將軍飲馬模型(終稿)

將軍飲馬模型將軍飲馬模型一、背景知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造橋選址費(fèi)馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對稱；平移；【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小例1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點Q，Q即為所要尋找的點，即當(dāng)動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點之間線段最短。證明：連接AB，與直線l的交點Q，P為直線l上任意一點，在⊿PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PB≧AB(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時取﹦)例2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.關(guān)鍵：找對稱點作法：作定點B關(guān)于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當(dāng)動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點之間，線段最短證明：連接AC，與直線l的交點Q，P為直線l上任意一點，在⊿PAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PC≧AC(當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時取﹦)2.兩動一定型例3：在∠MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A’，作點A關(guān)于ON的對稱點A’’

，連接A’A’’，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．原理：兩點之間，線段最短典型例題三角形1．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2，求EM+EC的最小值解：點C關(guān)于直線AD的對稱點是點B，連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小，過點B作BH⊥AC于點H，則EH=AH–AE=3–2=1，BH=eq\r(BC2-CH2)=eq\r(62-32)=3eq\r(3)在直角△BHE中，BE