2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)16《軸對稱圖形》全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識講解（基礎(chǔ)）

2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)《軸對稱圖形》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2.了解線段、角的軸對稱性，并掌握與其相關(guān)的性質(zhì)；3.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對稱圖形是對一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．3.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.4.用坐標(biāo)表示軸對稱點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.要點(diǎn)二、線段、角的軸對稱性1.線段的軸對稱性（1）線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.（2）線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；

（3）線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線2.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（3）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)三、等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的判斷與應(yīng)用 1、電子鐘鏡子里的像如圖所示，實(shí)際時(shí)間是（）A.21：10B.10：21C.10：51D.12：01【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下顛倒，且關(guān)于鏡面對稱.【答案與解析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與10:51成軸對稱，所以此實(shí)際時(shí)刻為10:51，故選C.【總結(jié)升華】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)，從鏡子里看物體——左右相反.舉一反三：【變式】如圖,是一只停泊在平靜水面上的小船,它的“倒影”應(yīng)是圖中的（）.【答案】B；提示：從水中看物體——上下顛倒2、如圖，C、D、E、F是一個(gè)長方形臺球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經(jīng)過的路線，并寫出作法．【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CF對稱的點(diǎn)G，連接BG交CF于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為A球撞擊桌面邊緣CF的位置，A球經(jīng)過的路線如下圖.【總結(jié)升華】這道題利用了軸對稱的性質(zhì)，把AP轉(zhuǎn)化成了線段GP，通過找A點(diǎn)的對稱點(diǎn)，從而確定點(diǎn)P的位置.舉一反三：【變式】已知∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)分別是和，分別交OM,ON與點(diǎn)A、B，已知＝15，則△PAB的周長為（）A.15B7.5C.10D.24【答案】A；提示：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，，△PAB的周長等于.3、如圖，ΔABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），如果要使ΔABD與ΔABC全等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】關(guān)于AB直線對稱，且與△ABC全等的△ABD有一個(gè)，此時(shí)的△ABC與△ABD繞著AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，又可以找到兩個(gè)與△ABC全等的三角形.【答案與解析】解：滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)有3個(gè)（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.【總結(jié)升華】有一條邊相同的全等三角形，可以通過軸對稱和旋轉(zhuǎn)的方法找出，注意不要漏解.舉一反三：【變式】在直角坐標(biāo)系中，△ABC關(guān)于直線＝1軸對稱，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（4，4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A.（4，－4）B.（－4，2）C.（4，－2）D.（－2，4）【答案】C；提示：點(diǎn)A和點(diǎn)B是關(guān)于直線＝1對稱的對應(yīng)點(diǎn)，它們到＝1的距離相等是3個(gè)單位長度，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，－2）．類型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定4、已知：一等腰三角形的兩邊長，滿足方程組，則此等腰三角形的周長為（）A.5B.4C.3D.5或4【思路點(diǎn)撥】通過解方程組算出等腰三角形的兩邊長，由于沒有指定邊長是腰還是底，所以需要分類討論，最后還要注意檢驗(yàn)?zāi)芊駱?gòu)成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程組得，當(dāng)腰為1，2為底時(shí)，1＋1＝2，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)腰為2，1為底時(shí)，能構(gòu)成三角形，周長為2＋2＋1＝5【總結(jié)升華】本題從邊的方面考查等腰三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．舉一反三：【變式】已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不對【答案】C；提示：當(dāng)70°為頂角時(shí),另外兩個(gè)角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為（180°－70°）÷2＝55°，當(dāng)70°為底角時(shí),另外一個(gè)底角也是70°,頂角是180°－140°＝40°．5、如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數(shù)；（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：AN=MN．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)AB∥CD，∠ACD=114°，得出∠CAB=66°，再根據(jù)AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)；（2）由AB∥CD，得出∠MAB=∠CMA，AM是∠CAB的平分線，∠MAB=∠CAM，得出∠CAM=∠CMA，得出△ACM為等腰三角形，再由CN⊥AM三線合一求得結(jié)論即可．【答案與解析】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB=∠CAB=33°；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∵AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB=∠CAM，∴∠CAM=∠CMA，∴CA=CM，又∵CN⊥AM，∴AN=MN．【總結(jié)升華】此題考查角平分線的作法和意義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)（三線合一）等知識解決問題．舉一反三：【變式1】如圖，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，請判斷△AEC的形狀，并說明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．【變式2】如圖，∠BAC＝90°，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點(diǎn)，請你探究線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】ED＝2AM解：連接DE，∵∠BAC＝90°，M是BC的中點(diǎn)∴AM＝BM＝MC＝∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD∴△ABC≌△AED∴ED＝BC∴ED＝2AM類型三、等邊三角形的性質(zhì)與判定6、如圖，設(shè)Ｄ為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝BD，BP＝AB,∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度數(shù).【答案與解析】解：如圖，連接CD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共邊，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠DCA＝×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【總結(jié)升華】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．舉一反三：【變式】如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．（1）求證：△BCE≌△ACD；（2）求證：FH∥BD．【答案】證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）．（2）由（1）知△BCE≌△ACD，則∠CBF=∠CAH，BC=AC又∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，又∵∠FCH=60°，∴△CHF為等邊三角形∴∠FHC=∠HCD=60°，∴FH∥BD．《軸對稱圖形》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識講解（提高）1.認(rèn)識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2.了解線段、角的軸對稱性，并掌握與其相關(guān)的性質(zhì)；3.了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對稱圖形是對一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．3.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.4.用坐標(biāo)表示軸對稱點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.要點(diǎn)二、線段、角的軸對稱性1.線段的軸對稱性（1）線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.（2）線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；

（3）線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個(gè)端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線2.角的軸對稱性（1）角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（3）角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)三、等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的性質(zhì)與應(yīng)用1、（2016秋?蘇州期中）如圖，由四個(gè)小正方形組成的田字格中，△ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)．在田字格上能畫出與△ABC成軸對稱，且頂點(diǎn)都在小正方形頂點(diǎn)上的三角形的個(gè)數(shù)共有個(gè).【思路點(diǎn)撥】因?yàn)轫旤c(diǎn)都在小正方形上，故可以分別以大正方形的兩條對角線AB、EF及MN、CH為對稱軸進(jìn)行尋找.【答案與解析】分別以大正方形的兩條對角線AB、EF及MN、CH為對稱軸圖形，則△ABM、△ANB、△EHF、△EFC都是符合題意的三角形，故答案為：4.【總結(jié)升華】本題考查了軸對稱的性質(zhì)；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點(diǎn)．若△ABC的內(nèi)角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，則∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：連接AP，BP，CP，∵D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點(diǎn)∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°． 2、茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？【思路點(diǎn)撥】本題意思是在OA上找一點(diǎn)D，在OB上找一點(diǎn)E，使△CDE的周長最小．如果設(shè)點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)是M，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)是N，當(dāng)點(diǎn)D、E在MN上時(shí)，△CDE的周長為CD+DE+EC=MN，此時(shí)周長最小．【答案與解析】解：①分別作點(diǎn)C關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)是M、N，②連接MN，分別交OA于D，OB于E．則C→D→E→C為所求的行走路線．【總結(jié)升華】靈活運(yùn)用對稱性解決生活中的最短距離問題．舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）．A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】C；提示：找A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，關(guān)于ED的對稱點(diǎn)，連接，交BC于M點(diǎn)，ED于N點(diǎn)，此時(shí)△AMN周長最小.∠AMN＋∠ANM＝180°－∠MAN，而2∠BAM＝∠AMN，2∠EAN＝∠ANM，∠BAM＋∠EAN＋∠MAN＝120°,所以∠AMN＋∠ANM＝120°.3、如圖，△ABC關(guān)于平行于軸的一條直線對稱，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），C點(diǎn)坐標(biāo)是（1，－4），則這條平行于軸的直線是（）A.直線＝－1B.直線＝－3C.直線＝－1D.直線＝－3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可得A、C的連線與該條直線垂直，且兩點(diǎn)到此直線的距離相等，從而可以解出該直線．【答案】C；【解析】解：由題意可知，該條直線垂直平分線段AC又A點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），C點(diǎn)坐標(biāo)是（1，－4）∴AC＝6∴點(diǎn)A，C到該直線的距離都為3即可得直線為＝－1【總結(jié)升華】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化一一對稱的性質(zhì)與運(yùn)用，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察圖形，由A與C的縱坐標(biāo)求得對稱軸．舉一反三：【變式1】如圖，若直線經(jīng)過第二、四象限，且平分坐標(biāo)軸的夾角，Rt△AOB與Rt△關(guān)于直線對稱，已知A（1，2），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【答案】D；提示：因?yàn)镽t△AOB與Rt△關(guān)于直線對稱，所以通過作圖可知，的坐標(biāo)是（－2，－1）．【變式2】如圖，ΔABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），如果要使ΔABD與ΔABC全等，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】解：滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)有3個(gè)（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.類型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用4、如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH．又∵，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如圖②，P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF=3時(shí)，則AB邊上的高CH=______.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴=AB?PE，=AC?PF，=AB?CH，∵=+，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點(diǎn)，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH-PF=7-3=4；②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí)，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積，難度適中，運(yùn)用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G．求證GD=GE．【答案】證明：過E作EF∥AB交BC延長線于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG與△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用5、已知，如圖，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°.求的度數(shù)．【答案與解析】解：將沿AB翻折，得到，連結(jié)CE，則，∴∠1＝∠5＝12°.∴60°∵48°∴．又∵∠2＝36°，72°，∴∴BE＝BC∴為等邊三角形.∴又垂直平分BC．∴AE平分．∴30°∴∠ADB＝30°【總結(jié)升華】直接求很難，那就想想能不能通過翻折或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個(gè)與全等的三角形，從而使其換個(gè)位置，看看會(huì)不會(huì)容易求．舉一反三：【變式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D為形內(nèi)一點(diǎn)，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度數(shù).【答案】解：作D關(guān)于BC中垂線的對稱點(diǎn)E，連結(jié)AE，EC，DE∴△ABD≌△ACE∴AD＝AE,∠DAB＝∠EAC＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE＝60°，△ADE為等邊三角形∴∠AED＝60°∵∠DAB＝∠DBA＝10°∴AD＝BD＝DE＝EC∴∠AEC＝160°，∴∠DEC＝140°∴∠DCE＝20°∴∠ACD＝30°6、如圖所示，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形．(1)如圖(1)所示，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？(2)如圖(2)所示，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請利用圖(2)證明；若不成立，請說明理由．【答案與解析】解：(1)EN＝MF，點(diǎn)F在直線NE上．證明：連接DF，DE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC．又∵D，E，F(xiàn)是△ABC三邊的中點(diǎn)，∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN為等邊三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，，∴△DMF≌△DNE，∴MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直線上.(2)成立．證明：連結(jié)DE，DF，EF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC．又∵D，E，F(xiàn)是△ABC三邊的中點(diǎn)，∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，，∴△DMF≌△DNE，∴MF＝NE．【總結(jié)升華】此題綜合應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定.全等是證明線段相等的重要方法.（2）題的證明可以沿用（1）題的思路.勾股定理（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂勾股定理知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么．要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．要點(diǎn)三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【典型例題】類型一、勾股定理的直接應(yīng)用 1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理來求未知邊長．【答案與解析】解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式．舉一反三：【變式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，＝6，＝10，∴，∴＝8．（2）設(shè)，，∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴，．類型二、與勾股定理有關(guān)的證明 2、（2015?豐臺區(qū)一模）閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到，整理，得，所以．【答案與解析】證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【總結(jié)升華】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得