓形的弧是⊙O的一局部〕區(qū)域內(nèi)，∠AOB=80°，為了防止觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值為______°．AABOP(第13題)【答案】4020．〔2011上海，17，4分〕如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．【答案】621.〔2011江蘇無錫，18，2分〕如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點(diǎn)，假設(shè)∠DAB=20°，那么∠OCD=_____________．yyxOABDC〔第18題〕【答案】6522.〔2011湖北黃石，14，3分〕如圖〔5〕，△ABC內(nèi)接于圓O，假設(shè)∠B＝300.AC＝，那么⊙O的直徑為。【答案】223.〔2011湖南衡陽，16，3分〕如圖，⊙的直徑過弦的中點(diǎn)G，∠EOD=40°，那么∠FCD的度數(shù)為．【答案】2024.〔2011湖南永州，8，3分〕如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，連接OB,CB，⊙O的半徑為2，AB=,那么∠BCD=________度．〔第〔第8題〕【答案】3025.(20011江蘇鎮(zhèn)江,15,2分)如圖,DE是⊙O的直徑,弦AB⊥DE,垂足為C,假設(shè)AB=6,CE=1,那么OC=_____,CD=_____.答案：4，926.〔2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，14，4分〕如圖，是半徑為6的⊙D的圓周，C點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，△ABD是等邊三角形,那么四邊形ABCD的周長P的取值范圍是【答案】27.〔2011河北，16，3分〕如圖7，點(diǎn)O為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，∠AOC=108°，點(diǎn)D在AB的延長線上，BD=BC,那么∠D=__°．【答案】2728.〔2011湖北荊州，12，4分〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B＝40°，那么∠ACD的度數(shù)是.第12題圖【答案】50°二、選擇題1.〔2011浙江省舟山，6，3分〕如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，那么這條弦的弦心距為〔〕〔A〕6 〔B〕8 〔C〕10 〔D〕12〔第〔第6題〕【答案】A2.〔2011安徽，7，4分〕如圖，⊙O的半徑是1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，∠BAC=36°，那么劣弧的長是〔〕A． B．π C．π D．π【答案】B3.〔2011福建福州，9，4分〕如圖2,以為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦切小圓于點(diǎn),假設(shè),那么大圓半徑與小圓半徑之間滿足〔〕A． B． C． D．圖圖2【答案】C4.〔2011山東泰安，10，3分〕如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，假設(shè)AB=，那么⊙O的半徑為〔〕A.B.2C.D.【答案】A5.〔2011四川南充市，9，3分〕在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油。截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為〔〕〔A〕6分米〔B〕8分米〔C〕10分米〔D〕12分米【答案】C6.〔2011浙江衢州，1,3分〕一個圓形人工湖如下圖，弦是湖上的一座橋，橋長100m，測得圓周角，那么這個人工湖的直徑為〔〕A.B.C.D.(第(第8題)【答案】B7.〔2011浙江紹興，4，4分〕如圖，的直徑，點(diǎn)在上，假設(shè),那么的度數(shù)是〔〕A.B.C.D.((第5題圖)【答案】C8.〔2011浙江紹興，6，4分〕一條排水管的截面如下圖.排水管的截面圓半徑，截面圓圓心到水面的距離是6，那么水面寬是〔〕A.16B.10C(第6題圖)(第6題圖)【答案】A9.〔2011浙江省，5，3分〕如圖，小華同學(xué)設(shè)計了一個圓直徑的測量器，標(biāo)有刻度的尺子OA、OB在O點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度OE=8個單位，OF=6個單位，那么圓的直徑為〔〕A.12個單位B.10個單位C.4個單位D.15個單位【答案】B10．〔2011四川重慶，6，4分〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°那么∠A的度數(shù)等于()A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B11.〔2011浙江省嘉興，6，4分〕如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，那么這條弦的弦心距為〔〕〔A〕6 〔B〕8 〔C〕10 〔D〕12〔第〔第6題〕【答案】A12.〔2011臺灣臺北，16〕如圖(六)，為圓O的直徑，直線ED為圓O的切線，A、C兩點(diǎn)在圓上，平分∠BAD且交于F點(diǎn)。假設(shè)∠ADE＝，那么∠AFB的度數(shù)為何？A．97B．104C．116D．【答案】C13.〔2011臺灣全區(qū)，24〕如圖(六)，△ABC的外接圓上，AB、BC、CA三弧的度數(shù)比為12：13：11．自BC上取一點(diǎn)D，過D分別作直線AC、直線AB的并行線，且交于E、F兩點(diǎn)，那么∠EDF的度數(shù)為何？A．55B．60C．65D．70【答案】Ｃ14.〔2011甘肅蘭州，12，4分〕如圖，⊙O過點(diǎn)B、C，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。那么⊙O的半徑為A．6 B．13 CAABCO【答案】C15.〔2011四川成都，7,3分〕如圖，假設(shè)AB是⊙0的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，那么∠BCD=〔B〕(A)116°(B)32°(C)58°〔D)64°【答案】B16.〔2011四川內(nèi)江，9，3分〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°,假設(shè)⊙O的半徑OC為2，那么弦BC的長為A．1 B． C．2 D．2【答案】D17.(2011江蘇南京，6，2分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是〔2，a〕(a＞2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P的弦AB的長為，那么a的值是A． B． C． D．((第6題)ABOPxyy=x【答案】B18.〔2011江蘇南通，8，3分〕如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點(diǎn)，且OM＝3，那么⊙O的半徑等于8 B.2 C.10 D.5【答案】D19.〔2011山東臨沂，6，3分〕如圖，⊙O的直徑CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD＝3：5，那么AB的長是〔〕A．2cm B．3cmC．4cm D．2cm【答案】C20．〔2011上海，6，4分〕矩形ABCD中，AB＝8，，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕．(A)點(diǎn)B、C均在圓P外；(B)點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)；(C)點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外；(D)點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)．【答案】C21.〔2011四川樂山6，3分〕如圖〔3〕，CD是⊙O的弦，直徑AB過CD的中點(diǎn)M，假設(shè)∠BOC=40°，那么∠ABD=A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C22.〔2011四川涼山州，9，4分〕如圖，，點(diǎn)C在上，且點(diǎn)C不與A、B重合，那么的度數(shù)為〔〕A．B．或C．D．或【答案】D23.〔2011廣東肇慶，7，3分〕如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點(diǎn)，假設(shè)∠BAD＝105°，那么∠DCE的大小是AABCDEA．115° B．105° C．100° D．95°【答案】B24.〔2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，9，3分〕如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度數(shù)為〔〕A.B.C.D.【答案】B25.〔2011重慶市潼南,3,4分〕如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上,∠A=30°,那么∠B的度數(shù)為A．15°B.30°C.45°D.60°【答案】D三、解答題1.〔2011浙江金華，21，8分〕如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE.〔1〕求證：AP＝AO；〔2〕假設(shè)弦AB＝12，求tan∠OPB的值；〔3〕假設(shè)以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)〔即P、A、B、C、D、O〕構(gòu)造四邊形，那么能構(gòu)成菱形的四個點(diǎn)為，能構(gòu)成等腰梯形的四個點(diǎn)為或或.證明：〔1〕∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；……2分解：〔2〕過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，那么AH=HB=AB，……1分∵tan∠OPB=，∴PH=2OH，……1分設(shè)OH=，那么PH=2，由〔1〕可知PA=OA=10，∴AH=PH－PA=2－10，∵，∴，……1分解得〔不合題意，舍去〕，，∴AH=6，∴AB=2AH=12；……1分〔3〕P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分(寫對1個、2個、3個得1分，寫對4個得2分)HHPABCODEFG2.〔2011浙江金華，24，12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔10，0〕，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF.〔1〕當(dāng)∠AOB＝30°時，求弧AB的長；〔2〕當(dāng)DE＝8時，求線段EF的長；〔3〕在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，假設(shè)存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.解：〔1〕連結(jié)BC,∵A〔10，0〕,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的長=;……4分OOBDECFxyA〔2〕連結(jié)OD,∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分線,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴,即，∴EF=3；……4分〔3〕設(shè)OE=x，①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，即OE=，∴E1〔，0〕；當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得：,∴E2〔，0〕;OBOBDFCEAxyOBDFCEAxy②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,＜0〔舍去〕，∴E3〔，0〕;OOBDFCEAxy③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO連結(jié)BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴，而AD=2BE,∴,∴,解得,＜0〔舍去〕,∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上,∴E4〔，0〕,綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,此時點(diǎn)E坐標(biāo)為：〔，0〕、〔，0〕、〔，0〕、〔，0〕．……4分OOBDFCEAxy3.〔2011山東德州22,10分〕●觀察計算當(dāng)，時，與的大小關(guān)系是_________________．當(dāng)，時，與的大小關(guān)系是_________________．●探究證明如下圖，為圓O的內(nèi)接三角形，為直徑，過C作于D，設(shè)，BD=b．〔1〕分別用表示線段OC，CD；〔2〕探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系〔用含a，b的式子表示〕．ABCOD●歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關(guān)系是：_________________________．●實(shí)踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．【答案】●觀察計算:>，=.…2分ABCABCOD〔1〕，∴…3分AB為⊙O直徑,∴.，，∴∠A=∠BCD.∴△∽△.…4分∴.即,∴.…5分〔2〕當(dāng)時,,=；時,,>．…6分●結(jié)論歸納:．………………7分●實(shí)踐應(yīng)用設(shè)長方形一邊長為米,那么另一邊長為米,設(shè)鏡框周長為l米，那么≥．……………9分當(dāng),即〔米〕時,鏡框周長最小．此時四邊形為正方形時,周長最小為4米.………………10分4.〔2011山東濟(jì)寧，19，6分〕如圖，為外接圓的直徑，，垂足為點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，連接，.(1)求證：；(2)請判斷，，三點(diǎn)是否在以為圓心，以為半徑的圓上？并說明理由.(第19題)(第19題)【答案】〔1〕證明：∵為直徑，，∴.∴. 3分〔2〕答：，，三點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上. 4分理由：由〔1〕知：，∴.∵，，，∴.∴. 6分由〔1〕知：.∴.∴，，三點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上.…7分5.〔2011山東煙臺，25,12分〕：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，E是直線AB上一動點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、B、G重合〕，直線DE交⊙O于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)P.設(shè)⊙O的半徑為r.〔1〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直徑AB上時，試證明：OE·OP＝r2〔2〕當(dāng)點(diǎn)E在AB〔或BA〕的延長線上時，以如圖2點(diǎn)E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，〔1〕中的結(jié)論是否成立？請說明理由.ABABCDEFP.OG〔圖1〕.ABCDE.OG〔圖2〕【答案】〔1〕證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.〔2〕解：〔1〕中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.6.〔2011寧波市，25，10分〕閱讀下面的情境對話，然后解答問題〔1〕根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？〔2〕在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，假設(shè)RtABC是奇異三角形，求a：b：c；〔3〕如圖，AB是⊙O的直徑，C是上一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、B重合〕，D是半圓的中點(diǎn)，CD在直徑AB的兩側(cè)，假設(shè)在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E使得AE＝AD，CB＝CE．1求證：ACE是奇異三角形；2當(dāng)ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．【答案】解：〔1〕真命題〔2〕在RtABC中a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2∴假設(shè)RtABC是奇異三角形，一定有2b2＝c2＋a2∴2b2＝a2＋〔a2＋b2〕∴b2＝2a2得：b＝a∵c2＝b2＋a2＝3a2∴c＝a∴a：b：c＝1：：(3)1∵AB是⊙O的直徑ACBADB＝90°在RtABC中，AC2＋BC2＝AB2在RtADB中，AD2＋BD2＝AB2∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)∴＝∴AD＝BD∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2∴AC2＋CB2＝2AD2又∵CB＝CE，AE＝AD∴AC2＝CE2＝2AE2∴ACE是奇異三角形2由1可得ACE是奇異三角形∴AC2＝CE2＝2AE2當(dāng)ACE是直角三角形時由〔2〕可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：：1〔Ⅰ〕當(dāng)AC：AE：CE＝1：：時AC：CE＝1：即AC：CB＝1：∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝30°∴∠AOC＝2∠ABC＝60°(Ⅱ)當(dāng)AC：AE：CE＝：：1時AC：CE＝：1即AC：CB＝：1∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°7.〔2011浙江麗水，21，8分〕如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE.〔1〕求證：AP＝AO；〔2〕假設(shè)弦AB＝12，求tan∠OPB的值；〔3〕假設(shè)以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)(即P、A、B、C、D、O)構(gòu)造四邊形，那么能構(gòu)成菱形的四個點(diǎn)為，能構(gòu)成等腰梯形的四個點(diǎn)為或或.【解】〔1〕∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；〔2〕過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，那么AH=HB，∵AB=12，∴AH=6，由〔1〕可知PA=OA=10，∴PH=PA+AH=16，OH==8，∴tan∠OPB==；〔3〕P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8.〔2011廣東廣州市，25，14分〕如圖7，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上．〔1〕證明：B、C、E三點(diǎn)共線；〔2〕假設(shè)M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN=OM；〔3〕將△DCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜90°〕后，記為△D1CE1〔圖8〕，假設(shè)M1是線段BE1的中點(diǎn)，N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1=OM1是否成立？假設(shè)是，請證明；假設(shè)不是，說明理由．ABABCDEMNO圖7ABCD1E1M1ON1圖8【答案】〔1〕∵AB為⊙O直徑∴∠ACB=90°∵△DCE為等腰直角三角形∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180°∴B、C、E三點(diǎn)共線．〔2〕連接BD，AE，ON．∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴AB=AC∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90°∴△BCD≌△ACE∴AE=BD，∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90°∴BD⊥AE∵O，N為中點(diǎn)∴ON∥BD，ON=BD同理OM∥AE，OM=AE∴OM⊥ON，OM=ON∴MN=OM〔3〕成立證明：同〔2〕旋轉(zhuǎn)后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，故BD1⊥AE1其余證明過程與〔2〕完全相同．9.〔2011浙江麗水，24，12分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上的一動點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF.〔1〕當(dāng)∠AOB＝30°時，求弧AB的長；〔2〕當(dāng)DE＝8時，求線段EF的長；〔3〕在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，假設(shè)存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.【解】(1)連結(jié)BC，∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴的長==；〔2〕連結(jié)OD，∵OA是⊙C的直徑，∴∠OBA=90°，又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線，∴OD=OA=10，在Rt△ODE中，OE===6，∴AE=AO－OE=10－6=4，由∠AOB=∠ADE=90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴=，即=，∴EF=3；(3)設(shè)OE=x，①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，即OE=，∴E1(，0)；當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5－x，AE=10－x，∴CF//AB，有CF=AB，∵△ECF∽△EAD，∴=，即=，解得x=，∴E2(，0)；②當(dāng)交點(diǎn)E在C的右側(cè)時，∵∠ECF>∠BOA∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∵CF//BE，∴=，∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴=，而AD=2BE，∴=，即=，解得x1=，x2=<0〔舍去〕，∴E3(，0)；③當(dāng)交點(diǎn)E在O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF>∠ECF∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA，∴CF//BE，∴=，又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴=，而AD=2BE，∴=，∴=，解得x1=，x2=<0〔舍去〕，∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，∴E4(，0)，綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，此時點(diǎn)E坐標(biāo)為：∴E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).10．〔2011江西，21，8分〕如圖，⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點(diǎn)A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)〔B，C兩點(diǎn)除外〕。⑴求∠BAC的度數(shù)；⑵求△ABC面積的最大值.〔參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=.〕【答案】〔1〕過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,連接OA.因?yàn)锽C=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.〔2〕因?yàn)椤鰽BC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值,即點(diǎn)A是的中點(diǎn)時，△ABC面積的最大值.因?yàn)椤螧AC=60°，所以△ABC是等邊三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面積的最大值為×3×=3.11.〔2011湖南常德，25，10分〕△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓、P是AB的中點(diǎn).〔1〕如圖8，假設(shè)△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點(diǎn)E、F，使那么有結(jié)論①②四邊形是菱形.請給出結(jié)論②的證明；〔2〕如圖9，假設(shè)〔1〕中△ABC是任意三角形，其它條件不變，那么〔1〕中的兩個結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請給出證明；〔3〕如圖10，假設(shè)PC是的切線，求證：BDBD【答案】證明：∵BC是⊙O2直徑，那么O2是BC的中點(diǎn)又P是AB的中點(diǎn).∴PO2是△ABC的中位線∴PO2=AC又AC是⊙O1直徑∴PO2=O1C=AC同理PO1=O2C=BC∵AC=BC∴PO2=O1C=PO1=O2C∴四邊形是菱形結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立證明：在〔1〕中已證PO2=AC，又O1E=AC∴PO2=O1E同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位線∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠PO1A=∠ACB∴∠PO2B=∠PO1A∵∠AO1E=∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E=∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E=∠FO2P∴證明：延長AC交⊙O2于點(diǎn)D，連接BD.∵BC是⊙O2的直徑，那么∠D=90°，又PC是的切線，那么∠ACP=90°，∴∠ACP=∠D又∠PAC=∠BAD，∴△APC∽△BAD又P是AB的中點(diǎn)∴∴AC=CD∴在Rt△BCD中，在Rt△ABD中，∴∴12.〔2011江蘇蘇州，26,8分〕如圖，AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、B重合〕，連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD.〔1〕弦長AB=________〔結(jié)果保存根號〕；〔2〕當(dāng)∠D=20°時，求∠BOD的度數(shù)；〔3〕當(dāng)AC的長度為多少時，以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似？請寫出解答過程.【答案】解：〔1〕2.〔2〕解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，∴∠BOD=2∠A=100°.解法二：如圖，連接OA.∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.〔3〕∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.此時，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.13.〔2011江蘇蘇州，27,8分〕四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、B重合〕，連接PA、PB、PC、PD.〔1〕如圖①，當(dāng)PA的長度等于______時，∠PAB=60°；當(dāng)PA的長度等于______時，△PAD是等腰三角形；〔2〕如圖②，以AB邊所在的直線為x軸，AD邊所在的直線為y軸，建立如下圖的直角坐標(biāo)系〔點(diǎn)A即為原點(diǎn)O〕，把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔a，b〕，試求2S1S3-S22的最大值，并求出此時a、b的值.【答案】解：〔1〕2；2或.〔2〕如圖，過點(diǎn)P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，延長FP交BC于點(diǎn)G，那么PG⊥BC.∵P點(diǎn)坐標(biāo)為〔a，b〕，∴PE=b，PF=a，PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，∵AB是直徑，∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE，即b2=a〔4-a〕.∴2S1S3-S22=4a〔8-2a〕-4b2=-4a2+16a=-4〔a-2〕2+16.∴當(dāng)a=2時，b=2，2S1S3-S22有最大值16.14.〔2011江蘇泰州，26，10分〕如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點(diǎn)M，OM的延長線與BC相交于點(diǎn)N．〔1〕點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)嗎？為什么？〔2〕假設(shè)圓環(huán)的寬度〔兩圓半徑之差〕為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．【答案】解：(1)N是BC的中點(diǎn)。原因：∵AD與小圓相切于點(diǎn)M，∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圓O中，由垂徑定理可得N是BC的中點(diǎn)．(2)連接OB，設(shè)小圓半徑為r，那么有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在Rt△OBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2，即：〔r+6〕2=(r+5)2+52，解得r=7cm.∴小圓的半徑為7cm.15.〔2011四川成都，27,10分〕：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作⊙0，⊙O經(jīng)過B、D兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BK⊥AC，垂足為K．過D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點(diǎn)E、F、G、H．(1)求證：AE=CK； (2)如果AB=，AD=(為大于零的常數(shù))，求BK的長；(3)假設(shè)F是EG的中點(diǎn)，且DE=6，求⊙O的半徑和GH的長．【答案】解：〔1〕∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.〔2〕在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.〔3〕連線OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位線，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，設(shè)OG=，那么OE=，EG=6，，∴，∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.16.〔2011四川宜賓,23，10分〕：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，在劣弧⌒AD上到一點(diǎn)E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC于G，交⊙O于H．〔1〕求證：AC⊥BH；〔2〕假設(shè)∠ABC=45°，⊙O的直徑等于10，BD=8，求CE的長．〔〔23題圖〕【答案】證明：⑴連接AD∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC又∵AC是⊙O的直徑∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°∴AC⊥BH⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8∴AD=8又∵∠ADC=90°AC=10〔第〔第23題解答圖〕∴由勾股定理，得.∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠BGC=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD∴△BCG∽△ACD∴∴∴連接AE，∵AC是直徑∴∠AEC=90°又∵EG⊥AC∴△CEG∽△CAE∴∴∴.17.〔2011江西南昌，21，8分〕如圖，⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點(diǎn)A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)〔B，C兩點(diǎn)除外〕。⑴求∠BAC的度數(shù)；⑵求△ABC面積的最大值.〔參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=.〕【答案】〔1〕過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,連接OA.因?yàn)锽C=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.〔2〕因?yàn)椤鰽BC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值,即點(diǎn)A是的中點(diǎn)時，△ABC面積的最大值.因?yàn)椤螧AC=60°，所以△ABC是等邊三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面積的最大值為×3×=3.18.〔2011上海，21，10分〕如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點(diǎn)M、N．〔1〕求線段OD的長；〔2〕假設(shè)，求弦MN的長．【答案】〔1〕∵CD∥AB，∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∴∠C=∠D．∴OC=OD．∵OA=3，AC=2，∴OC=5．∴OD=5．〔2〕過點(diǎn)O作OE⊥CD，E為垂足，連接OM．在Rt△OCE中，OC=5，，設(shè)OE=x，那么CE=2x．由勾股定理得，解得x1=，x2=〔舍去〕．∴OE=．在Rt△OME中，OM=OA=3，ME===2。∴MN=2ME=4．19.〔2011湖北黃岡，22，8分〕在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點(diǎn)，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．⑴求證△ABD為等腰三角形．⑵求證AC?AF=DF?FE

第22題圖BAFEDCM【答案】⑴由圓的性質(zhì)知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②由①②得△DCA∽△FAE∴AC：FE=CD：AF∴AC?AF=CD?FE而CD=DF，∴AC?AF=DF?FE20．〔2011廣東茂名，24，8分〕如圖，⊙P與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，與軸相交于點(diǎn)A(5，0)，過點(diǎn)A的直線AB與軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．(1)AC＝3，求點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)；(4分)(2)假設(shè)AC＝,D是OＢ的中點(diǎn)．問：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個圓的圓心為，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值(用含的代數(shù)式表示)．(4分)χ備用圖χ備用圖χ【答案】解：(1)解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·∴，即，∴，∴解法二：連接OC，因?yàn)镺A是⊙P的直徑，∴∠ACO＝90°在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，過C作CE⊥OA于點(diǎn)E，那么：，即：，∴，∴∴，設(shè)經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：．把點(diǎn)A(5，0)、代入上式得：，解得：，∴，∴點(diǎn)．(2)點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)在同一個圓上，理由如下：連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，∴，∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，∴點(diǎn)O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心是DP的中點(diǎn)，圓心，由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中，，OD＝，∴，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，∴．21.〔2011廣東肇慶，24，10分〕：如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．〔1〕求證：∠DAC＝∠DBA；〔2〕求證：是線段AF的中點(diǎn)；〔3〕假設(shè)⊙O的半徑為5，AF＝，求tan∠ABF的值．ABCDEOFP【答案】(1〕∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD∴∠DAC＝∠DBA(2〕∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝90°∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP∴PD＝PA又∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC∴∠PDF＝∠PFD∴PD＝PF∴PA＝PF即P是線段AF的中點(diǎn)(3〕∵